高中數(shù)學中導數(shù)問題的學習研究

吳沛東 潘康林

【摘要】導數(shù)廣泛的應用有助于高中生更好地掌握函數(shù)的形態(tài)等各方面知識，能夠為學生日后在高等數(shù)學中的學習打下良好的基礎.本文由導數(shù)在高中數(shù)學中的重要地位入手，通過對導數(shù)的概念教學、導數(shù)在解題過程中的應用以及數(shù)學思想在導數(shù)問題中的應用的探討，旨在探究幫助學生拓展思路、提高能力的有效方法.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學，導數(shù)問題，學習研究，函數(shù)形態(tài)，數(shù)學思想

【基金項目】本文系：廣西教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度C類自籌經(jīng)費一般課題“高中生在導數(shù)問題解決中的學習研究——以廣西北海為例”（批準文號：桂教科學【2015】11號，立項號：2015C114）的階段性成果.

現(xiàn)實教學中，很多學生都在私下跟教師反映導數(shù)太難學，感覺學不會.導數(shù)不僅是高等數(shù)學和初等數(shù)學之間聯(lián)系的紐帶，而且在高中數(shù)學多個章節(jié)的內(nèi)容間建立了聯(lián)系，是許多重要知識的交匯點，也是學好高中數(shù)學的一個重要工具.因此，教師必須為學生解決“導數(shù)難學”的問題.筆者結(jié)合自身在導數(shù)教學中的經(jīng)驗總結(jié)，提出了以下幾點內(nèi)容，希望為廣大一線高中數(shù)學教師提供些許參考意見.

一、導數(shù)在高中數(shù)學中的地位

（一）有助于學生理解函數(shù)性態(tài)

函數(shù)是高中數(shù)學中非常重要的組成部分，要學好函數(shù)知識，就要牢固掌握函數(shù)的形態(tài)，研究這些形態(tài)借助函數(shù)的圖像往往能夠起到事半功倍的效果.而導數(shù)的學習能夠幫助學生更好地繪制和分析函數(shù)圖像，對一些通過描點法、圖像變換規(guī)律難以做出的函數(shù)圖像，利用導數(shù)學生就能快速地判定函數(shù)的單調(diào)性，通過精確的函數(shù)極值點和最值點就能快速繪制函數(shù)圖像，為學生提供一個解決函數(shù)問題的有效工具.

（二）有助于學生掌握函數(shù)思想

在解決復雜的函數(shù)問題或是一些實際問題時，往往會用數(shù)學建模的方法來分析問題并建立函數(shù)關(guān)系，那么對所建立的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)的應用以及函數(shù)思想往往能夠有效快速地找到突破口.

（三）有助于學生解決切線問題

高中教材上的導數(shù)知識是由“變化率”引入的，研究曲線的變化率是一個重點內(nèi)容，而導數(shù)的幾何意義和曲線的變化率密切相關(guān)——f′（x0）正是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，這個知識點在高考中也是一個非常重要的考點.

二、結(jié)合數(shù)學史進行概念教學，幫助學生理解導數(shù)概念

（一）引 入

現(xiàn)實世界中有許多運動、變化的過程，為了描述、研究這些過程，我們引入了函數(shù).在以往的學習中，我們大多時候都在探究靜態(tài)函數(shù)的形態(tài)，但動態(tài)函數(shù)在高中數(shù)學中也是非常重要的知識點.那么我們該如何研究動態(tài)函數(shù)呢？微積分的創(chuàng)立為函數(shù)的研究提供了非常有力的工具，它是牛頓和萊布尼茨站在巨人的肩膀上劃時代的偉大創(chuàng)造，是數(shù)學史上的里程碑，讓我們穿過歷史的長河，來看看微積分是如何誕生的.

（二）情境創(chuàng)設

16世紀時，伽利略在比薩斜塔上做了轟動一時的“自由落體實驗”，發(fā)現(xiàn)了兩個不同質(zhì)量的鐵球是同時落地的，這個發(fā)現(xiàn)推翻了亞里士多德提出的“重量不同的物體落地速度不同”的理論，并在當時引起了軒然大波，同時引發(fā)了大量科學家對速度問題的思考和探究：自由落體運動明顯是變速運動，那么該如何求其在各個時刻的速度即瞬時速度呢？中國古代有祖沖之利用“割圓術(shù)”將圓周率精確到小數(shù)點后七位的故事，所謂“割圓術(shù)”，即是不斷增加圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，進而近似求出圓的面積，古人認為“天圓地方”正是因為人們所處的地域面積相對整個地球面積小到可以忽略不計而產(chǎn)生“地是方的”的錯誤認知.因此，科學家們認為，如果在極其短暫的瞬間，變速曲線運動也能夠近似看作勻速直線運動，所以只要所取的時間區(qū)間Δt非常非常小，并無限趨近于0，那么在這個時間區(qū)間內(nèi)物體的速度就可以看作是不變的.這個認識是一個偉大的認識，由此導致了微積分的誕生.

（三）引出導數(shù)概念

（三）構(gòu)造思想

構(gòu)造思想能夠?qū)⒁阎獥l件應用到所求問題中，使得問題轉(zhuǎn)化為一種更簡單易解的新形式，簡化解題過程.

例如，在問題“已知函數(shù)f（x）=exlnx+2ex-1x（x>0），證明f（x）>1”中，直接去證明是非常困難的，此時觀察exlnx+2ex-1x>1這個式子，可以發(fā)現(xiàn)里面含有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)，那么可以將指數(shù)函數(shù)放在一起，把對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)放在一起，即構(gòu)造不等式xlnx>xe-x-2e，這樣只需去證明函數(shù)g（x）=xlnx是恒大于函數(shù)h（x）=xe-x-2e的即可.在利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化問題之后，再利用導數(shù)在函數(shù)方面的應用去分析g（x）和h（x）的函數(shù)關(guān)系，即通過g（x）的一階導g′（x）=1+lnx可得到g（x）在區(qū)間0，1e上單調(diào)遞減，在1e，+∞上單調(diào)遞增，因此，g（x）的最小值為f1e=-1e，同理可以求出函數(shù)h（x）的最大值為h（1）=-1e，所以，當x>0時，f（x）>1.

總之，導數(shù)在高中階段占據(jù)著越來越重要的地位，教師必須高度重視學生對導數(shù)的學習研究，精心備課，讓學生樂意將時間和精力用在其中，以不斷提高學生的數(shù)學水平.

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