有導體的靜電問題

王天會

摘 ? 要：靜電平衡、靜電感應和靜電屏蔽本質上是一類問題，都是導體達到靜電平衡的問題。然而，這類問題無論是在高中還是在大學物理教學中都很難講清楚，通常讓學生越聽越糊涂。筆者經(jīng)過長期的思考，總結了學生糊涂的地方，并嘗試給出了理論解釋。文章分為兩部分，羅列出了解決這類問題所需要的理論知識，并利用所列知識講解了若干典例。

關鍵詞：靜電平衡;靜電屏蔽;靜電感應;空腔導體;唯一性定理;細導線

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）2-0061-4

1 ? ?高中知識

同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引;

正電荷從高電勢走向低電勢;

導體內部場強處處為零，導體是等勢體，導體表面是等勢面，導體表面場強垂直于導體表面;

達到靜電平衡的導體電荷只能分布在導體表面;

在導體外部，緊靠導體表面的點的電場強度與導體表面垂直，電場強度大小與導體表面對應點的電荷面密度成正比，尖端電荷密度大。

2 ? ?電場線的兩個基本性質及證明[1]

性質一：發(fā)自正點電荷q（以及止于負點電荷q）的場線條數(shù)正比于q。

性質二：電勢沿電場線不斷減小，電場線不構成閉合曲線。

（1）繪制電場線圖的附加規(guī)定

為了使場線圖能表現(xiàn)E的大小，人們特別約定，穿過電場中任一面元ΔS的場線條數(shù)正比于該面元的電通量，即

穿過ΔS的場線數(shù)=KE·ΔS

其中，K（K>0）為事先選定的比例常數(shù)，K值越大描寫越準確。只要遵守這一規(guī)定，必有場線密度=KE，其中場線密度為穿過單位面元的場線條數(shù)。

可見，只要在繪制場線圖時遵守附加規(guī)定，場線的疏密就能描寫E的大小E。

（2）性質一的證明

以任意場點P為心作小球面S，設S面的電通量是Φ，從S面穿出的場線條數(shù)為N，則由附加規(guī)定可知N=KΦ

另一方面，對球面S使用高斯定理又得Φ= q ，其中q 是S面內的電荷。

以上兩式結合便有N= q （性質一得證）

（3）反證法證明性質二

安培環(huán)路定理 ?E·dl=0

設有一條電場線構成閉合曲線，沿這曲線計算積分 ?E·dl時，因每點的切線方向（即dl方向）與電場強度方向相同，E·dl=Edl>0，故 E·dl>0，與環(huán)路定理矛盾?？梢?，電場線不能構成閉合曲線。

3 ? ?靜電唯一性定理

只要每個導體的電荷（或電勢）被事先指定，靜電場就能被唯一決定。靜電唯一性定理保證了靜電現(xiàn)象結果的唯一性。

在導體表面取一個高斯面，易得E=

上式告訴我們當導體表面電場被唯一確定時，表面的電荷分布也被唯一確定了;電場強度大小與導體表面對應點的電荷面密度成正比。

唯一性定理的兩個推論：

推論一：

外屏蔽：殼內電場不受殼外電荷的影響;

內屏蔽：接地球殼保證殼外電場不受殼內電荷的影響。

推論二：殼內表面電荷和殼內電荷在殼內壁之外任意一點的合電場為零，殼外表面電荷和殼外電荷在殼外壁之內任意一點合電場為零。

導體上的電荷和電勢不是獨立的，不可能在已經(jīng)指定導體電荷的情況下還能同時指定導體上的電勢，也不可能在已經(jīng)指定導體電勢的情況下還能同時指定導體上的電荷[2]。

4 ? ?兩個理想化模型

細導線模型：把導線連接的兩球看作一個孤立的導體，導線自然也是這一孤立導體的一部分，其表面也應存在電荷。

然而直觀地想，只要導線足夠細，這一影響就可以忽略，連接兩個導體的細導線的唯一作用是使導體間可以交換電荷直至等勢，一旦達到等勢，導線就不再有任何影響。此時撤去導線，導體電荷的分布（導體內外的靜電場）不會有任何變化[3]。

理想化地球模型（大地與無窮遠等勢）：實測表明地球表面帶負電，總電荷達到Q≈-4×105 C，在地面造成的靜電場強度達到100 V/m[4]。在室內，由于墻壁的屏蔽作用，室內近似有V =V =0;而在室外，事實上只有當我們所研究的導體帶電量足夠大，以至于它在地球表面產(chǎn)生的場強遠大于100 V/m時，才可以忽略地球帶電，此時近似有V =V =0。

然而，忽略上述的應用條件有兩個好處：一方面，它可以適用于某些特殊情況;另一方面，可以簡化問題、方便教學，以利于腦力鍛煉。

5 ? ?典例分析

例1 導體B接地，如圖1（無論是近端接地還是遠端接地），B上任何位置都無正電荷分布。

證明 若B上某點分布有正電荷，則它所發(fā)出的電場線只能延伸至無窮遠，故VB>V 。另一方面，B接地導致VB=V =V ，與VB>V 矛盾，故B上任何一點無正電荷。

評論 中學階段在分析此題時往往是混淆不清的，圖1（a）的結果是清晰的，可用靜電感應解釋，導體近端帶負電，遠端帶正點。圖1（b）遠端接地，近端帶負點，所有正電荷進入大地。然而，把導線近端接地的問題，引起了很多老師的爭論。有人說遠端的正電荷本來就受到近端負電荷的吸引，現(xiàn)在近端又有接地線，自然會流到近端并沿導線進入大地。有人說它流向近端時會受到施感電荷q的排斥，因而不會流到近端。還有人用正電荷流向電勢低的地方來解釋，遠端剛接地時，遠端電勢高于地的電勢，所以正電荷沿線入地;近端接地時，正電荷要沿線入地就要先走到近端，但遠、近端原本電勢是相等的，正電荷怎能走向近端。無論是從“異性相吸”的角度或者是“正電荷從高電勢走向低電勢”的角度，在解釋近端接地時都感到矛盾重重。

在這里筆者用唯一性定理說明，近端接地和遠端接地是等價的。無論是近端接地或是遠端接地，本質上都是指定了導體表面的電勢，導體表面的電勢條件和導體外的施感電荷一起構成了混合邊界條件，唯一確定了導體外空間的電場，導體表面的電荷分布也是唯一確定的。因此，唯一性定理給這類題指明了方向，我們不應該追求電荷移動這種“動態(tài)分析”的方式，而應該應用唯一性定理進行“靜態(tài)分析”。

例2 如圖2所示，兩個相同的空心金屬球M和N，M帶電荷量為-Q， N不帶電（M、N相距很遠，互不影響），旁邊各放一個不帶電的金屬球P和R，當將帶正電Q的小球O分別放入M和N的空腔中時（ ? ? ）

A.P、R上均出現(xiàn)感應電荷

B.P、R上均沒有感應電荷

C.P上有而R上沒有感應電荷

D.P上沒有而R上有感應電荷

解答 根據(jù)電場線性質一，小球O發(fā)出的電場線條數(shù)正比于Q，這些電場線既不能在無電荷處中斷，又不能穿過導體球殼，就只能終止于球殼內壁，故殼內壁的總電荷為-Q。 不管球殼本身帶多少電荷，總之球殼內壁的電荷一定是-Q。金屬球M原本帶電總量為-Q，計算可得金屬球M外殼帶電量為零，同理可得金屬球N外殼帶電為Q。根據(jù)唯一性定理的推論二可以知道，球殼內部電荷和球殼內壁電荷對球外空間不產(chǎn)生影響，故只有金屬球外壁的電荷對球外空間產(chǎn)生影響。金屬球M外殼不帶電，金屬球P不會產(chǎn)生感應電荷。金屬球N外壁帶正電，會使金屬球R產(chǎn)生感應電荷。

評論 雖說電場線性質一需要用到高斯定理才能推導出來，可是直接告訴學生電荷和電荷發(fā)出電場條數(shù)的關系，學生是可以接受的，而且可以利用這個性質來推知空腔內壁的電荷。

例3 ?如圖3所示，一帶正電的絕緣金屬球殼a，頂部開孔，有兩個帶正電的金屬球b、c用金屬導線連接，讓b球置于球殼a的空腔中與內表面接觸后又提到如圖位置，c球放a球殼外離a球較遠，待靜電平衡后，正確的說法是（ ? ? ）

解答 空腔內部場強和電荷處處為零，那么移動空腔內部的導線和小球對空間電場不產(chǎn)生影響，可以把小球b和細導線貼著空腔內壁，畫出下面的等效圖（圖4），小球b可以看作空腔內壁的一部分，c球和球殼外壁相連構成一個大導體，a空腔和c小球帶同種電荷，故本題選B選項。

評論 一些教輔資料在講解這個問題時都提到了要整體分析，可怎么整體分析資料中都沒有講清楚。筆者在經(jīng)過長時間思考后得出了上述可行的解釋方式。在這里順便指出小球c通過導線和內壁相連或是和外壁相連是等價的。

例4 ?靜電感應和靜電起電的演示實驗（圖5）。將帶電體靠近靜電計棒的小球[圖5（a）]，指針偏轉;將靜電計棒接地，指針下垂[圖5（b）];撤去棒的接地線，指針仍不動[圖5（c）];移去帶電體，指針又復偏轉[圖5（d）]。請說明每一步的道理。

例5 ?用一根跟毛皮摩擦過的硬橡膠棒，靠近不帶電驗電器的金屬小球a（圖6），然后用手指瞬間接觸一下金屬桿c后拿開橡膠棒，這時驗電器小球a和金箔b的帶電情況是（ ? ? ?）

解答 用毛皮摩擦過的橡膠棒帶負電，驗電器的金屬球感應出正電荷，指針上感應出負電。手指接觸金屬棒后和大地等勢，指針上就不能存在負電荷了。假設存在，從無窮遠發(fā)出終止于負電荷會推出指針電勢小于零，和接地矛盾。移開橡膠棒后，金屬球和指針這個整體帶正電，因此指針和金屬球都帶正電，本題選C選項。

評論 本例和例4類似，之所以單獨拿出來講，是因為本例要講筆者對“手指接觸導體”的理解。手指瞬間接觸一下金屬桿c是什么含義，有些老師認為人相當于接地導線。筆者倍感疑惑，把普通導線看作細導線模型是可以理解的，而把人體看作細導線模型筆者就難以接受了。經(jīng)過長時間的思索，筆者發(fā)現(xiàn)完全可以避免人體作為導線這個說法，因為人體與大地是等勢的，手指接觸金屬棒相當于金屬棒直接接地，從而舍棄了人體作為導線這種講法。筆者注意到這一類題目往往在手指接觸金屬棒的前面加了“瞬間”二字，給人的感覺似乎是如果手指長時間接觸金屬棒結果就不一樣了，或者說命題人的潛意識認為長時間接觸金屬棒電會被放掉。我們知道導體達到靜電平衡的過程是很快的，大概在10-19這個量級[5]。在這里筆者借助唯一性定理說明瞬時接觸和長時間接觸是等價的，導體表面的電勢條件和導體外的施感電荷一起構成了混合邊界條件，唯一確定了導體外空間的電場，導體表面的電荷分布也是唯一確定的。唯一性定理給我們的條件從來就沒有提到過時間。

例6 ?如圖7所示，一個帶正電的金屬球殼A內部有一不帶電的金屬球B，現(xiàn)將小球B接地，證明小球B帶負電。

證明 接地后的小球B和大地等勢，而球殼A帶正電，電勢為正，則電場線由球殼內壁指向金屬球B，電場線從正電荷出發(fā)終止于負電荷，因此球殼內壁帶正電，金屬球B帶負電。

評論 本例特殊在接地后空腔內表面和外表面都帶正電。

6 ? ?結 ? 語

通過上述的分析，可以知道定性解決靜電問題的法寶是唯一性定理和電場線的兩個性質。本文旨在總結靜電現(xiàn)象所涉及到的原理，難免有不足之處，還請各位專家批評指正。

參考文獻：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版社，2018：20-23.

[2]郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，2008：45-46.

[3]費恩曼，萊頓，桑茲. 費曼物理學講義第二卷[M].上海：上?？茖W技術出版社，2013：80.

[4]費恩曼，萊頓，桑茲. 費曼物理學講義第二卷[M].上海：上?？茖W技術出版社，2013：109-110.

[5]梁燦彬，曹周健，陳步陶. 電磁學（拓展篇）[M].北京：高等教育出版社，2018：39.（欄目編輯 ? ?羅琬華）