基于格林函數(shù)的浮置板參數(shù)對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響

鄒義龍

摘要：根據(jù)城市軌道交通高架橋梁輕型浮置板線路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立車輛?輕型浮置板軌道?高架橋梁垂向耦合振動(dòng)模型，利用格林函數(shù)得到浮置板軌道與橋梁垂向振動(dòng)響應(yīng)的解析表達(dá)式，分析在軌道不平順振動(dòng)載荷激勵(lì)下浮置板參數(shù)對(duì)軌道系統(tǒng)振動(dòng)的影響。結(jié)果表明：浮置板參數(shù)的變化對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響主要集中在70 Hz以下的低頻段;減小鋼彈簧剛度對(duì)降低橋梁垂向振動(dòng)功率、增大振動(dòng)傳播的衰減有利;浮置板厚度對(duì)橋梁垂向振動(dòng)的影響較為復(fù)雜，需要根據(jù)情況區(qū)別對(duì)待。

關(guān)鍵詞：

浮置板; 高架橋梁; 格林函數(shù); 耦合振動(dòng)

中圖分類號(hào)：U211.3;TP391.99

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

Influence of floating slab parameters on vertical vibration of elevated bridge based on Green function

ZOU Yilong

（Lanzhou Rail Transit Co.， Ltd.， Lanzhou 730000， China）

Abstract：

According to the structure characteristics of elevated bridge of urban rail transit with light floating slabs， the vertical coupling dynamics model of the vehicle and light floating slab track and elevated bridge is established. The analytical function of vertical vibration response of the floating slab track and elevated bridge is solved by Green function. The influence of the floating slab parameters on the track system vibration when it is excited by the irregularity vibration loading is analyzed. The results show that the influences of floating slab parameters on the vertical vibration of elevated bridge concentrates on the low frequency （below 70 Hz）; the reduction of the steel spring stiffness is beneficial to reduce the vertical vibration power and to increase the attenuation of vibration propagation; the effect of the floating slab thickness on the vertical vibration of elevated bridge is complex， which should be treated differently according to the situation.

Key words：

floating slab; elevated bridge; Green function; coupling vibration

0?引?言

近年來，我國城市軌道交通大力發(fā)展，已成為緩解城市交通擁堵的方式之一。但是，城市軌道交通引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)、噪聲等問題也日益顯現(xiàn)。浮置板軌道是控制列車振動(dòng)的方法之一，在城市軌道交通建設(shè)中應(yīng)用廣泛。國內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)浮置板軌道減振降噪性能進(jìn)行研究。NELSON[1]研究預(yù)制式和現(xiàn)場(chǎng)澆注式2種浮置板軌道的工程應(yīng)用和隔振效果。王瀾等[2]把軌道幾何不平順載荷輸入車輛?軌道耦合動(dòng)力系統(tǒng)作為振動(dòng)激勵(lì)源，研究普通碎石道床軌道和浮置板軌道的動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)浮置板軌道比普通碎石道床軌道隔振效果更好。侯德軍等[3]建立浮置板軌道雙層連續(xù)彈性梁模型，利用傅里葉變換求得軌道的振動(dòng)響應(yīng)，獲得地面最大激振力與激振頻率的關(guān)系曲線。李增光等[4?5]建立地鐵列車車輛?浮置板軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析浮置板軌道激勵(lì)振動(dòng)的形成原因和影響規(guī)律。

本文針對(duì)城市軌道交通中高架橋梁輕型浮置板軌道的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立地鐵列車車輛?浮置板軌道?橋梁的垂向耦合動(dòng)力學(xué)頻域模型，采用格林函數(shù)法快速求解輕型浮置板軌道與高架橋梁的耦合振動(dòng)特性，分析在軌道隨機(jī)不平順載荷作用下浮置板參數(shù)對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響規(guī)律。

1?車輛?浮置板軌道?橋梁耦合動(dòng)力學(xué)模型

1.1?物理模型

根據(jù)耦合動(dòng)力學(xué)理論，建立地鐵列車車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型，見圖1。

車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合系統(tǒng)共有3個(gè)子系統(tǒng)：車輛子系統(tǒng)、輕型浮置板軌道子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)。在車輛子系統(tǒng)中，將車體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)視為剛體，車體與2個(gè)轉(zhuǎn)向架以及轉(zhuǎn)向架與輪對(duì)之間的懸掛系統(tǒng)用彈簧阻尼單元模擬。在軌道系統(tǒng)中：鋼軌視為無限長Timoshenko梁，采用離散點(diǎn)彈性支撐，具有垂向振動(dòng);扣件系統(tǒng)用彈簧阻尼單元模擬;浮置板道床用兩端自由的Euler梁模擬，具有垂向運(yùn)動(dòng);浮置板隔振器用線性彈簧和黏性阻尼元件模擬。在橋梁子系統(tǒng)中：橋梁用簡支Euler梁模擬，具有垂向運(yùn)動(dòng);橋梁支撐用線性彈簧阻尼元件模擬。車輛子系統(tǒng)與軌道子系統(tǒng)之間的耦合作用通過輪軌力傳遞，軌道子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)之間的耦合作用通過軌道與橋梁間的作用力傳遞。

1.2?浮置板軌道?橋梁系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

鋼軌運(yùn)動(dòng)可用格林函數(shù)表示為

Gr（x1，x2）=u1e-ik1x1-x2+u2e-ik2x1-x2

（1）

式中：Gr（x1，x2）為在位置x2處施加單位力時(shí)在x1處引起的位移;e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù);i為虛數(shù)單位;k1、k2、u1和u2為計(jì)算參數(shù)，其與振動(dòng)波沿鋼軌的傳播有關(guān)。[6]

浮置板運(yùn)動(dòng)可用格林函數(shù)表示為

Gs（x1，x2）=Nsn=1Ws，n（x1）Ws，n（x2）（1+iηs）ω2s，n-ω2

（2）

式中：Ns為浮置板的計(jì)算模態(tài)數(shù);Ws，n（x）為自由?自由Euler梁的第n階振型函數(shù);ηs為浮置板的損耗因子;ωs，n為浮置板的固有頻率，ωs，n=k2s，n×EsIs/ρsAs，ks，n是與振型有關(guān)的參數(shù)[7]，Es為浮置板的彈性模量，Is為浮置板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ρs為浮置板的密度，As為浮置板的橫截面積;ω為激勵(lì)力的角頻率。

高架橋梁運(yùn)動(dòng)可用格林函數(shù)表示為

Gb（x1，x2）=Nbn=1Wb，n（x1）Wb，n（x2）（1+iηb）ω2b，n-ω2

（3）

式中：Nb為橋梁的計(jì)算模態(tài)數(shù);Wb，n（x）為簡支梁的第n階振型函數(shù);ωb，n為橋梁的固有頻率，ωb，n=k2b，nEbIb/ρbAb，kb，n=nπ/Lb，Lb為橋梁的長度，Eb為橋梁的彈性模量，Ib為橋梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ρb為橋梁密度，Ab為橋梁的橫截面積。[8]

利用疊加原理，鋼軌、浮置板和橋梁在頻域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程組為

ur（x）=Aa=1Gr（x，xa）Fw，a-

Nn=1Gr（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））

us（x）=Nn=1Gs（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））-

Mm=1Gs（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））

ub（x）=Mm=1Gb（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））-

Zz=1Gs（x，xz）Kzub（xz）

（4）

式中：Fw，a為第a個(gè)車輪在縱向xa處對(duì)鋼軌施加的輪軌力;ur（xn）和us（xn）分別為鋼軌和浮置板在扣件縱向坐標(biāo)xn處的垂向位移;us（xm）和ub（xm）分別為浮置板和橋梁在鋼彈簧縱向坐標(biāo)xm處的垂向位移;ub（xz）為橋梁在橋梁支座縱向坐標(biāo)xz處的垂向位移;Kf、Kj和Kz分別為扣件、浮置板基座和橋梁支座的復(fù)剛度（包含損耗因子）;A、N、M和Z分別為作用在鋼軌上的車輪數(shù)、扣件支點(diǎn)數(shù)、浮置板鋼彈簧支點(diǎn)數(shù)和橋梁支點(diǎn)數(shù)。

整理式（4），寫成矩陣型式為

GKu=F

（5）

式中：GK為由鋼軌、浮置板和橋梁的格林函數(shù)系數(shù)乘以Kf、Kj和Kz組成的矩陣;u為由待求解的由鋼軌、浮置板和橋梁的垂向位移組成的向量;F為載荷向量。求解式（5）即可得到輪軌力作用下軌道?橋梁結(jié)構(gòu)的頻域位移動(dòng)力響應(yīng)。

當(dāng)鋼軌受到單位垂向簡諧力時(shí)，由式（5）可求解得到鋼軌受力位置的位移響應(yīng)，即為軌道的原點(diǎn)位移導(dǎo)納矩陣αt。

1.3?車輛運(yùn)動(dòng)方程

車輛系統(tǒng)的位移導(dǎo)納矩陣為

αv=（-ω2Mv+iωCv+Kv）-1

（6）

式中：Mv、Cv和Kv分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。車輛在輪對(duì)處的導(dǎo)納矩陣為

αw=HαvHT

（7）

式中：H為車輛系統(tǒng)對(duì)輪對(duì)接觸點(diǎn)處的轉(zhuǎn)換矩陣。

1.4?輪軌接觸關(guān)系

車輛與軌道耦合關(guān)系通過輪軌相互作用力實(shí)現(xiàn)，即

Fw，a（ω）=Δz（ω）αt+αw+αh

（8）

式中：Fw，a（ω）為軌道不平順引起的垂向輪軌力;αh為輪軌接觸彈簧的導(dǎo)納，αh=1/k，k為線性化輪軌接觸剛度，取值為1.4×109 N/m;Δz（ω）為輸入的系統(tǒng)隨機(jī)不平順度，可通過虛擬激勵(lì)法獲得，具體求解過程參考文獻(xiàn)[9?10]。車輛、軌道和路基系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可按照式（5）和（6）求解。

2?數(shù)值分析與結(jié)果討論

根據(jù)以上理論分析，在MATLAB中編制車輛?浮置板軌道?橋梁垂向耦合振動(dòng)模型，分析在軌道不平順載荷激勵(lì)下浮置板參數(shù)對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響。采用A型地鐵車輛模型，鋼軌為60 kg/m的標(biāo)準(zhǔn)鋼軌，損耗因子為0.01，其他部件模型參數(shù)見表1。

為反映高架橋梁?浮置板軌道系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞特性，用振動(dòng)功率流理論分析高架橋梁與浮置板軌道間的振動(dòng)傳遞。頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的平均功率可表示為

P（ω）=12Re（F*（ω）·V（ω））

（9）

式中：Re（）表示復(fù)變函數(shù)的實(shí)部;F*（ω）為結(jié)構(gòu)受到的力幅值向量的伴隨陣;V（ω）為結(jié)構(gòu)振動(dòng)速度向量。振動(dòng)功率常采用功率級(jí)表示，單位為dB，參考功率值為1×10-12 W。

采用橋梁相對(duì)鋼軌的振動(dòng)功率衰減值衡量軌道結(jié)構(gòu)間的振動(dòng)衰減，即

Δp=10log 10（Pr/Pb）

（10）

式中：Δp為振動(dòng)功率衰減，單位為dB;Pr為鋼軌振動(dòng)功率的有效值;Pb為橋梁振動(dòng)功率的有效值。

采用美國6級(jí)軌道譜作為系統(tǒng)激勵(lì)輸入，車速為70 km/h，選取橋梁垂向振動(dòng)功率、從鋼軌傳播到橋梁的振動(dòng)衰減和第一個(gè)輪對(duì)所在橫截面上橋梁的垂向加速度功率譜為研究對(duì)象，分析鋼彈簧剛度和浮置板厚度對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響。

2.1?鋼彈簧剛度的影響

在鋼彈簧剛度分別為4、10、15和20 MN/m時(shí)，橋梁垂向振動(dòng)與頻率關(guān)系的計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖2，其中橋梁垂向振動(dòng)功率參考值為1×10-12 W。

由圖2可知：鋼彈簧剛度的減小和縱向間距的增大對(duì)橋梁垂向振動(dòng)的影響規(guī)律基本一致;減小鋼彈簧剛度更容易控制橋梁垂向振動(dòng)。

2.2?浮置板厚度的影響

分別取浮置板厚度為15、20、25和30 cm，浮置板厚度變化對(duì)橋梁垂向振動(dòng)影響的計(jì)算結(jié)果見圖3。

由此可知，浮置板厚度的變化對(duì)橋梁垂向振動(dòng)的影響比較復(fù)雜：在7～20 Hz范圍內(nèi)，浮置板越厚橋梁垂向振動(dòng)加速度功率譜的峰值越小;在70 Hz左右橋梁垂向加速度功率譜峰值最大;在37 Hz左右，橋梁垂向振動(dòng)加速度功率譜出現(xiàn)波峰，此處浮置板厚度為20 cm時(shí)峰值最大，浮置板厚度為15 cm時(shí)峰值最小;在10 Hz左右，隨著浮置板厚度的增大橋梁垂向振動(dòng)功率減小，而其他頻段浮置板厚度變化幾乎不影響橋梁垂向振動(dòng)功率;浮置板厚度的變化對(duì)振動(dòng)從鋼軌傳播到橋梁的衰減幾乎沒有影響。

4?結(jié)束語

浮置板參數(shù)變化對(duì)高架橋梁垂向振動(dòng)的影響主要集中在低頻振動(dòng)段，為進(jìn)一步研究高架輕型浮置板軌道線路引起的環(huán)境振動(dòng)和噪聲提供參考。減小鋼彈簧的剛度對(duì)降低橋梁垂向振動(dòng)功率、增大由鋼軌傳播到橋梁的振動(dòng)衰減更有利。浮置板厚度對(duì)橋梁垂向振動(dòng)的影響較復(fù)雜。浮置板厚度對(duì)橋梁垂向振動(dòng)加速度影響比較明顯，對(duì)橋梁垂向振動(dòng)功率和從鋼軌傳播到橋梁的振動(dòng)衰減影響較小。

參考文獻(xiàn)：

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（編輯?武曉英）