幾類(lèi)含定性因子的復(fù)合型混料模型的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)

葉婉穎， 朱小淵， 張崇岐

(廣州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

0 引 言

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)屬于試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)科的一個(gè)重要分支, 它被廣泛地應(yīng)用在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中[1], 且試驗(yàn)的響應(yīng)值只取決于混料中各成分的比例[2-3]. Scheffé[4]為這類(lèi)試驗(yàn)提出了一套規(guī)范的理論. 在q分量混料系統(tǒng)中，令xi表示混料中第i個(gè)成分的比例. 在混料試驗(yàn)中, 試驗(yàn)域是被限制在q-1維正規(guī)單純形內(nèi)的.

Sq-1={(x1,x2,…,xq):xi≥0,

(1)

而通過(guò)變形得到的一種適用于混料試驗(yàn)的回歸模型被稱(chēng)為混料規(guī)范多項(xiàng)式模型. 隨后, 為了克服單純形-格子設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)過(guò)多以及在預(yù)測(cè)精度上的不足, Scheffé提出了模型各項(xiàng)更具有對(duì)稱(chēng)性的單純形-中心設(shè)計(jì). 該設(shè)計(jì)將各試驗(yàn)點(diǎn)安排在單純形整體及所有低維單純形的中心上, 對(duì)應(yīng)的q分量中心多項(xiàng)式形式為

(2)

其中,βi,βij,…,β12…q分別表示中心多項(xiàng)式(2)中各項(xiàng)的待估參數(shù).

一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果通常會(huì)受到多個(gè)不同因子的影響, 這些因子可能是定量的, 也可能是定性的, 各因子之間還可能存在對(duì)抗或協(xié)同作用[5]. 通常經(jīng)典的混料試驗(yàn)只討論定量混料分量, 在實(shí)際中, 若混料響應(yīng)值除受混料分量影響外，還受到如外界溫度等定性因子的影響, 則需在經(jīng)典混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷幕A(chǔ)上將定性因子納入考慮后，再對(duì)該類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行擬合[6]. 在試驗(yàn)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中, 含定性因子的已有研究有對(duì)混料分量是定性因子情形的討論[7], 對(duì)當(dāng)因子為定性因子且在試驗(yàn)上有約束的區(qū)組設(shè)計(jì)的討論[8-10], 關(guān)于含定性因子的一般模型和多響應(yīng)模型的提出及研究[11-12], 以及對(duì)含定性因子的混料模型的D-最優(yōu)和A-最優(yōu)設(shè)計(jì)的充要條件和半解析解的研究[5]. 常見(jiàn)的含定性因子混料模型的形式為引入名為“過(guò)程變量”的獨(dú)立變量, 再通過(guò)構(gòu)造考慮所有混料分量和過(guò)程變量的混合模型或分離模型, 或是構(gòu)造一種將混料分量獨(dú)立變換后的模型來(lái)進(jìn)行之后的數(shù)據(jù)分析[13]. 另一種模型形式是將在中心組合設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上提出的含定性因子模型引入混料試驗(yàn)中[11].

在第j水平上, 將一個(gè)包含了q個(gè)定量因子和一個(gè)水平數(shù)為s的定性因子的一般模型表示為

x∈?Rq,j= 1,2,…,s

(3)

其中,y(j,xT)是試驗(yàn)點(diǎn)x=(x1,x2,…,xq)T∈對(duì)應(yīng)第j個(gè)水平下的響應(yīng)值.和均為已知的給定函數(shù)向量. {βj,j=1,2,…,s}和γ則分別為函數(shù)向量的未知參數(shù)向量集合和未知參數(shù)向量,為定量因子的試驗(yàn)域,Rq表示q維實(shí)數(shù)域. 在模型(3)中,表示回歸函數(shù)中定量因子與定性因子之間存在交互效應(yīng)的部分, 這部分響應(yīng)函數(shù)隨著定性因子水平的變化而有所不同; 而則是指定量因子與定性因子之間不存在交互效應(yīng)的部分, 該部分是總效應(yīng)中不隨定性因子變化而變化的部分, 即在每個(gè)定性水平上都保持不變.

近二十年來(lái)在混料試驗(yàn)中, 最常被研究的是最優(yōu)設(shè)計(jì)[14-18]. 最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的一個(gè)重要理論是等價(jià)定理(KWT)[19]. 近年來(lái), 在生成響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)中, 基于預(yù)測(cè)的最優(yōu)準(zhǔn)則被廣泛應(yīng)用. 使用預(yù)測(cè)響應(yīng)值的方差函數(shù)作為設(shè)計(jì)混料試驗(yàn)起點(diǎn)的說(shuō)法，在關(guān)于混料試驗(yàn)的開(kāi)創(chuàng)性文章中就已提出[4].I-最優(yōu)準(zhǔn)則是一個(gè)常用的基于預(yù)測(cè)的最優(yōu)準(zhǔn)則, 它是在給定的試驗(yàn)域上尋求使得預(yù)測(cè)值方差函數(shù)的平均值達(dá)到最小的設(shè)計(jì)[20]. 由于良好的預(yù)測(cè)特性對(duì)于優(yōu)化至關(guān)重要, 因此，I-最優(yōu)準(zhǔn)則常被用于優(yōu)化二階模型[21]. 利用平均預(yù)測(cè)方差的定義[22], Lambrakis[23-24]正式定義了兩種特殊類(lèi)型混料設(shè)計(jì)的I-最優(yōu)性準(zhǔn)則. 關(guān)于混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的兩本專(zhuān)著則簡(jiǎn)要提及了I-最優(yōu)性準(zhǔn)則[16，25]. Lambrakis[24]、Laake[26]、Liu等[27]和Sinha等[18]給出了Scheffé模型的I-最優(yōu)混料設(shè)計(jì)結(jié)果.關(guān)于中心多項(xiàng)式[27-29]、可加混料模型[30]和Becker模型[31]等的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)也已有了相關(guān)研究.

本文的主要工作是研究在含定性因子的情況下混料模型的I-最優(yōu)設(shè)計(jì), 因此，需要給出含定性因子混料模型的矩矩陣的定義, 進(jìn)一步通過(guò)具體模型的近似I-最優(yōu)配置的引例得到相關(guān)定理.

1 準(zhǔn)備知識(shí)與相關(guān)記號(hào)

y=βTf(x)+ε

(4)

其中,y表示在點(diǎn)x∈處的響應(yīng)觀測(cè)值向量,x=(x1,x2,…,xq)T是試驗(yàn)域中的一點(diǎn).f(x)=[f1(x),f2(x),…fm(x)]T是關(guān)于試驗(yàn)點(diǎn)x的已知函數(shù)向量,β是m維未知參數(shù)向量. 假定隨機(jī)誤差ε是各分量獨(dú)立同分布于均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布的隨機(jī)向量.

(5)

假設(shè)響應(yīng)值之間互相獨(dú)立, 且方差不變, 考慮模型的混料應(yīng)用情形，在第j水平上, 包含了q個(gè)定量因子和一個(gè)水平數(shù)為s的定性因子的復(fù)合型混料模型通常有以下形式:

(1)定性因子與定量因子之間存在著線性效應(yīng), 協(xié)同或?qū)剐?yīng)僅存在于不隨定性因子水平不同而變化的部分時(shí):

x∈?Sq-1,j=1,2,…,s

(6a)

(2)定性因子與定量因子之間存在著協(xié)同或?qū)剐?yīng), 不隨定性因子水平不同而變化的固定部分存在著線性效應(yīng)時(shí):

x∈?Sq-1,j=1,2,…,s

(6b)

(3)所有線性效應(yīng)、協(xié)同或?qū)剐?yīng)都存在于定性因子與定量因子之間時(shí), 在這種情況下的模型與不含定性因子的二階響應(yīng)曲面模型并無(wú)差異, 僅僅是將一般模型放在定性因子的不同水平上進(jìn)行了擬合:

x∈?Sq-1,j=1,2,…,s

(6c)

x∈?Sq-1,j=1,2,…,s

(7)

則在第j水平上, 一個(gè)包含了q個(gè)定量因子和一個(gè)水平數(shù)為s的定性因子的廣義復(fù)合型混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ托问綖?/p>

γT)T=gT(j,xT)θ,x∈Ω,j= 1,2,…,s

(8)

ξ(j,xT)=ζ(j)×ηj(x)

(9)

其中,ζ(j)及ηj(x)分別是和Sq-1上的邊際設(shè)計(jì)和條件設(shè)計(jì).

本文將在以下三種實(shí)際中常用的低階混料模型的基礎(chǔ)上, 對(duì)它們含定性因子的情況進(jìn)行研究.

(1)q分量一階規(guī)范多項(xiàng)式模型, 簡(jiǎn)稱(chēng){q,1}多項(xiàng)式模型:

(10a)

(2)q分量二階規(guī)范多項(xiàng)式模型, 簡(jiǎn)稱(chēng){q,2}多項(xiàng)式模型:

(10b)

(3)q分量中心多項(xiàng)式模型:

(10c)

D-最優(yōu)準(zhǔn)則所選取的設(shè)計(jì)是使信息矩陣的行列式達(dá)到極大值, 從而使得模型未知參數(shù)向量β的置信橢球體的體積達(dá)到最小的設(shè)計(jì), 即使得D-最優(yōu)準(zhǔn)則關(guān)于信息矩陣的判定函數(shù)ΦD[M(ξ)]滿足

(11)

的設(shè)計(jì)[14,32].

I-最優(yōu)設(shè)計(jì)是使得平均預(yù)測(cè)方差

(12)

引理1[17](I-最優(yōu)等價(jià)定理) 設(shè)計(jì)ξ*是I-最優(yōu)設(shè)計(jì)當(dāng)且僅當(dāng)I-準(zhǔn)則下的判決函數(shù)ΨI(x,ξ*)對(duì)任一x∈滿足下列不等式:

ΨI(x,ξ*)=fT(x)M-1(ξ*)BM-1(ξ*)f(x)-

tr(M-1(ξ)B)≤0

(13)

其中, 矩矩陣

(14)

2 主要結(jié)果

例1 對(duì)于三種實(shí)際中常用的低階混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ?10a)～(10c), 考慮定性因子取兩個(gè)水平(s=2)的情況, 將試驗(yàn)域Ω=Sq-1×上含一個(gè)兩水平定性因子z的三分量模型具體形式列舉如下(其他模型形式類(lèi)似可得):

(1){3,1}多項(xiàng)式模型

模型(6a)和模型(6c)具體為

(15a)

模型(6b)具體為

(15b)

(2){3,2}多項(xiàng)式模型(及其轉(zhuǎn)換為含過(guò)程變量的模型形式)

模型(6a)具體為

(β1a+β2az)x1+(β1b+β2bz)x2+

肝臟感染中,細(xì)菌性肝膿腫是常見(jiàn)且嚴(yán)重的化膿性疾病。隨著理論研究及醫(yī)療技術(shù)的進(jìn)步,不僅使肝膿腫病死率降至10% 以下,還使其治愈率及診斷率不斷提高[2]。對(duì)細(xì)菌性肝膿腫,目前采用較多的是超聲引導(dǎo)下經(jīng)皮肝穿刺細(xì)針抽吸術(shù)與經(jīng)皮肝穿刺置管引流術(shù)。一般認(rèn)為,對(duì)于直徑≥5cm的膿腫,采用穿刺置管引流術(shù)[3]。置管引流術(shù)較細(xì)針抽吸術(shù)明顯縮短了患者的痊愈時(shí)間。

(β1c+β2cz)x3+γ12x1x2+γ13x1x3+γ23x2x3

(15c)

模型(6b)具體為

γ1x1+γ2x2+γ3x3+(β1ab+β2abz)x1x2+

(β1ac+β2acz)x1x3+(β1bc+β2bcz)x2x3

(15d)

模型(6c)具體為

(β1a+β2az)x1+(β1b+β2bz)x2+

(β1c+β2cz)x3+(β1ab+β2abz)x1x2+

(β1ac+β2acz)x1x3+(β1bc+β2bcz)x2x3

(15e)

在含定性因子的復(fù)合型混料模型(8)中, 設(shè)計(jì)ξ上的信息矩陣為[17]

(16)

其中,

(17)

(18)

當(dāng)在定性因子的每個(gè)水平上考慮相同的條件設(shè)計(jì)η時(shí), 模型在設(shè)計(jì)ξ上的信息矩陣可簡(jiǎn)化為

(19)

而當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 即此時(shí)，模型在設(shè)計(jì)ξ=ζ(j)×ηj上的信息矩陣可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(20)

其中,Is表示s階單位陣,1s表示元素全為1的s維列向量. 可以看出, 在實(shí)際問(wèn)題中若是有對(duì)邊際設(shè)計(jì)ζ(j)取非均勻設(shè)計(jì)的需求, 則只需添加上不同權(quán)重系數(shù)ζ(j)即可.

為簡(jiǎn)化討論情況, 下文始終僅考慮在定性因子的每個(gè)水平上取相等條件設(shè)計(jì)η的情況.

引理2[6](混料分類(lèi)模型的D-最優(yōu)設(shè)計(jì)) 當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 模型(8)在D-最優(yōu)準(zhǔn)則下的方差函數(shù)為

(21)

(22)

其中,p1表示模型中函數(shù)向量f1的維數(shù),p2表示模型中函數(shù)向量f2的維數(shù). 當(dāng)且僅當(dāng)x為柱點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

在對(duì)模型求I-最優(yōu)設(shè)計(jì)的過(guò)程中, 可對(duì)I-最優(yōu)準(zhǔn)則進(jìn)行簡(jiǎn)化. 首先，將試驗(yàn)域上的平均預(yù)測(cè)方差的積分形式改寫(xiě)為更易于計(jì)算的Gamma函數(shù)的形式:

(23)

進(jìn)一步, 假定試驗(yàn)域是q-1維單純形全域Sq-1時(shí), 試驗(yàn)域上的平均預(yù)測(cè)值方差可改寫(xiě)為[24,33-34]

APV=Γ(q)·tr[M-1B]=

(24)

可以看出, 為了得到含定性因子的混料模型的I-最優(yōu)設(shè)計(jì), 求解得到模型的矩矩陣B是重要的一環(huán).

定理1 含定性因子的混料模型(8)的矩矩陣B的形式為

(25)

(26)

證明在含定性因子的混料模型中, 矩矩陣B的形式與一般混料模型的矩矩陣稍有不同, 具體為

當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 含一個(gè)二水平定性因子的{3,2}多項(xiàng)式模型的矩矩陣為模型在設(shè)計(jì)ξ上的信息矩陣為信息矩陣的逆為其中,從而可得到平均預(yù)測(cè)方差為

APV=Γ(q)·tr[M-1(ξ)B]=

由表1可以看出, 解得的tr[M-1(ξ)B]值的數(shù)量級(jí)均非常大, 且無(wú)論分量數(shù)為多少, 最終得到的近似I-最優(yōu)配置中賦予各頂點(diǎn)處試驗(yàn)點(diǎn)的測(cè)度均幾乎為0, 即在含兩水平定性因子的二階多項(xiàng)式模型的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)中, 試驗(yàn)點(diǎn)僅考慮設(shè)置于各棱中點(diǎn)處.

圖1描述了3≤q≤6時(shí),tr[M-1(ξ)B]的變化情況. 由圖1可以看出, 在分量數(shù)達(dá)到6之前,tr[M-1(ξ)B]的值遞減, 到q=5時(shí)達(dá)到最小. 在實(shí)際中為了便于安排試驗(yàn), 通常考慮的分量數(shù)不會(huì)太大, 且二階混料模型最為常用, 故安排分量數(shù)為5的試驗(yàn), 采用含定性因子的{q,2}多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合即可.

圖1 tr[M-1(ξ)B]隨q變化圖Fig.1 The changes in tr[M-1(ξ)B] with q

定理2 當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 含s水平定性因子的復(fù)合型{q,2}多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)為ξ(j,xT)=ζ(j)×η(x),其中，表示x的坐標(biāo)點(diǎn)的循環(huán)置換點(diǎn)集,分別表示單純形的頂點(diǎn)和各條棱中點(diǎn),ω1、ω2分別表示譜點(diǎn)的配置測(cè)度, 且有當(dāng)定性因子取二水平,q=3,4,5,6時(shí),ω1、ω2的具體數(shù)值如表1所示. 表1中的ni(i=1,2)表示的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù).

表1 含定性因子的復(fù)合型{q,2}多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)Table 1 Approximate I-optimal design of compound scheffe′s quadratic model with a qualitative factor

定理3 含s水平定性因子的復(fù)合型混料模型(8)中, 設(shè)計(jì)ξ*為I-最優(yōu)設(shè)計(jì)的必要條件是ζ*(j)是上的均勻設(shè)計(jì), 即其中，ξ=ζ*(j)×η(x).且當(dāng)該必要條件成立時(shí)有

(27)

(28)

tr[M-1(ξ)B]=tr[N11(ξ)·(Is?B11)]+

(1s?B12)]+tr[N22(ξ)·B22]=

可進(jìn)一步將tr[M-1(ξ)B]簡(jiǎn)寫(xiě)為

s·B21-s·B12+N22·B22].

定理4 當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 模型(8)在I-準(zhǔn)則下的方差函數(shù)如式(30)所示, 則ξ*是I-最優(yōu)的充要條件為

dI(j,x;ξ)-tr[M-1(ξ)B]≤0

(29)

其中,tr[M-1(ξ)B]如式(27)所示. 當(dāng)且僅當(dāng)x為柱點(diǎn)時(shí), 等號(hào)成立.

證明在I-準(zhǔn)則下, 方差函數(shù)可計(jì)算為

dI(j,x;ξ)=

gT(j,xT)M-1(ξ)BM-1(ξ)g(j,xT)=

(30)

由式(13)可知, 設(shè)計(jì)ξ*是I-最優(yōu)設(shè)計(jì)當(dāng)且僅當(dāng)I-準(zhǔn)則下方差函數(shù)dI(j,x;ξ*)對(duì)任一x∈Ω滿足不等式dI(j,x;ξ*)-tr[M-1(ξ)B]=gT(j,xT)M-1(ξ)BM-1(ξ)g(j,xT)-tr[M-1(ξ)B]≤0,其中, 矩矩陣B由式(25)可得, 且dI(j,x;ξ*)在柱點(diǎn)處的值等于tr[M-1(ξ)B].

推論1 當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 含定性因子的{q,1}多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)為ξ(j,xT)=ζ(j)×η(x),其中,表示單純形的頂點(diǎn),ω表示譜點(diǎn)的配置測(cè)度.當(dāng)定性因子取二水平, 3≤q≤6時(shí), 具體數(shù)值如表2所示. 圖2描述了3≤q≤6時(shí),tr[M-1(ξ)B]的變化情況.

表2 含定性因子的復(fù)合型{q,3}多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)Table 2 Approximate I-optimal design of compound{q,3} polynomial with a qualitative factor

圖2 tr[M-1(ξ)B]隨q變化圖Fig.2 The changes in tr[M-1(ξ)B] with q

推論2 當(dāng)ζ(j)是上的均勻設(shè)計(jì)時(shí), 含定性因子的q分量中心多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)為ξ(j,xT)=ζ(j)×η(x),其中分別表示單純形的頂點(diǎn)和各低維單純形中心點(diǎn),ω1,ω2,…,ωq分別表示譜點(diǎn)的配置測(cè)度. 當(dāng)定性因子取二水平, 3≤q≤5時(shí), 具體數(shù)值如表3所示.

表3 含定性因子的復(fù)合型q分量中心多項(xiàng)式模型的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)Table 3 Approximate I-optimal design of compound q centroid polynomial with a qualitative factor

圖3描述了3≤q≤5時(shí),tr[M-1(ξ)B]的變化情況.

圖3 tr[M-1(ξ)B]隨q變化圖Fig.3 The changes in tr[M-1(ξ)B] with q

由表2和表3可以看出, 在含二水平定性因子的q分量中心多項(xiàng)式模型中解得的tr[M-1(ξ)B]值的數(shù)量級(jí)仍然非常大, 且賦予各頂點(diǎn)試驗(yàn)點(diǎn)處的測(cè)度均幾乎為0, 這可能是由于矩陣M-1(ξ)和B的稀疏性. 而圖2和圖3則描述了q取具體分量值時(shí)tr[M-1(ξ)B]的變化情況, 可以看出, 在含二水平定性因子的{q,1}多項(xiàng)式模型和q分量中心多項(xiàng)式模型中,q=5時(shí)的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果均十分優(yōu)良. 結(jié)合前述可以得出如下結(jié)論: 在實(shí)際生產(chǎn)生活中, 若對(duì)含定性因子情況下的混料試驗(yàn)有預(yù)測(cè)的需求, 則安排分量數(shù)為5的試驗(yàn)時(shí)往往能得到較為滿意的設(shè)計(jì)結(jié)果.

3 總 結(jié)

本文研究了q分量一階、二階規(guī)范多項(xiàng)式模型和中心多項(xiàng)式模型這三種實(shí)際中常用的低階混料模型含定性因子情況下的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題, 并給出當(dāng)定性因子為二水平情況下時(shí)模型的近似I-最優(yōu)配置. 得出如下結(jié)論: 在混料模型含定性因子時(shí), 除了一階情形外, 近似I-最優(yōu)配置中賦予各頂點(diǎn)試驗(yàn)點(diǎn)處的測(cè)度均幾乎為0, 且解得的tr[M-1(ξ)B]值的數(shù)量級(jí)均非常大. 當(dāng)q=5時(shí), 在三種模型中的近似I-最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果均十分優(yōu)良. 另外, 當(dāng)分量數(shù)超過(guò)5時(shí), 易產(chǎn)生維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題, 使得近似I-最優(yōu)配置的求解困難呈冪級(jí)數(shù)增長(zhǎng), 因此，在q≥6的高維情況下可以考慮降維兼引入算法的方法,搜索得到近似最優(yōu)設(shè)計(jì).