基于馬爾可夫隨機(jī)場和模糊C-均值聚類的DTI圖像分割算法

陳 康，張相芬，馬 燕，袁非牛，李傳江

（上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院，上海201418）

0 引 言

彌散張量成像（DTI）是基于彌散加權(quán)技術(shù)發(fā)展起來的新型成像模態(tài)，可以提供其他成像方式不能提供的信息，且具有很多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，例如非侵入性和不需要造影劑等［1］.DTI也是無創(chuàng)辨識(shí)活體腦白質(zhì)微細(xì)結(jié)構(gòu)的唯一技術(shù)，可以在分子水平上對(duì)腦組織進(jìn)行病變檢測，并配合臨床診斷，可以在某些疾病（腦缺血、中風(fēng)、老年癡呆及精神分裂等）的發(fā)病早期進(jìn)行水分子擴(kuò)散異常檢測，而常規(guī)核磁共振成像（MRI）等設(shè)備難以檢測到這種變化［2］.

圖像分割是圖像分析與理解的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，也是圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題［3］.醫(yī)學(xué)圖像分割的本質(zhì)是將所需要的目標(biāo)從比較復(fù)雜的背景中提取出來，為后續(xù)臨床治療和診斷分析提供參考［4］.醫(yī)學(xué)圖像的模糊性和不確定性會(huì)導(dǎo)致圖像之間存在部分混疊，很難在醫(yī)學(xué)圖像中不同個(gè)體組織之間找到清楚的邊界，不能很好地分割圖像.模糊理論可以很好地處理邊界模糊問題，模糊聚類算法已成為一種有效的醫(yī)學(xué)圖像分割方法.

模糊C-均值聚類（FCM）算法是現(xiàn)代應(yīng)用最為廣泛的模糊聚類算法，具有簡單、無監(jiān)督、穩(wěn)健性好等特點(diǎn)［5］.FCM 算法通過迭代操作尋找聚類中心和隸屬度函數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，從而實(shí)現(xiàn)圖像的優(yōu)化分割.當(dāng)圖像中存在不穩(wěn)定因素時(shí)，F(xiàn)CM 算法能充分體現(xiàn)出性能優(yōu)勢(shì)［6］.傳統(tǒng)的FCM 聚類算法僅僅利用了圖像灰度之間的相關(guān)性，忽略了圖像的空間信息，無法達(dá)到令人滿意的分割準(zhǔn)確度.尤其在信噪比較低的情況下，分割結(jié)果可能產(chǎn)生較大偏差［7］.ALI等［8］利用FCM 算法對(duì)人腦圖像進(jìn)行分割，利用形態(tài)學(xué)金字塔將預(yù)處理的多分辨圖像和原始圖像進(jìn)行融合，通過FCM 算法對(duì)人腦圖像進(jìn)行分割，提高了實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確率.周曉明等［9］提出了子圖分割再合并的FCM 方法，相比傳統(tǒng)FCM 方法，該方法取得了更好的圖像分割效果，但其忽略了鄰域?qū)τ趫D像分割的影響.

基于馬爾可夫隨機(jī)場（MRF）對(duì)圖像進(jìn)行分割操作，可以充分利用圖像的空間相關(guān)信息［10］，運(yùn)用Gibbs 場和最大后驗(yàn)概率（MAP）實(shí)現(xiàn)圖像分割，可以有效地提高抗噪性，但其缺點(diǎn)在于易出現(xiàn)過分割現(xiàn)象［11］.

LIU等［12］結(jié)合FCM 和MRF，潘偉等［13］結(jié)合Gibbs隨機(jī)場和加權(quán)FCM 對(duì)人腦MRI圖像進(jìn)行分割處理，這兩種融合算法的權(quán)值都是固定的，未能充分發(fā)揮FCM 與MRF 的優(yōu)勢(shì).CHATZIS 等［14］結(jié)合隱馬爾可夫隨機(jī)場（HMRF）和FCM，廖亮等［15］結(jié)合FCM 和Gibbs 場對(duì)圖像進(jìn)行分割，這些算法一定程度上提高了圖像分割的效果，但在圖像信噪比低的情況下，分割效果依然不是很理想.

圖像中的像素點(diǎn)大致分為噪聲點(diǎn)、邊緣點(diǎn)和區(qū)域內(nèi)部像素點(diǎn)［16］.根據(jù)圖像鄰域像素的相關(guān)性，結(jié)合基于鄰域密度的離散點(diǎn)檢測，本文作者提出一種新型的FCM 和MRF 融合算法，可以更加充分地發(fā)揮FCM和MRF算法的優(yōu)點(diǎn)，提高分割準(zhǔn)確性和抗噪性.

1 傳統(tǒng)FCM算法

傳統(tǒng)FCM 聚類算法是將具有N 個(gè)元素的有限集X 劃分為C 個(gè)模糊類，有限集X 表示為X={xi|i=1'2'…'N}，通過不斷更新像素隸屬度和聚類中心V={vc|c=1'2'…'C}，使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，從而完成聚類.其目標(biāo)函數(shù)為：

其中，d(xi'vc)表示第i個(gè)元素與第c個(gè)聚類中心的歐式距離；m為模糊加權(quán)指數(shù)，且m∈[1'∞]；uic為隸屬度函數(shù)，是描述集合X 中任一元素xi屬于類別c 的程度，uic的取值范圍是［0，1］.隸屬度函數(shù)需滿足以下約束條件：

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)和隸屬度性質(zhì)，引入拉格朗日算子λi，i=1，2，…，N，對(duì)式（1）的目標(biāo)函數(shù)更新如下：

根據(jù)拉格朗日乘子法，可以求得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)，隸屬度和聚類中心的求解公式分別為：

將每次迭代得到的各個(gè)類聚類中心和每個(gè)元素對(duì)每個(gè)類的隸屬度值，代入式（3），通過不斷迭代求得目標(biāo)函數(shù)的最小值，從而完成最終聚類，得到模糊聚類的結(jié)果.

2 模糊MRF算法

模糊MRF 算法描述為：假設(shè)一個(gè)大小為L=M×N 的DTI 圖像，其馬爾可夫隨機(jī)場為Y={Y(i'j)=yij'(i'j)∈L}（其中，L={(i'j)|i ∈[1'M]'j ∈[1'N]}），yij是離散的隨機(jī)變量且有yij=k'k ∈{1，2，…，K}，K 為分類數(shù)目，表示圖像中在(i'j)處的像素點(diǎn)歸于第k 類.由Hammersley-Clifford 定理可知，馬爾可夫隨機(jī)場可以等價(jià)描述為Gibbs分布.因此，Y的聯(lián)合概率分布（Gibbs分布）表示為：

其中，β為耦合系數(shù)，表示鄰域內(nèi)相鄰像素的懲罰程度；s，r表示圖像中的任意兩個(gè)不相同的像素.

圖像中每個(gè)像素的分類只會(huì)受該像素的鄰域像素類別屬性影響，和其鄰域外的像素類別無關(guān)，即：

其中，ηij代表原圖像中位置為(i'j)的點(diǎn)yij的鄰域，ηij={t1，t2，…，tn}；n 表示yij的鄰域范圍包含的像素?cái)?shù)量；tij代表yij所屬的類別.由式（6）～（8）可得：

最后得到MRF空間約束場公式為：

3 結(jié)合MRF的自適應(yīng)加權(quán)FCM改進(jìn)算法

基于像素局部密度信息判定該像素在其窗口鄰域內(nèi)的離散型，從而確定每個(gè)像素在其窗口鄰域范圍內(nèi)屬于離群點(diǎn)還是內(nèi)部點(diǎn)，進(jìn)而確定加權(quán)函數(shù)F，即當(dāng)像素點(diǎn)t 在其窗口鄰域范圍內(nèi)是一個(gè)孤立的噪聲點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)(t)趨近于0；當(dāng)像素點(diǎn)t是其鄰域內(nèi)部的點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)(t)趨近于1.

根據(jù)像素窗口鄰域密度的離群度進(jìn)行局部離散點(diǎn)檢測［17］.窗口鄰域用于確定像素點(diǎn)的密度特征比較范圍.Nk-?(t)表示在窗口長度為ε 的情況下，與像素點(diǎn)t 的歐氏距離最近的k 個(gè)像素點(diǎn)的集合.根據(jù)像素t與其K-近鄰內(nèi)像素點(diǎn)o之間的歐氏距離d(t'o)，可以得到其在ε窗口鄰域內(nèi)的密度ρt，即：

其中，K代表離像素t距離最近的像素?cái)?shù)目.

令D(t'o)為像素點(diǎn)t到ε窗口鄰域內(nèi)像素點(diǎn)o的可到達(dá)距離，則：

對(duì)于像素點(diǎn)t來說，其ε窗口鄰域密度εk(t)反映了像素點(diǎn)t與整個(gè)ε窗口鄰域內(nèi)其他像素點(diǎn)的歐式距離關(guān)系，可達(dá)密度越小，該點(diǎn)是離群點(diǎn)的可能性越大.

根據(jù)像素點(diǎn)t的窗口鄰域密度，定義其離群因子系數(shù)

由式（14）可知，如果像素點(diǎn)t的離群因子系數(shù)接近1，說明該像素點(diǎn)與窗口鄰域ε內(nèi)像素點(diǎn)同屬一個(gè)類別.如果該像素點(diǎn)離群因子系數(shù)小于1，說明像素點(diǎn)t 的密度高于ε 內(nèi)其他像素點(diǎn)密度，屬于ε 的密集點(diǎn)；反之，則t可能是異常點(diǎn).

根據(jù)像素在窗口鄰域范圍內(nèi)的離散因子判別系數(shù)來判斷當(dāng)前像素的所屬類別.令F(t)為關(guān)于像素點(diǎn)t的離群因子判別系數(shù)，

F（t）越接近0，則該像素為奇異點(diǎn)可能性越大；F（t）越接近1，則該像素為區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)的可能性越大.

通過在均勻區(qū)域內(nèi)增加MRF先驗(yàn)概率的權(quán)值，實(shí)現(xiàn)噪聲平滑，在邊界離散附近，增加FCM隸屬度場的權(quán)重，可以最大程度地保留邊界細(xì)節(jié).

在每次算法迭代過程中，首先計(jì)算每個(gè)像素的MRF 先驗(yàn)概率和FCM 隸屬度矩陣，然后根據(jù)式（15）得到像素的加權(quán)函數(shù)F（t），最后確定像素的改進(jìn)隸屬度值

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用明尼蘇達(dá)大學(xué)生物醫(yī)學(xué)功能成像與神經(jīng)工程實(shí)驗(yàn)室提供的58 層DTI 數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像分割實(shí)驗(yàn).該DTI 數(shù)據(jù)由德國西門子的3Tesla Trio 核磁共振儀采集，采集軸向?yàn)?8 層的DTI 數(shù)據(jù)，體元大小為2 mm×2 mm×2 mm，回波時(shí)間TE=95 ms，重復(fù)時(shí)間TR=8.7 s.所采用的DTI數(shù)據(jù)集具有完備、清晰的人腦組織信息，是DTI 研究常用的數(shù)據(jù)集.

這里以腦組織區(qū)域較為明顯的第26 層DTI 圖像數(shù)據(jù)為例進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析.實(shí)驗(yàn)中，對(duì)第26層圖像數(shù)據(jù)手動(dòng)疊加噪聲干擾驗(yàn)證算法的抗噪性，其中噪聲為高斯噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為噪聲強(qiáng)度百分比與組織強(qiáng)度的乘積.圖1（a）～1（f）分別為疊加了0，3%，5%，10%，15%，20%噪聲級(jí)別的第26 層人腦DTI 圖像.實(shí)驗(yàn)主機(jī)配置為2.60 GHz CPU，8 GB 內(nèi)存的Intel（R）Core（TM）i7 處理器，Windows10 操作系統(tǒng).在Matlab R2014a仿真平臺(tái)上進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn).

為了定量地評(píng)價(jià)算法的聚類結(jié)果，采用分割系數(shù)Vc和分割熵Ve兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證本算法的分割效果，對(duì)圖1 所示的人腦第26 層DTI 圖像，分別使用傳統(tǒng)FCM、自適應(yīng)灰度加權(quán)的穩(wěn)健模糊C-均值圖像分割（AGWRFCM）［18］、FCM-MRF［19］以及本算法進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)對(duì)比.噪聲級(jí)別分別為0，20%時(shí)，人腦第26 層DTI 圖像的分割結(jié)果如圖2，3 所示.其中，圖2（a）～2（c）為FCM 算法分割未施加噪聲的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖2（d）～2（f）為FCM-MRF 算法分割未施加噪聲的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖2（g）～2（i）為AGWRFCM 算法分割未施加噪聲的DTI數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖2（j）～2（l）為本算法分割未施加噪聲的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果；圖3（a）～3（c）為FCM 算法分割添加了噪聲級(jí)別為20%的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖3（d）～3（f）為FCM-MRF 算法分割添加了噪聲級(jí)別為20%的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖3（g）～3（i）為AGWRFCM 算法分割添加了噪聲級(jí)別為20%的DTI 數(shù)據(jù)的類別結(jié)果，圖3（j）～3（l）為本算法分割添加了噪聲級(jí)別為20%的DTI數(shù)據(jù)的類別結(jié)果.

圖2 在噪聲級(jí)別為0時(shí)不同算法的DTI圖像分割結(jié)果

圖3 在噪聲級(jí)別為20%時(shí)不同算法的DTI圖像分割結(jié)果

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，在DTI 圖像存在噪聲的情況下，F(xiàn)CM 算法的抗噪能力較差，分割結(jié)果出現(xiàn)了些許噪聲點(diǎn)；相比FCM 算法，F(xiàn)CM-MRF 算法抗噪能力較強(qiáng)，但是圖像的邊界和像素劃分不夠清晰，且胼胝體區(qū)域分割粗糙，存在許多雜質(zhì)；AGWRFCM 算法抵抗噪聲干擾效果顯著，但在分割胼胝體部分時(shí)邊緣劃分不夠清晰，留有部分雜質(zhì).本文作者采用離散加權(quán)方式結(jié)合FCM與MRF算法，既較好地清除了噪聲的干擾，又較為準(zhǔn)確地劃分了聚類，得到比較清晰的目標(biāo)區(qū)域.

通過計(jì)算迭加了不同噪聲級(jí)別的第26層腦部DTI圖像的分割系數(shù)Vc和分割熵Ve，定量分析評(píng)價(jià)分割算法的效果，如表1，2所示.

表1 分割系數(shù)比較

表2 分割熵比較

由表1可知，本算法的分割系數(shù)高于其他3種分割算法，且在噪聲強(qiáng)度增強(qiáng)的情況下，也基本保持穩(wěn)定；由表2 可知，本算法的分割熵略低于其他分割算法，且隨著噪聲強(qiáng)度增強(qiáng)，保持了較好的穩(wěn)定性.由綜合評(píng)定指標(biāo)及DTI圖像分割結(jié)果可知，本算法在分割精度方面優(yōu)于FCM及其改進(jìn)算法，并且具有較強(qiáng)的抗噪性能.

5 結(jié) 論

基于離群點(diǎn)類型提出一種自適應(yīng)權(quán)值的FCM 和MRF 融合算法，并將其應(yīng)用于DTI 圖像分割中.通過遍歷DTI圖像得到每一個(gè)像素的自適應(yīng)權(quán)值，將加權(quán)函數(shù)用于調(diào)節(jié)隸屬度和MRF 空間約束場在改進(jìn)隸屬度方程中的比例.對(duì)DTI圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了定量分析，結(jié)果表明，本算法改進(jìn)了FCM 算法圖像抗噪性能差的缺點(diǎn)，在聚類劃分指標(biāo)上均優(yōu)于其他算法，且具有較強(qiáng)的抗噪性能，是一種切實(shí)可行的DTI圖像分割算法.