頻譜細化分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的LFM 信號濾波算法

伍 龍，黃凱峰，肖理慶，徐小軍

淮南師范學(xué)院機械與電氣工程學(xué)院，安徽 淮南 232038

線性調(diào)頻LFM（linear frequency modulation）信號是典型的非平穩(wěn)信號，具有較大時寬帶寬積，通過增加脈寬能夠在較低的峰值功率下，可提高發(fā)射功率，增加探測距離。因此LFM 信號適合應(yīng)用于雷達、無線通信、聲納等領(lǐng)域[1-3]。在無線通信系統(tǒng)中各類通信信號頻譜相互重疊，且在信道傳輸過程中易受到自然界各種電磁波噪聲的干擾，因此如何有效的抑制噪聲和干擾是LFM 信號傳輸過程中需要解決的關(guān)鍵技術(shù)。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT，fractional Fourier transform）對LFM 信號具有獨特的處理優(yōu)勢，在分?jǐn)?shù)階Fourier 域內(nèi)線性調(diào)頻信號是帶限的，基于這一特性，F(xiàn)RFT 非常適合處理LFM 信號，因此分?jǐn)?shù)階Fourier 變換在LFM 信號處理領(lǐng)域被國內(nèi)外專家學(xué)者廣泛深入研究[4]。文獻[1]中采用的是經(jīng)典分?jǐn)?shù)階Fourier 變換濾波的方法，該算法通過掃描二維時頻平面尋找峰值最優(yōu)階數(shù)，以峰值為中心進行峰遮隔處理，選擇合適帶寬保留有用信號，進行相同階次反變換，得到濾波后的信號，這種傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Fourier 變換算法適應(yīng)性很強但計算量很大。文獻[5]，提出一種基于分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的量化噪聲抑制方法，利用經(jīng)典量化器的統(tǒng)計特性，分析得到在分?jǐn)?shù)階Fourier 域內(nèi)量化噪聲具有白噪聲的特性，利用過采樣和分?jǐn)?shù)階傅里葉域數(shù)字濾波方法對輸入信號的量化噪聲進行抑制，這種方法可以有效的濾除LFM 信號中的白噪聲，但應(yīng)用有一定的局限性。文獻[6]對LFM 信號濾波的最優(yōu)階次FRFT 濾波方法，一種基于Radon-Ambiguity 變換和FRFT 的改進算法，將二維搜索降為一維搜索，減少了計算量。但在時頻面上作一維搜索的計算量也比較大。參照文獻[6]的思想，本文提出一種計算量更小的含噪LFM 濾波算法，首先通過分段解線調(diào)，估計出粗略調(diào)頻率，然后通過頻譜細化提高調(diào)頻率的估計精度，再由調(diào)頻率計算出FRFT 最佳變換階次，在最優(yōu)分?jǐn)?shù)階傅里葉域?qū)隠FM 信號做窄帶通濾波處理。

1 分?jǐn)?shù)階Fourier 變換

Fourier 變換是信號分析和處理的經(jīng)典工具，但其并不適合用于非平穩(wěn)信號的處理[7-9]。分?jǐn)?shù)階Fourier 變換作為一種新型時頻分析工具，用分?jǐn)?shù)階Fourier 變換域內(nèi)的單一變量，表征信號的時頻特性，并且不會受到交叉項的困擾。在t域的信號x(t)的p階FRFT 定義式[7]如式（1）所示：

Kp(u，t)=Aαexp[jπ(u2cotα-2utcscα+t2cotα)]K p(u，t)稱為FRFT 的核函數(shù)；p為變換階次，α=pπ/2(p≠2n)，n為整數(shù)，α為旋轉(zhuǎn)角度。

分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的逆變換可看作階次為-p的FRFT，其公式如（3）所示：

令p=1，此時就是信號x(t)的傅里葉變換，可見傅里葉變換是FRFT 的一種特殊情況。

2 頻譜細化FRFT 濾波算法

2.1 分段解線調(diào)

假設(shè)含噪LFM 信號x(t)的數(shù)學(xué)模型如式（4）所示：

式中，A、f0、k分別為LFM 信號的幅度、初始頻率、調(diào)頻率，n(t)為加性高斯白噪聲。

實際應(yīng)用中，需要在t=nΔt時刻對x(t)進行采樣得到離散信號，取其前N0/2 點和后N0/2，將它們進行逐點相乘，將它們進行逐點相乘得到的新序列為受噪聲污染的正弦波，這個過程為分段解線調(diào)。對點乘得到的正弦波做FFT，則頻譜峰值處所對應(yīng)的頻率是延遲N0/2 點后的頻率改變量Δf，采樣頻率為fs時，實際延遲Δτ=N0/2fs，所以LFM 信號的調(diào)頻斜率如式（5）所示：

如果延遲信號是在采樣信號之前添補M0個零點得到的，那么M0就是實際的延遲，將延遲信號與原信號做分段解線調(diào)處理，便可以估計得到線性調(diào)頻信號的粗略調(diào)頻率。由于分段解線調(diào)無需搜索即可估計出LFM 信號的調(diào)頻率，因此計算量比文獻[6]中需要進行一維搜索的RAT 小。

2.2 頻譜細化

由于分段解線調(diào)只能粗略估計LFM 信號的調(diào)頻率，估計精度有待提高。若要提高調(diào)頻率的估計精度，采樣頻率一定時只能通過增加FFT 的點數(shù)來提高FFT 的頻率分辨率，實質(zhì)即在整個頻譜中均勻增加頻域采樣點數(shù)，計算量大為增加?？梢韵韧ㄟ^FFT 獲取延遲相關(guān)譜主瓣所在位置，然后局部增加主瓣附近的頻域采樣點數(shù)，提高估計精度，這就是局部頻譜細化[8]。采用chirp-Z 變換（CZT）實現(xiàn)局部頻譜細化，CZT 的定義如式（6）所示：

式中，A=Aejθ0，W=Wejφ0，A為采樣螺旋線起始點，W為描述輪廓上的點之間的復(fù)數(shù)比的

00復(fù)數(shù)標(biāo)量m=0，1，…，M-1，M為頻域采樣點數(shù)。由，可得：

2.3 頻譜細化FRFT 濾波算法步驟

（1）利用分段解線調(diào)方法，根據(jù)式（5）求出LFM 信號的粗略調(diào)頻率kest；

（3）對含噪LFM 信號進行p0階FRFT，如式（10）：

其中，Sp0(u)為LFM 信號的FRFT；Np0(u)為噪聲的FRFT；

（4）利用窄帶通濾波器在分?jǐn)?shù)域內(nèi)去噪[9]，如式（11）：

其中，Yp0(u)為濾波后LFM 信號的FRFT；W(u)是中心頻率為u0的窄帶濾波器。

（5）對經(jīng)過濾波后的信號做-p0階的FRFT，得到濾波后時域的LFM 信號y(n)。

3 頻譜細化FRFT 濾波算法仿真

為了驗證所提改進算法的有效性，在相同的仿真條件下，對比了頻譜細化分?jǐn)?shù)階Fourier 變換和傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Fourier 變換濾波算法。

3.1 傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Fourier 變換濾波仿真

仿真選取的LFM 信號的參數(shù)[10，11]如下：初始頻率f0=1 Hz，調(diào)頻率k=15 Hz/s，幅度A=1 mV。觀測時間為T=2 s，采樣頻率為fs=200 Hz，選用高斯白噪聲作為干擾噪聲，信噪比為10 dB。無噪LFM 信號的波形如圖1 所示，加入白噪聲的LFM 信號的波形如圖2 所示，可以看到圖2 的波形和圖1 比較已失真嚴(yán)重，需要對其濾波后才可以恢復(fù)其信號特性。

圖1 無噪LFM 信號波形Fig.1 Noise-free LFM signal waveform

圖2 含噪LFM 信號波形Fig.2 Noisy LFM signal waveform

利用傳統(tǒng)的FRFT（本文采用Ozaktas 采樣型FRFT）濾波，首先對含噪LFM 信號參數(shù)估計，得到最優(yōu)變換階次p0，然后在最佳變換階次p0對含噪LFM 信號做分?jǐn)?shù)階Fourier 變換得到最優(yōu)分?jǐn)?shù)階傅里葉域u0[12-14]。圖3 為含噪LFM 信號u域的FRFT，得u域的最優(yōu)采樣點為277，利用分?jǐn)?shù)階傅里葉域的窄帶通濾波器濾波后的LFM 信號如圖4 所示，仿真程序計算可得到其SNRout=-2.98 dB。

圖3 含噪LFM u 域的FRFTFig.3 FRFT in noisy LFM u domain

圖4 傳統(tǒng)FRFT 濾波后的信號Fig.4 Traditional FRFT filtered signal

3.2 頻譜細化FRFT 濾波仿真

在相同的仿真條件下采用提出的頻譜細化分?jǐn)?shù)階Fourier 變換濾波算法，將LFM 信號和其M0=100 點延遲逐點相乘，對得到的新信號做1024 點FFT 運算，得到的頻譜如圖5 所示。

圖5 延遲自相關(guān)頻譜Fig.5 Delayed autocorrelation spectrum

圖6 分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的幅度譜Fig.6 Amplitude Spectrum in Fractional Fourier Domain

可見，在頻點38 處出現(xiàn)譜峰，利用式（4）計算出調(diào)頻率為14.4531 Hz/s。為了獲取更精確的調(diào)頻率，在頻率區(qū)間[37，39]內(nèi)做chirp-Z 變換，求得調(diào)頻率為=14.7207Hz/s?？梢园l(fā)現(xiàn)，經(jīng)過chirp-Z變換后，求得的調(diào)頻率更接近于實際值。根據(jù)式（6）求得LFM 的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換階次為p0=-0.0432，對LFM 信號做p0階FRFT，由圖6 可見，在u0=232處出現(xiàn)能量聚集現(xiàn)象。

圖7 窄帶通濾波器Fig.7 Narrow bandpass filter

圖8 頻譜細化濾波后的信號Fig.8 Spectrum refinement filtered signal

選取的窄帶濾波器如圖7 所示，僅允許u0=232 處的信號通過濾波器。在分?jǐn)?shù)階傅里葉域濾波后對信號做-p0階FRFT，得到濾波后的時域信號，如圖8 所示。對比圖1、圖2 與圖8，可見，經(jīng)頻譜細化FRFT 算法濾波后LFM 信號波形十分接近原無噪LFM 信號波形，仿真程序計算得到其SNRout=-1.576 dB。

在相同的仿真條件下，對比采樣頻譜細化分?jǐn)?shù)階Fourier 變換和傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Fourier 變換兩種濾波算法，輸出信號信噪比，改進算法比傳統(tǒng)算法提高了近1.41 dB。

3.3 運算量分析

利用傳統(tǒng)FRFT 對信號濾波數(shù)值計算分三步實現(xiàn)：chirp 調(diào)制、卷積、再次chirp 調(diào)制，第二步的卷積可通過FFT 實現(xiàn)，因此一次FRFT 的運算量為FFT 加上兩次chirp 相乘的運算量，約為O(Nlog2N)，為了獲取最優(yōu)FRFT 域u0，需要掃描階次區(qū)間[0，2]以獲得u0對應(yīng)的譜峰值，一般選取掃描間隔為0.01，則整個過程需要掃描的次數(shù)為200 次，即進行200 次FRFT，所以傳統(tǒng)FRFT 濾波算法獲取最優(yōu)FRFT 域u0的運算量約為O(200Nlog2N)。

改進算法的運算量包括兩部分：由式（8）可知，一次CZT 計算量主要為兩次FFT 和一次IFFT，加上分段解線調(diào)所需的一次FFT，總計算量約為O(4Nlog2N)。因此頻譜細化估計LFM 信號調(diào)頻率的計算量約為O(4Nlog2N)；根據(jù)估計出的調(diào)頻率，在最佳變換階次做分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，運算量約為O(Nlog2N)。與傳統(tǒng)FRFT 掃描法獲取u0的運算量O(200Nlog2N)相比，改進濾波算法的運算量由傳統(tǒng)的O(200Nlog2N)降為O(4Nlog2N)。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階Fourier 變換濾波算法對含噪LFM 信號濾波時，需要在在分?jǐn)?shù)階Fourier 域與階次形成的二維平面掃描獲取最佳階次，這樣需要大量的運算來尋找最佳階次，運算效率不高，運算量較大。為了減少運算量，本文將頻譜細化與分?jǐn)?shù)階Fourier 變換結(jié)合，利用分?jǐn)?shù)階Fourier 變換對線性調(diào)頻信號良好的能量聚焦特性，研究了含噪線性調(diào)頻信號的濾波。給出了頻譜細化與分?jǐn)?shù)階Fourier變換結(jié)合的含噪LFM 信號濾波算法具體流程，并以單分量含噪LFM 信號為例，建立LFM 信號濾波仿真模型，驗證本文提出的頻譜細化分?jǐn)?shù)階Fourier 變換信號濾波算法的可行性與有效性。利用頻譜細化FRFT 可以比傳統(tǒng)FRFT 更有效的實現(xiàn)含噪LFM 信號的濾波，且相對于傳統(tǒng)的FRFT 濾波算法運算量明顯減少，速度更快，更易于工程實現(xiàn)。