基于邊界元法的高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性分析

藍(lán)雄

柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣西 柳州 545006

隨著近年來科技的高速發(fā)展，越來越多的科技產(chǎn)品廣泛應(yīng)用于人類生活與生產(chǎn)中，機(jī)械臂就是隨之誕生的高科技產(chǎn)物[1]。機(jī)械臂可應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、航天產(chǎn)品以及農(nóng)業(yè)種植等眾多具有高精度要求的行業(yè)中，其因高精度和智能化等優(yōu)勢有效提升生產(chǎn)以及產(chǎn)品精度[2]。在目前高速發(fā)展的社會情形下，傳統(tǒng)機(jī)械臂已漸漸無法符合越來越高的未來發(fā)展需求，設(shè)計(jì)具有高精度高伺服性能的機(jī)械臂具有重要意義[3]。

目前對復(fù)雜機(jī)械的動力特性研究較多，但是針對高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性研究相對缺乏，因機(jī)電耦合問題極易造成機(jī)械臂控制精度低，可靠性差，運(yùn)行穩(wěn)定性較差等問題[4]。研究基于邊界元法的高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性，建立具有高精度高伺服性能的交流六自由度柔性機(jī)械臂模型，基于邊界元法對該模型的動力特性有效分析，對于機(jī)械臂的伺服性能以及機(jī)械臂的高精度運(yùn)行提供理論依據(jù)。

1 高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性分析

1.1 機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)

圖1 矢量控制子系統(tǒng)原理圖Fig.1 Principle of the vector control subsystem

柔性機(jī)械臂中應(yīng)用的永磁同步電動機(jī)具有時變、強(qiáng)耦合以及非線性多變量特性[5]，選取轉(zhuǎn)子磁鏈定向矢量控制子系統(tǒng)應(yīng)用于機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)中，伺服控制系統(tǒng)原理如圖1 所示。

圖1 為針對6 軸關(guān)節(jié)機(jī)械臂設(shè)計(jì)的機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)中的矢量控制子系統(tǒng)，選取齒輪傳動系統(tǒng)控制機(jī)械臂傳動，分別選取RV 減速機(jī)與諧波減速機(jī)控制機(jī)械臂的1、2、3 關(guān)節(jié)與4、5、6 關(guān)節(jié)，因齒輪傳動機(jī)構(gòu)較大[6]，利用質(zhì)量-彈簧-阻尼器建立傳動系統(tǒng)。傳動系統(tǒng)輸入和輸出分別為電動機(jī)驅(qū)動力矩Ti驅(qū)動軸轉(zhuǎn)角θi以及機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動角度θL與關(guān)節(jié)力矩TL，力的平衡微分方程可通過輸入軸與輸出軸獲取[7]，力的平衡微分方程如下：

以上公式中：Bi與Bo分別表示電動機(jī)軸系的粘滯阻尼系數(shù)以及機(jī)械臂軸系的粘滯阻尼系數(shù)；Ji與Jo分別表示驅(qū)動軸系的等效慣量以及負(fù)載軸系的等效慣量；T表示作用于齒輪副上的等效轉(zhuǎn)矩以及；i表示齒輪以及齒輪速比。

利用公式（1）和公式（2）獲取輸入與輸出角度關(guān)系公式如下：

其中，Be表示等效阻尼系數(shù)，Je表示折算至負(fù)載端的總轉(zhuǎn)動慣量。

選擇三環(huán)控制子系統(tǒng)控制機(jī)械臂的穩(wěn)定運(yùn)行，并有效提升機(jī)械臂的運(yùn)行精度[8]，三環(huán)控制子系統(tǒng)中最外環(huán)為位置環(huán)，中間環(huán)為速度換，最內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，依據(jù)公式（4）（5）（6）獲取機(jī)械臂關(guān)節(jié)的伺服控制系統(tǒng)，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的伺服控制系統(tǒng)中電流環(huán)傳遞函數(shù)如下：

機(jī)械臂關(guān)節(jié)的伺服控制系統(tǒng)中轉(zhuǎn)速環(huán)傳遞函數(shù)如下：

機(jī)械臂關(guān)節(jié)的伺服控制系統(tǒng)中位置環(huán)傳遞函數(shù)如下：

三環(huán)控制子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用位置環(huán)的傳遞函數(shù)表示，以上公式中，Ks表示PWM 變換器的放大系數(shù)；Ts表示PWM 變換器的延遲時間；Toi表示電流調(diào)節(jié)器的濾波時間常數(shù)；Ton表示轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的濾波時間常數(shù)；α表示電流環(huán)的反饋系數(shù)；β表示轉(zhuǎn)速環(huán)的反饋系數(shù)；Cm表示即刻勵磁下電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，Tm表示電力拖動系統(tǒng)機(jī)電時間常數(shù)，其中Tm=GD2R/375CeCm。

1.2 高精度交流機(jī)械臂伺服邊界元法動力特性分析

圖2 梁元件合成圖Fig.2 Composite view of beam components

上文建立了機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)，選取邊界元法分析利用機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)控制的6 自由度柔性機(jī)械臂動力特性[9]，依據(jù)獲取的動力學(xué)方程檢測機(jī)械臂的高精度交流伺服性能。

機(jī)械臂中包括若干元件，由不同元件結(jié)合連接組成機(jī)械臂。選取邊界元法建立機(jī)械臂中各元件的邊界方程[10]，選取由兩個梁元件合成的機(jī)械臂中一部分介紹機(jī)械臂整體的邊界元建模解析過程[11]。機(jī)械臂中梁元件合成圖如圖2 所示。

針對圖2 通過機(jī)械臂的梁元件的單元邊界方程獲取整體機(jī)械臂的動力特性分析。機(jī)械臂中的梁元件各端均具有自由度方向?yàn)?°，梁元件中其中一個方向的長度與另兩個方向長度相比差別較大[12]，機(jī)械臂受到激振力會形成彎曲、扭轉(zhuǎn)與縱向的聯(lián)合震動[13]。選取機(jī)械臂中梁元件的彎曲震動的動態(tài)基本解獲取機(jī)械臂中梁單元邊界控制方程如下：

以上公式中，V表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時撓度；T表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時撓角；M表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時彎矩；Q表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時剪力；V*表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時撓度的動態(tài)基本解函數(shù)；T*表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時撓角動態(tài)基本解函數(shù)；M*表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時彎矩動態(tài)基本解函數(shù)；Q*表示機(jī)械臂梁元件彎曲震動時剪力動態(tài)基本解函數(shù)；L與xp分別表示梁元件的長度與激振力P作用點(diǎn)坐標(biāo)；ρ表示材料密度；A表示材料面積；ω表示材料頻率；E表示材料彈性模量；I表示材料的慣性矩。

公式（9）中矩陣內(nèi)各元素分別為：

通過以上過程可獲取機(jī)械臂梁單元于縱向和扭轉(zhuǎn)方向的邊界方程[14]，將不同方向的邊界方程組合依據(jù)機(jī)械臂中梁元件各方向的震動特點(diǎn)獲取機(jī)械臂中梁元件的動力學(xué)方程如下：

以上公式中，H與U均表示位移，G與F分別表示力系數(shù)陣與力列陣。

變換、整理公式（21）后，可獲取圖1 中機(jī)械臂中兩個梁元件的動力學(xué)方程如下：

以上公式中，W表示完成變換的系數(shù)矩陣。

建立相應(yīng)的邊界結(jié)合關(guān)系式與機(jī)械臂的結(jié)合邊界中，依據(jù)作用力與反作用力條件可得圖1 中a處邊界上力的約束關(guān)系公式如下：

公式（26）中，S表示坐標(biāo)變換矩陣。

設(shè)Ka與Ca分別為a處結(jié)合部的剛度陣與阻尼陣，可得如下關(guān)系式：

在a處Fi+1、Fj力與位移約束關(guān)系可利用圖1 中a處兩端力坐標(biāo)系變換關(guān)系獲取，公式如下：

依據(jù)公式（26）、公式（28）和公式（29）將公式（24）、（25）結(jié)合獲取機(jī)械臂中兩個梁元件合成方程式如下：

公式（30）中，表示復(fù)剛度陣，=Ka+iωCa；P表示與P1、P2關(guān)聯(lián)的列陣。

依據(jù)以上兩個梁的步驟依次合成，獲取由多個元件組成的機(jī)械臂整體結(jié)構(gòu)，可知機(jī)械臂的動力學(xué)方程如下：

通過公式（31）即可獲取機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的固有頻率特性，同時可獲取機(jī)械臂結(jié)構(gòu)各階頻率所對應(yīng)的陣型[15]，依據(jù)固有頻率特性和各階頻率分析由機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)控制的高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性。

2 實(shí)驗(yàn)分析

采用本文方法建立機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)，并將該系統(tǒng)應(yīng)用于六自由度柔性機(jī)械臂中，獲取的實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖3 所示，并采用本文方法分析機(jī)械臂的動力特性。

圖3 六自由度機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.3 Six-degree-of-freedom mechanical arm experimental device diagram

設(shè)置六自由度柔性機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)裝置負(fù)載重量與重力加速度分別為1.0 kg 以及10.0 m/s2。柔性機(jī)械臂參數(shù)見表1。

表1 機(jī)械臂參數(shù)Table 1 Mechanical arm parameters

通過本文方法將柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)速度轉(zhuǎn)換至電機(jī)速度，跟蹤機(jī)械臂在空載、150 Nm 負(fù)載、300 Nm負(fù)載情況下的運(yùn)行情況，速度跟蹤結(jié)果如圖4 所示。

圖4 機(jī)械臂速度跟蹤結(jié)果Fig.4 Robot arm speed tracking results

分析圖4 柔性機(jī)械臂在不同負(fù)載情況下的速度跟蹤結(jié)果可知，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)電機(jī)可跟蹤電機(jī)輸入速度效果較好，且負(fù)載大小與速度波動呈反比，負(fù)載越大情況下，速度波動越小，驗(yàn)證了本文方法的伺服性能。

不同負(fù)載情況下柔性機(jī)械臂的關(guān)節(jié)位置估計(jì)跟蹤結(jié)果如圖5 所示。

圖5 機(jī)械臂位置跟蹤結(jié)果Fig.5 Robot arm position tracking results

通過圖5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，該機(jī)械臂的關(guān)節(jié)實(shí)際位置與期望位置基本吻合，驗(yàn)證了本文機(jī)械臂的跟蹤高精度，說明本文機(jī)械臂響應(yīng)關(guān)節(jié)期望位置速度較快；在實(shí)驗(yàn)中機(jī)械臂關(guān)節(jié)結(jié)束運(yùn)動時位置波動極小，波動范圍與穩(wěn)態(tài)誤差小于18"以及1.5′，并且機(jī)械臂在負(fù)載變大情況下，仍保持快速的影響速度，波動范圍以及穩(wěn)態(tài)誤差沒有收到影響，再次驗(yàn)證了機(jī)械臂的高精度以及伺服穩(wěn)定特性。

采用本文方法獲取實(shí)驗(yàn)裝置六自由度柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程，通過動力學(xué)方程建立六自由度機(jī)械臂合成單元的數(shù)據(jù)文件，獲取前6 階固有頻率結(jié)果如表2 所示。

表2 計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對比Table 2 Comparison of calculated and experimental values

通過表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用本文方法分析高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性結(jié)果較為精準(zhǔn)，相對誤差均在0.05%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法分析高精度交流機(jī)械臂伺服動力特性的準(zhǔn)確性。

3 結(jié)論

機(jī)械臂是目前廣泛應(yīng)用于各種行業(yè)的高科技產(chǎn)物。選取轉(zhuǎn)子磁鏈定向矢量控制系統(tǒng)應(yīng)用于機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)，并將三環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用于機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)中，有效提升高精度交流機(jī)械臂伺服特性，并利用邊界元法建立高精度交流機(jī)械臂動力學(xué)方程，通過動力學(xué)方程有效分析機(jī)械臂的動力特性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過該方法獲取的機(jī)械臂伺服傳動系統(tǒng)應(yīng)用于六自由度柔性機(jī)械臂中，具有較好的高精度伺服特性，且通過固有頻率結(jié)果驗(yàn)證了該方法的動力特性分析結(jié)果。