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    帶精確時間延遲的單機排序問題

    2020-04-08 11:07:22王煥男
    黑龍江科學 2020年4期
    關鍵詞:誤工空閑實例

    王煥男

    (三亞學院理工學院,海南 三亞 572022)

    1 引言

    本研究的問題用三參數(shù)分別表示為:1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|∑wjCj,1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|Lmax,1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|∑Uj這3個問題。

    關于帶精確時間延遲的單機排序問題主要成果有:文獻[1]對于1|exactlj|Cmax的一種特殊情況提出一個貪婪算法(greedy heuristic)。文獻 [2]對于問題 1|exactlj|Cmax提出一個神經(jīng)網(wǎng)絡算法(Hopfield neural network)。文獻[3]研究最小化雷達的空閑時間,他們制定一個單機排序問題的確切延誤而不是最小化延誤;證明一些特殊的例子是多項式可解的;即使在某些特殊情況下,這個問題仍是強NP-難的;如果所有操作的加工時間相同,這個問題已經(jīng)是強NP-難的。文獻[4]基于離散化的時間跨度問題提出一個拉格朗日松弛算法(Lagrange relaxation algorithm)。文獻[5]對于問題1|exactlj|Cmax設計1個3.5的近似算法,2-ε的難近似界,O(nlogn)時間內(nèi)可解;對于問題 1|exactlj,aj≤bj|Cmax設計一個3的近似算法,2-ε的難近似界,O(nlogn)時間內(nèi)可解;對于問題1|exactlj,aj≥bj|Cmax設計1個3的近似算法,2-ε的難近似界,O(nlogn)時間內(nèi)可解;對于問題 1|exactlj,aj=bj|Cmax設計1個2.5的近似算法,2-ε的難近似界,O(nlogn)時間內(nèi)可解。文獻[6]假設在單位加工時間下,證明了對于問題1|exactlj,aj=bj=1|Cmax的近似因子是 7/4(界不能改進),并證明單臺機的算法可以在O(nlogn)時間內(nèi)實現(xiàn),文獻[7]證明這個問題是強NP-難的。

    對上述研究綜述進行匯總如表1所示。

    表1 帶精確時間延遲的單機排序Tab.1 Single machine scheduling with precise time delay

    文章中的符號定義:

    aj—工件j的第一道工序加工時間;caj—工件j的第一道工序完工時間;bj—工件j的第二道工序加工時間;pj—工件j的加工時間;Si—工件j的第一道工序開始時間,即工件的開始時間;sbj—工件j的第二道工序開始時間(sbj=cai+lj);lj—工件j的延誤時間;Lj—工件j的誤工時間;dj—工件j的工期;wj—工件j的權重;Lmax—工件最大延誤時間;Cj—工件j的完工時間;∑Cj—工件總完工時間;wjCj—工件j的加權完工時間;∑wjCj—工件加權總完工時間;Uj—如果Cj≤dj,則Uj= 0,否則,Uj=1;∑Uj—工件的總延誤個數(shù)。

    2 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|∑wjCj的最優(yōu)算法

    本節(jié)主要研究帶精確時間延遲的單機排序問題。每個工件記為Jj(aj,bj,lj,wj),目標函數(shù)為極小化加權總完工時間。分別考慮以下3種情況:

    2.1 1|exact lj,aj=bj=lj=a|∑wjCj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=lj=a時,最優(yōu)排序一定是兩個工件一組,先執(zhí)行兩個第一道工序,再相應執(zhí)行兩個第二道工序。工件個數(shù)是偶數(shù),機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C2n-1=(4n-1)a,C2n=4na(n=1,2,3,…)其中之一。工件的開始時間一定是C2n-1-3a,C2n-3a(n=1,2,3,…)其中之一。

    LWF(Longest Weighted first):將所有工件重新排序,使得w1≥w2≥…≥wn,再按照J1,J2, …,Jn的順序加工工件。

    定理2.1.1:LWF是問題1|exactlj,aj=bj=lj=a|∑wjCj的最優(yōu)算法,如圖1所示。

    圖1 最優(yōu)排序Fig.1 Optimal sorting

    證明:用反證法。假設有一個最優(yōu)排序,比如σ*違反了WSPT規(guī)則,則σ*中一定存在相鄰的兩個工件Ji和Jk,使得wi

    ∑wjCj(σ*)-∑wjCj(σ)=wi(Si+pi)+wk(Sk+pk)-wi(Sk+pi)-wk(Si+pk)=(wi-wk)(Si-Sk)>0

    即:所得的排序σ目標值比最優(yōu)值還要小,矛盾!

    注:當wj=1時,問題變?yōu)?|exactlj,aj=bj=lj=a|∑Cj。

    2.2 1|exact lj,aj=bj=a,lj=2a|∑wjCj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=2a時,最優(yōu)排序一定是3個工件一組,先執(zhí)行3個第一道工序,再相應執(zhí)行3個第二道工序。工件個數(shù)是3的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C3n-2=2(3n-1)a,C3n-1=(6n-1)a,C3n=6na其中之一。工件的開始時間一定是C3n-2-4a,C3n-1-4a,C3n-4a其中之一。

    定理2.2.1:LWF是問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=2a|∑wjCj的最優(yōu)算法,如圖2所示。

    圖2 最優(yōu)排序Fig.2 Optimal sorting

    證明:用反證法。假設有一個最優(yōu)排序,比如σ*違反了WSPT規(guī)則,則σ*中一定存在相鄰的兩個工件Ji和Jk,使得wi

    ∑wjCj(σ*)-∑wjCj(σ)=wi(Si+pi)+wk(Sk+pk)-wi(Sk+pi)-wk(Si+pk)=(wi-wk)(Si-Sk)>0

    即:所得的排序σ目標值比最優(yōu)值還要小,矛盾!

    注:當wj=1時,問題變?yōu)?|exactlj,aj=bj=a,lj=2a|∑Cj。

    2.3 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|∑wjCj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=ka時,最優(yōu)排序一定是k+1個工件一組,先執(zhí)行k+1個第一道工序,再相應執(zhí)行k+1個第二道工序。工件個數(shù)是k+1的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C(k+1)n-k=2(k+1)a·(n-1)+(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)=2(k+1)a·(n-1)+(k+3)a,…,C(k+1)n=2(k+1)a·n其中之一。工件的開始時間一定是C(k+1)n-k-(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)-(k+2)a,…,C(k+1)n-(k+2)a其中之一。

    定理2.3.1:LWF是問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|∑wjCj的最優(yōu)算法,如圖3所示。

    圖3 最優(yōu)排序Fig.3 Optimal sorting

    證明:用反證法。假設有一個最優(yōu)排序,比如σ*違反了WSPT規(guī)則,則σ*中一定存在相鄰的兩個工件Ji和Jk,使得wi

    ∑wjCj(σ*)-∑wjCj(σ)=wi(Si+pi)+wk(Sk+pk)-wi(Sk+pi)-wk(Si+pk)=(wi-wk)(Si-Sk)>0

    即:所得的排序σ目標值比最優(yōu)值還要小,矛盾!

    注:當wj=1時,問題變?yōu)?|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|∑Cj。

    3 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|Lmax的最優(yōu)算法

    本節(jié)主要研究帶精確時間延遲的單機排序問題。每個工件記為Jj(aj,bj,lj,dj),目標函數(shù)為極小化最大延誤時間。分別考慮以下3種情況:

    3.1 1|exact lj,aj=bj=lj=a|Lmax的最優(yōu)算法

    當aj=bj=lj=a時,最優(yōu)排序一定是兩個工件一組,先執(zhí)行兩個第一道工序,再相應執(zhí)行兩個第二道工序。工件個數(shù)是偶數(shù),機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C2n-1=(4n-1)a,C2n=4na(n=1,2,3,…)其中之一。工件的開始時間一定是C2n-1-3a,C2n-3a(n=1,2,3,…)其中之一。

    EDD:將工件重新排序使得d1≤d2≤…≤dn,再按照J1,J2, …,Jn順序加工。

    定理3.1.1:EDD規(guī)則可以得到問題1|exactlj,aj=bj=lj=a|Lmax的最優(yōu)排序。

    3.2 1|exact lj,aj=bj=a,lj=2a|Lmax的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=2a時, 最優(yōu)排序一定是3個工件一組,先執(zhí)行3個第一道工序,再相應執(zhí)行3個第二道工序。工件個數(shù)是3的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C3n-2=2(3n-1)a,C3n-1=(6n-1)a,C3n=6na其中之一。工件的開始時間一定是C3n-2-4a,C3n-1-4a,C3n-4a其中之一。

    定理3.2.1:EDD規(guī)則可以得到問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=2a|Lmax的最優(yōu)排序。

    3.3 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|Lmax的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=ka時,最優(yōu)排序一定是k+1個工件一組,先執(zhí)行k+1個第一道工序,再相應執(zhí)行k+1個第二道工序。工件個數(shù)是k+1的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C(k+1)n-k=2(k+1)a·(n-1)+(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)=2(k+1)a·(n-1)+(k+3)a,…,C(k+1)n=2(k+1)a·n其中之一。工件的開始時間一定是C(k+1)n-k-(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)-(k+2)a,…,C(k+1)n-(k+2)a其中之一。

    定理3.3.1:EDD規(guī)則可以得到問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|Lmax的最優(yōu)排序。

    4 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|∑Uj的最優(yōu)算法

    本節(jié)主要研究帶精確時間延遲的單機排序問題。每個工件記為Jj(aj,bj,lj,dj),目標函數(shù)為極小化工件總延誤個數(shù)。分別考慮以下3種情況:

    4.1 1|exact lj,aj=bj=lj=a|∑Uj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=lj=a時,最優(yōu)排序一定是兩個工件一組,先執(zhí)行兩個第一道工序,再相應執(zhí)行兩個第二道工序。工件個數(shù)是偶數(shù),機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C2n-1=(4n-1)a,C2n=4na(n=1,2,3,…)其中之一。工件的開始時間一定是C2n-1-3a,C2n-3a(n=1,2,3,…)其中之一。

    引理4.1.1:工件集存在不誤工的排序且僅當EDD序不誤工。

    算法H:(1)將工件按照EDD規(guī)則排序。(2)計算當前排序中各工件的完工時間,如果已無延誤則轉(4),否則轉(3)。(3)找出第一個延誤的工件,比如是第i個工件,則將其刪除,得到一個部分排序,返回(2)。(4)將刪除的工件以任意順序排到最后,所得部分排序之后,輸出所得排序。

    定理4.1.1:算法H可以得到問題1|exactlj,aj=bj=lj=a|∑Uj的最優(yōu)排序如圖4所示。

    圖4 最優(yōu)排序Fig.4 Optimal sorting

    證明:不妨d1≤d2≤…≤dn。設P=(S,F)為算法所得的排序,其中S為按期完工工件集,F(xiàn)為誤工工件集,即算法在第(3)步中刪除的工件集合。不妨設F≠Φ,令工件i是算法第一次執(zhí)行到第(3)步時找到的延誤工件,于是i就是算法刪除的第1個工件,由算法規(guī)則可知 1, …,i-1沒有誤工工件。下面首先證明:存在最優(yōu)排序P′=(S′,F′)(S′和F′定義同上),使得i∈F′。設P′=(S′,F′)是一個最優(yōu)排序且i∈S′。并記F′=π(r+1)…π(n),S′=π(1)…π(r),注意到引理4.1.1,不妨認為dπ(1)≤dπ(2)≤…≤dπ(r)。再由于d1≤d2≤…≤dn,所以一定存在m使得

    i∈{π(1), …,π(m)}?{1, … ,i},{π(m+1), …,π(r)}?{i+1, … ,n},

    并且由i定義,序列1, …,i產(chǎn)生延誤,因而{π(1), …,π(m)}≠{1, … ,i}。于是存在1≤h≤i,h?{π(1), …,π(m)},所以有:

    {π(1), …,π(m)}∪{h}{i}?{1, … ,k}{i}。

    由此可知,{π(1), …,π(m)}∪{h}{i}按照EDD排列后不產(chǎn)生延誤,且這些工件的總加工時間比{π(1), …,π(m)}中工件總加工時間減少了,這表明在上述工件序列之后加上原來的π(m+1), …,π(r)也不產(chǎn)生誤工工件。換句話說,我們構造出了一個誤工工件數(shù)與P′相同但i是誤工工件的排序,即得到了滿足要求的最優(yōu)排序。

    根據(jù)上面結論,對工件數(shù)目作歸納,證明定理結論:

    顯然,當n=1時,該算法可以得到最優(yōu)排序。假設算法對工件數(shù)為n-1的實例均能找到最優(yōu)排序,則對任一工件數(shù)為n的實例,設P=(S,F)是算法所得的排序,工件i∈F如上定義。所以存在一個最優(yōu)排序P′=(S′,F′),使得i∈F′,顯然有|S|≤|S′|。另一方面,考慮實例{1, …,i-1,i+1, …,n},由歸納假設及算法規(guī)則,算法得到的排序形如P=(S,F{i})且是一個最優(yōu)排序;再注意到P′=(S′,F′{i})是該實例的可行排序,所以又可以得到|S|≥|S′|。因此|S|=|S′|,算法對n個工件的實例也得到最優(yōu)排序。

    4.2 1|exact lj,aj=bj=a,lj=2a|∑Uj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=2a時,最優(yōu)排序一定是3個工件一組,先執(zhí)行3個第一道工序,再相應執(zhí)行3個第二道工序。工件個數(shù)是3的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C3n-2=2(3n-1)a,C3n-1=(6n-1)a,C3n=6na其中之一。工件的開始時間一定是C3n-2-4a,C3n-1-4a,C3n-4a其中之一。

    定理4.2.1:算法H可以得到問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=2a|∑Uj的最優(yōu)排序如圖5所示。

    圖5 最優(yōu)排序Fig.5 Optimal sorting

    證明:不妨d1≤d2≤…≤dn。設P=(S,F)為算法所得的排序,其中S為按期完工工件集,F(xiàn)為誤工工件集,即算法在第(3)步中刪除的工件集合。不妨設F≠Φ,令工件k是算法第一次執(zhí)行到第(3)步時找到的延誤工件,于是i就是算法刪除的第1個工件,由算法規(guī)則可知 1, …,i-1沒有誤工工件。下面首先證明:存在最優(yōu)排序P′=(S′,F′)(S′和F′定義同上),使得i∈F′。設P′=(S′,F′)是一個最優(yōu)排序且i∈S′。并記F′=π(r+1)…π(n),S′=π(1)…π(r),注意到引理4.1.1,不妨認為dπ(1)≤dπ(2)≤…≤dπ(r)。再由于d1≤d2≤…≤dn,所以一定存在m使得

    i∈{π(1), …,π(m)}?{1, … ,i},{π(m+1), …,π(r)}?{i+1, … ,n},

    并且由i定義,序列1, …,i產(chǎn)生延誤,因而{π(1), …,π(m)}≠{1, … ,i}。于是存在1≤h≤i,h?{π(1), …,π(m)},所以有:

    {π(1), …,π(m)}∪{h}{i}?{1, … ,k}{i}。

    由此可知,{π(1), …,π(m)}∪{h}{i}按照EDD排列后不產(chǎn)生延誤,且這些工件的總加工時間比{π(1), …,π(m)}中工件總加工時間減少了,這表明在上述工件序列之后加上原來的π(m+1), …,π(r)也不產(chǎn)生誤工工件。換句話說,我們構造出了一個誤工工件數(shù)與P′相同但i是誤工工件的排序,即得到了滿足要求的最優(yōu)排序。

    根據(jù)上面這個結論,對工件數(shù)目作歸納,證明定理結論:

    顯然,當n=1時,該算法可以得到最優(yōu)排序。假設算法對工件數(shù)為n-1的實例均能找到最優(yōu)排序,則對任一工件數(shù)為n的實例,設P=(S,F)是算法所得的排序,工件i∈F如上定義。所以存在一個最優(yōu)排序P′=(S′,F′),使得i∈F′,顯然有|S|≤|S′|。另一方面,考慮實例{1, …,i-1,i+1, …,n},由歸納假設及算法規(guī)則,算法得到的排序形如P=(S,F{i})且是一個最優(yōu)排序;再注意到P′=(S′,F′{i})是該實例的可行排序,所以又可以得到|S|≥|S′|。因此|S|=|S′|,算法對n個工件的實例也得到最優(yōu)排序。

    4.3 1|exact lj,aj=bj=a,lj=ka|∑Uj的最優(yōu)算法

    當aj=bj=a,lj=ka時,最優(yōu)排序一定是k+1個工件一組,先執(zhí)行k+1個第一道工序,再相應執(zhí)行k+1個第二道工序。工件個數(shù)是k+1的整數(shù)倍時,機器沒有空閑,否則機器存在空閑。工件的完工時間一定是C(k+1)n-k=2(k+1)a·(n-1)+(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)=2(k+1)a·(n-1)+(k+3)a,…,C(k+1)n=2(k+1)a·n其中之一。工件的開始時間一定是C(k+1)n-k-(k+2)a,C(k+1)n-(k-1)-(k+2)a,…,C(k+1)n-(k+2)a其中之一。

    定理4.3.1:算法H可以得到問題1|exactlj,aj=bj=a,lj=ka|∑Uj的最優(yōu)排序如圖6所示。

    圖6 最優(yōu)排序Fig.6 Optimal sorting

    證明:不妨d1≤d2≤…≤dn。設P=(S,F)為算法所得的排序,其中S為按期完工工件集,F(xiàn)為誤工工件集,即算法在第(3)步中刪除的工件集合。不妨設F≠Φ,令工件k是算法第一次執(zhí)行到第(3)步時找到的延誤工件,于是i就是算法刪除的第1個工件,由算法規(guī)則可知 1, …,i-1沒有誤工工件。下面首先證明:存在最優(yōu)排序P′=(S′,F′)(S′和F′定義同上),使得i∈F′。設P′=(S′,F′)是一個最優(yōu)排序且i∈S′。并記F′=π(r+1)…π(n),S′=π(1)…π(r),注意到引理4.1.1,不妨認為dπ(1)≤dπ(2)≤…≤dπ(r)。再由于d1≤d2≤…≤dn,所以一定存在m使得

    i∈{π(1), …,π(m)}?{1, … ,i},{π(m+1), …,π(r)}?{i+1, … ,n},

    并且由i定義,序列1, …,i產(chǎn)生延誤,因而{π(1), …,π(m)}≠{1, … ,i}。于是存在1≤h≤i,h?{π(1), …,π(m)},所以有:

    {π(1), …,π(m)}∪{h}{i}?{1, … ,k}{i}。

    由此可知,{π(1), …,π(m)}∪{h}{i}按照EDD排列后不產(chǎn)生延誤,且這些工件的總加工時間比{π(1), …,π(m)}中工件總加工時間減少了,這表明在上述工件序列之后加上原來的π(m+1), …,π(r)也不產(chǎn)生誤工工件,換句話說,我們構造出了一個誤工工件數(shù)與P′相同但i是誤工工件的排序,即得到了滿足要求的最優(yōu)排序。

    根據(jù)上面這個結論,對工件數(shù)目作歸納,證明定理結論:

    顯然當n=1時,該算法可以得到最優(yōu)排序。假設算法對工件數(shù)為n-1的實例均能找到最優(yōu)排序,則對任一工件數(shù)為n的實例,設P=(S,F)是算法所得的排序,工件i∈F如上定義。所以存在一個最優(yōu)排序P′=(S′,F′),使得i∈F′,顯然有|S|≤|S′|。另一方面,考慮實例{1, …,i-1,i+1, …,n},由歸納假設及算法規(guī)則,算法得到的排序形如P=(S,F{i})且是一個最優(yōu)排序;再注意到P′=(S′,F′{i})是該實例的可行排序,所以又可以得到|S|≥|S′|。因此|S|=|S′|,算法對n個工件的實例也得到最優(yōu)排序。

    5 結語

    主要研究了帶精確時間延遲的單機排序問題。每個工件Jj(j=1,2,…,n)有兩道工序aj、bj,第一道工序先于第二道工序加工,第一道工序的完工時間caj與第二道工序的開始時間sbj之間存在一個確切延誤時間exactlj,即sbj=caj+lj。所有工序操作時間都相等aj=bj=a(j=1,2,…,n),且確切延誤時間是工序操作時間的整數(shù)倍lj=ka(k∈N+ )。所有工序在一臺機器上執(zhí)行。分別以極小化加權總完工時間,最大延誤和總延誤數(shù)為目標函數(shù),設計了最優(yōu)算法。

    需要進一步研究和考慮的問題還有:

    (1)1|exactlj|∑wjCj帶確切延誤的單機排序問題,目標是加權總完工時間。

    (2)1|exactlj|Lmax帶確切延誤的單機排序問題,目標是極小化最大延誤時間。

    (3)1|exactlj|∑Uj帶確切延誤的單機排序問題,目標是總延誤數(shù)。

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