虛擬波場變換方法在電磁法中的進展

林 超， 嚴家斌

(1.中南大學 地球科學與信息物理學院，長沙 410083;2.有色金屬成礦預測與地質環(huán)境監(jiān)測教育部重點實驗室，長沙 410083)

0 引言

電磁法勘探是基于分析電磁波在大地介質中的傳播特性，達到研究地下地質體的賦存或構造特性的目的。通過使用天然或人工場源在大地中激發(fā)的交變電磁場，研究電磁場的時間和空間分布，分析觀測到的電磁響應信號，來獲得地下目標體電性分布的一種勘探方法[1]。在工程勘查[2-3]、資源勘探[4-5]、地下水探測[6-7]、地質填圖[8-9]和礦井災害預測[10-11]等方面都有廣泛地應用。電磁法方法的研究與應用是基于麥克斯韋方程組，為了避免電磁場特性的復雜分析以及降低各種干擾，提高電磁法方法的實用性，大部分電磁法方法都是采用準靜態(tài)近似的麥克斯韋方程組(如瞬變電磁法、海洋可控源電磁法等)，但擴散場方程是不利于成像的，為了滿足高分辨率和精細成像以及快速解決復雜問題的要求，必須尋找新的數據處理方法，由此開展了虛擬波場變換研究。

虛擬波場變換方法是指通過數學上的積分變換，將麥克斯韋擴散方程轉換為與電磁波類似的虛擬波動方程，在虛擬波場中進行計算和分析，該方法的初始研究是借鑒波動方程的性質，通過虛擬波場變換將地震中一些成熟的方法引入到電磁法的數據解釋中，提高電磁法數據解釋的分辨率，后來研究發(fā)現它在提高數值模擬的計算效率以及其他方面也可發(fā)揮重要作用。

電磁法虛擬波場變換的方法研究開始于上世紀70年代。Kunetz[12]首先發(fā)現了擴散的電磁場和波動方程之間存在著聯系；Lavrent'ev[13]用數學方法證明并提出了擴散方程和波動方程之間的轉換關系；Lee等[14]通過在準靜態(tài)擴散的麥克斯韋方程組中引入“q函數”實現了擴散電磁場到虛擬波場的轉換,將虛擬波場變換方法運用到電磁法中；de Hoop[15]通過借助格林函數，在麥克斯韋方程組中應用拉普拉斯變換，推導出了擴散電磁場和虛擬波場的變換關系；Maa?[16]將最初的麥克斯韋方程通過數學變換，轉換到較低頻率依賴性的復頻率域中，提出一種基于復頻率域的虛擬波場方法；Mitte[17]在對麥克斯韋方程組進行變換時利用傅里葉變換，使得虛擬波場的變換過程更簡單。伴隨著虛擬波場變換理論方法的逐漸完善，虛擬波場的應用也越來越受到重視。為了充分認識波場變換技術和它的應用價值，這里對虛擬波場變換的方法原理以及應用做了簡要的分析與綜述。

1 虛擬波場變換理論

虛擬波場變換方法一般用在低頻電磁法中，從麥克斯韋基本的擴散方程出發(fā)，對于準靜態(tài)情況下的時域擴散場，麥克斯韋方程組可以表示為：

▽×H(r,t)-σ(r)E(r,t)=-J(r,t)

(1)

▽×E(r,t)+μ?tH(r,t)=-K(r,t)

(2)

式中：H(r,t)表示時間域磁場分量；E(r,t)表示時間域電場分量；J(r,t)表示外加電性源；K(r,t)表示外加磁性源；r表示空間變量；σ(r)表示電導率；μ表示磁導率。式(1)和式(2)經過數學物理變換最終可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：FE(r,g)為虛擬波場中的電場；FH(r,g)為虛擬波場中的磁場；SE(r,g)和SH(r,g)分別為虛擬波場中電場和磁場的源時間函數；c為虛擬波波速，與電導率、磁導率有關；g為虛擬波場中的時間變量與擴散場的時間對應；r為虛擬波場中的空間變量和擴散場中的一致。需要注意的是，從擴散場到虛擬波場的變換方法并不是唯一的，主要體現在引入的函數上，式(1)～式(6)是麥克斯韋擴散方程到虛擬波動方程的變換形式，通過積分變換可得虛擬波場恢復到時域擴散場的對應關系，其對應關系由如下方程表示：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 虛擬波場變換的方法

虛擬波場變換中引入不同的函數就會有不同的變換形式以及波和擴散場之間的對應關系。目前，已知的波場變換方法有三種：Lee[14]提出的“q域法”方法、Maa?[16]提出的基于復頻率的方法及Mittet[17]提出的方法。

2.1 q域法

q域法是通過在時域擴散的麥克斯韋方程組中引入定義的“q函數”，實現了虛擬波場的變換，然后通過積分變換得到波場到擴散場的對應關系，大致過程如下：

定義“q函數”：

(11)

式中：ω0為比例伸縮系數；t′為虛擬波場的時間。將“q函數”引入到時域的擴散麥克斯韋方程組(1)、方程組(2)中，即用q替代方程中的時間t，得到一組虛擬波場方程：

(12)

(13)

虛擬波場與擴散場的對應關系為:

(14)

H″(r,q)=H′(r,q)

(15)

J″(r,q)=J′(r,q)

(16)

(17)

將式(14)～式(17)代入到式(12)～式(13)之中可得重構的虛擬波動方程：

-▽×H″(r,q)+σ(r)?qE″(r,q)=-J″(r,q)

(18)

▽×E″(r,q)+μ?qH″(r,q)=-K″(r,q)

(19)

最后通過積分變換可從虛擬波場恢復到擴散場：

(20)

(21)

(22)

2.2 基于復頻率的方法

復頻率域方法是通過在頻率域的麥克斯韋擴散方程組中引入定義的復頻率函數實現虛擬波場的變換，再通過積分變換從虛擬波場恢復到擴散場，其過程如下：

復頻率函數定義為：

iω=iω′(1-iω′a)

(23)

式中：a為常數，它的取值影響著時間步長的大小，一般根據實際情況選取合適的值，但不能取小于零的數；ω′為虛擬的角頻率；ω為擴散場的角頻率。將復頻率函數iω帶入到頻率域麥克斯韋擴散方程組中，其他量保持不變:

-▽×H(r,ω)+σ(r)E(r,ω)=-J(r,ω)

(24)

▽×E(r,ω)-iω′(1-iω′a)H(r,ω)=

-K(r,ω)

(25)

在虛、實波場中對應關系為：

E′(r,ω′)=E(r,ω)

(26)

H′(r,ω′)=(1-iω′a)H(r,ω)

(27)

J′(r,ω′)=(1-iω′a)J(r,ω)

(28)

K′(r,ω′)=K(r,ω)

(29)

利用對應關系可得重構的虛擬波動方程:

-▽×H′(r,ω′)+(1-iω′a)σ(r)E′(r,ω)

=-J′(r,ω′)

(30)

▽×E′(r,ω′)-iω′μH′(r,ω) =

-K′(r,ω′)

(31)

通過積分變換得到虛擬波場恢復到擴散場的對應關系為：

(32)

(33)

(34)

2.3 Mittet方法

通過定義一個虛擬的介電常數，將虛擬介電常數代入到頻率域擴散麥克斯韋方程組中，然后直接在方程中乘以一個適當的函數，最后通過定義一個虛擬的角頻率以及對應關系實現虛擬波場的變換，該方法從虛擬波場恢復到擴散場需要利用格林函數，其過程如下：

定義一個虛擬的介電常數：

(35)

式中：ω0為比例伸縮系數，它的取值也影響時間步長的大小，需要根據實際情況選取合適的值，且不能小于零。將虛擬的介電常數代入到頻率的擴散麥克斯韋方程組中可得：

-▽×H(r,ω)+2ω0ε′(r)E(r,ω)=

-J(r,ω)

(36)

▽×E(r,ω)-iωμH(r,ω)=-K(r,ω)

(37)

(38)

=-K(r,ω)

(39)

定義虛擬波動場中的角頻率以及對應關系：

(40)

E′(r,ω′)=E(r,ω)

(41)

(42)

(43)

K′(r,ω′)=K(r,ω)

(44)

式中：ω′為虛擬波場的角頻率，將式(40)～式(44)代入到式(38)或式(39)之中可得頻率域的虛擬波動方程，經過傅里葉變換可得時域的虛擬波動方程：

-▽×H′(r,t′)+ε′(r)?t′E′(r,t′)=

-J′(r,t′)

(45)

▽×E′(r,t′)+?t′H′(r,t′)=-K′(r,t′)

(46)

從時域波場恢復到時域擴散場的過程如下:

首先，根據類傅里葉變換積分將虛擬波場中的時域電磁場響應變換到虛擬波場中的頻率域電磁場響應：

(47)

(48)

(49)

其次,構造格林函數：

(50)

(51)

最后，通過對所得格林函數進行傅里葉變換可得到真實擴散場的時域電磁響應:

(52)

(53)

3 虛擬波場的應用

虛擬波場方法可以有效地提高數值模擬的計算效率，目前主要針對三維的數值模擬和擬地震反演成像等數據處理與解釋方面。

3.1 在提高數值模擬計算效率方面的應用

虛擬波場變換方法能提高數值模擬的計算效率主要是基于它滿足的波動方程(式(5)～式(6))的性質，在擴散電磁場中，由于電磁波在地下介質中的傳播的速度很大，利用有限差分進行數值計算時，需要很小的時間步長才能滿足穩(wěn)定性條件。在虛擬波場中滿足的方程是波動方程，虛擬波的波速不再是現實中電磁波波速，可以選擇較小的虛擬波波速來獲得較大的時間步長且滿足它的穩(wěn)定性條件，這使得在虛擬波場中有限差分法的計算效率很高，最后再恢復到擴散場。積分方程和有限元等數值模擬方法也可以求解，只是顯示有限差分法具有占用內存小，建模簡單等優(yōu)勢，所以在該方法中比較適用。

Maa?[16]提出了一種基于復頻率的波場變換方法之后，在虛擬波場中利用有限差分方法求解的巨大時間效益才體現出來。St?ren 等[18]在利用局部梯度優(yōu)化方法對海洋可控源數據進行三維反演時，在三維正演建模過程中采用Maa?[16]提出的虛擬波場變換方法，加快了失配梯度的計算速度。Mittet[17]提出了一種相對更簡單的虛擬波場變換方法，其主要是在Maa?提出的基于復頻率的波場變換方法上進行改進，并采用傅里葉變換去代替Lee等[14]的拉普拉斯變換。Mittet[22]將該方法引入到海洋大地三維數據反演的正演建模之中，同時，在正演計算過程中提出了一種非均勻網格垂直節(jié)點間距設計的標準以及采用了卷積完全匹配層進行邊界條件的處理，減少了計算區(qū)域的尺寸，提高了計算效率。Imamura等[19-20]在對海洋可控源電磁法三維全波形反演研究時，在正演建模時采用了Mittet[17]提出的虛擬波場變換方法，提高了正演的計算效率。Liu等[21]將Mittet[17]提出的虛擬波場變換方法用于瞬變電磁實測數據的二維正演，取得了良好效果。Hu等[23]將該方法引用到三維瞬變電磁的數值模擬，在正演計算中利用卷積完全匹配層處理邊界條件，并且在計算時將空氣層作為有限高阻引入到計算區(qū)域內，實現了對帶地形模型的模擬，最后將所得結果和SLDMA方法的對比，兩者具有良好的一致性，證明了該方法的有效性和計算的高效性。

3.2 虛擬波場擬地震反演成像的應用

虛擬波場擬地震反演成像主要是利用虛擬波場中與電磁波波傳播的有關特性，它的實質是通過數學上的積分變換提取電磁波中與波傳播有關的信息，使得虛擬波場類似于地震子波具有諸如反射、折射、衍射和透射等特征。虛擬波場擬地震成像可簡單的概述為：根據擴散場和虛擬波場的對應關系，利用奇異值分解等優(yōu)化算法將擴散電磁場信號轉換成虛擬波信號，然后借助于偏移成像、層析成像等地震方法以及一些其他的方法來對獲得的虛擬波信號進行成像等數據處理。

虛擬波場擬地震成像的應用最早開始于20世紀90年代，Lee等[24]提出利用奇異值分解來進行波場逆變換，從獲得的穩(wěn)定波形中估計源到接收器的旅行時間，再用獲得的旅行時間進行層析成像來反映地下電阻率結構，并通過費馬原理的兩點光線追蹤算法來進行高效迭代。Lee等[25-26]提出一種直接從頻率擴散場垂直磁場中提取旅行時間的方法，在虛擬波場中利用提取的旅行時間進行非線性層析成像，成功地估算了合成電磁數據的電阻率，并在實測數據中應用，證明了該方法的有效性。Kusuda等[27]在研究如何提高海洋可控源電磁法對甲烷水合物檢測時，利用奇異值分解的方法，將海洋可控源數據轉換成虛擬波場數據，分離出甲烷水合物異常區(qū)的波形。利用分離出的波形進行成像分析，提高了海洋可控源電磁法對甲烷水合物的分辨率。Amani等[28]提出利用地震中的逆時偏移成像和克希霍夫偏移成像的方法對虛擬波場變換得到的穩(wěn)定波形成像，并將這兩種方法用于海洋可控源電磁法數據的二維反演成像，通過綜合比較得出逆時偏移成像的精度較高。

國內的瞬變電磁擬地震成像開始于20世紀90年代，研究方向可分為：波場優(yōu)化算法、反褶積壓縮子波寬度、三維曲面延拓成像、合成孔徑成像。波場優(yōu)化算法主要是用于在波場逆變換中，減少不適定問題帶來的高度欠定的影響，從而使波場逆變換獲得的波形穩(wěn)定，在這方面的研究可參考文獻[29-32]；反褶積壓縮子波寬度是削弱波場逆變換中核函數隨時間的增加分布范圍增大帶來的波形較寬的問題，其實是對波場逆變換中獲得的波形進行濾波處理，在這方面的研究可參考文獻[33-34]；三維曲面延拓是為了消除地形起伏帶來的曲面以及測線不規(guī)則對反演成像帶來的影響，提高反演成像的分辨率。在這方面的研究可參考文獻[35-37]；合成孔徑處理是借鑒合成孔徑雷達成像的方法，即通過利用機載真實孔徑發(fā)射線圈與目標的相對運動，把尺寸較小的真實天線孔徑用數據處理的方法合成一較大孔徑的發(fā)射線圈，提高它的分辨能力和穿透力，由于雷達滿足的偏微分方程和虛擬波場滿足的偏微分方程都是波動方程，所以該方法可用于虛擬波場逆變換反演成像中，在這方面的研究可參考文獻[38-40]。

3.3 其他方面的應用

在利用有限差分求解方程時，對函數的一階偏導數的離散一般用含算子系數的中心差分近似來表示， Pasalic等[41]研究發(fā)現，可以通過對算子系數進行最優(yōu)化然后取高階的差分算子來減少離散網格的尺寸，并將該方法應用到虛擬波動方程的離散中，進一步提高了虛擬波場-有限差分法的計算效率。Imamura等[42]在虛擬波動方程離散上采用了粒子法，并提出了交錯粒子法和非交錯粒子法，通過模擬對比，交錯粒子在數值上比非交錯粒子有效率更高，主要是在同等的空間間隔中，交錯粒子只需要一半的數目就能達到和非交錯一樣的精度。Mittet[43]在對虛擬波域的波場和地震波波場關系研究過程中，為了使兩者條件一致，利用聲波來近似代替地震波，通過對虛擬波場中的波形和聲波波形的分析，證明了地震波場和海洋可控源電磁波場之間的相似性，以此來了解從虛擬波域到擴散域的轉換效果。

4 虛擬波場存在的問題

虛擬波場變換是通過數學上的變換實現的，從式(7)～式(10)可知，它有兩個過程:①波場到擴散場的正變換；②擴散場到虛擬波場的逆變換。虛擬波場方法的主要應用思路基本上都是圍繞這兩個不同的過程。但是這兩個不同的過程各有不足，在逆變換中，獲得的虛擬波類似于地震子波一樣具有傳播、反射、透射的特征，雖然在理論模型和一些實際應用中驗證確實可行，實際上它是存在著一些問題的，例如：逆變換是第一類Fredholm型算子方程的反問題，它本身是非常復雜的，現在一般的解法都是求線性逼近系統(tǒng)的最小二乘解，但是這種求解方法會帶來一定的誤差，該誤差很難估計；兩種波場的物理背景不同，一個是客觀存在的波場，一個是由數學變換得到的虛擬波場，將地震方法用于虛擬的波場中是否能反映出地下真實情況；擴散場具有頻散和吸收的特性，十分復雜，用簡單的虛擬波場來代替是否符合實際情況，以及擴散場的波速跟頻率有關，而虛擬波場中的波速跟頻率無關，這種不一致帶來的影響等。在正變換中，雖然最終恢復到擴散場，但是在恢復過程中，積分變換帶來的誤差也很難估計，以及可能會引入高頻成分、噪聲等干擾因素。

5 結論

筆者詳細介紹了虛擬波場變換的基本原理和方法，評價了它的優(yōu)缺點，并對其在地球物理中的應用做了綜述。虛擬波場在現實中是不存在的，在應用中，從擴散場到虛擬波場的變換相當于一個提取電磁波中有用信息的過程，虛擬波場相當于一個包含必要信息的容器。該方法為基于麥克斯韋擴散方程的電磁法方法的數據解釋提供了高效的數值模擬和新的思路，有助于提高數據解釋的效率和分辨率，豐富了電磁法數據解釋的方法。

致謝：

感謝評審專家們提出的中肯的有建設性的修改意見，對本文的改進有很大的幫助。