高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的運用

劉鳳敏

數(shù)學(xué)既是一門獨立的學(xué)科，同時又可以作為一種研究工具，在物理、經(jīng)濟等其他領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和縝密性，可以用來解決復(fù)雜的社會經(jīng)濟問題，預(yù)測多變的經(jīng)濟運行規(guī)律，在支持經(jīng)濟學(xué)理論研究和實踐應(yīng)用中具有不可替代的重要作用。高等數(shù)學(xué)中的一些重要概念、公式，如導(dǎo)數(shù)、微積分等，可以用來解決常見的經(jīng)濟問題。探究數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的辯證關(guān)系，以及高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用價值，在突顯數(shù)學(xué)這門學(xué)科實用性的基礎(chǔ)上，促進經(jīng)濟學(xué)的長足發(fā)展。

一、引言

現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)中的一些理論，很大一部分都是建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的，例如經(jīng)濟學(xué)中常用的控制論、博弈論等，都包含了數(shù)學(xué)思想，或是運用了數(shù)學(xué)工具。在經(jīng)濟學(xué)中運用高等數(shù)學(xué)，首先應(yīng)當(dāng)辯證看待兩者的關(guān)系，例如要堅持?jǐn)?shù)學(xué)思維與經(jīng)濟學(xué)思維的辯證統(tǒng)一，數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟學(xué)模型的辯證統(tǒng)一等。在此基礎(chǔ)上，還要結(jié)合具體的經(jīng)濟問題、經(jīng)濟現(xiàn)象，科學(xué)選擇高等數(shù)學(xué)中的一些常用方法加以解決，為經(jīng)濟活動、經(jīng)濟政策提供指導(dǎo)。

二、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的關(guān)聯(lián)性分析

（一）數(shù)學(xué)是經(jīng)濟學(xué)研究的重要手段

從19世紀(jì)中期以來，運用數(shù)學(xué)工具解決經(jīng)濟學(xué)問題，進行經(jīng)濟學(xué)研究，逐漸成為一種主流趨勢。例如美國學(xué)者約翰-納什，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域提出了“納什均衡論”，隨后該理論被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，并且讓納什獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。由此可見數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域的重要價值。在經(jīng)濟學(xué)研究中，由于經(jīng)濟問題的復(fù)雜性和經(jīng)濟發(fā)展的不確定性，給研究工作的開展，以及經(jīng)濟學(xué)理論的驗證帶來了較大的困難。相比之下，數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、思維縝密等特點，可以對復(fù)雜多變的經(jīng)濟學(xué)問題，進行定量計算、定性分析，有助于經(jīng)濟學(xué)研究成果的取得。

（二）數(shù)學(xué)促進了經(jīng)濟學(xué)科的發(fā)展

經(jīng)濟學(xué)作為一門獨立學(xué)科雖然歷史悠久，但是直到“邊際革命”后，數(shù)學(xué)廣泛運用到經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，才實現(xiàn)了突破式發(fā)展。數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的結(jié)合，無論是學(xué)科理論建設(shè)還是解決實際問題等方面，都發(fā)揮了不可忽視的重要價值。數(shù)學(xué)思維的成熟和數(shù)學(xué)工具的豐富，都成為促進經(jīng)濟學(xué)發(fā)展的重要動力。例如，在社會經(jīng)濟中，大量發(fā)行貨幣會導(dǎo)致通貨膨脹，進而危及國民經(jīng)濟的健康運行。利用數(shù)學(xué)方法可以計算出不同時間段應(yīng)當(dāng)發(fā)行貨幣的量，從而在規(guī)避通貨膨脹問題、維持經(jīng)濟穩(wěn)定發(fā)展方面發(fā)揮了作用。

（三）數(shù)學(xué)能夠解決復(fù)雜經(jīng)濟問題

在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，從表面上來看復(fù)雜的經(jīng)濟問題，多數(shù)情況下都可以歸結(jié)為簡單的數(shù)學(xué)問題。利用數(shù)學(xué)方法求解經(jīng)濟學(xué)問題，也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)這門學(xué)科實用價值的一種有效途徑。例如，在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，追求利潤最大化是經(jīng)濟主體的根本目標(biāo)。而數(shù)學(xué)中利用倒數(shù)求極值的方法，則能夠用簡單的數(shù)學(xué)公式，從復(fù)雜的經(jīng)濟學(xué)問題中找到最優(yōu)解，實現(xiàn)利潤最大化。從另一個角度來看，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的運用，本身也是實現(xiàn)自我完善、共同發(fā)展的過程。

三、高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的運用實例

（一）導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用

可以把邊際利潤定義為商品的總利潤函數(shù)L（x）關(guān)于產(chǎn)品銷售數(shù)量x的導(dǎo)數(shù)，即L'（x）。當(dāng)銷售數(shù)量為x件時，再銷售1件所增加的利潤ΔL（x）。這里需要注意的是：邊際利潤L'（x）<0與利潤L（x）<0是不同的。當(dāng)L'（x）<0意味著銷量為x時，再銷售1件產(chǎn)品所得的利潤比當(dāng)前平均每件產(chǎn)品的利潤少，但是銷售產(chǎn)品的總利潤是增加的。但是L（x）<0則意味著銷量為x時利潤為負值，這代表的就是企業(yè)處于虧損狀態(tài)遙即前者是邊際利潤小于零，后者是利潤小于零。

例：設(shè)某單位生產(chǎn)甲產(chǎn)品的總成本C'（x）是關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)，記為：C'（x）=1.2x2+7x+200。已知該產(chǎn)品的銷售單價為607元，求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)，邊際利潤。

解：本題涉及產(chǎn)量和銷售，設(shè)產(chǎn)量與銷量一致，依題可得產(chǎn)品的總收入為

R（x）=607x

已知：總成本

C'（x）=1.2x2+7x+200

則根據(jù)利潤函數(shù)=收人函數(shù)-成本函數(shù)得：

L=L（x）=R（x）-C（x）=-1.2x2+600x-200

根據(jù)邊際利潤的概念：

L'（x）=-2.4x+600

（二）微分方程在經(jīng)濟學(xué)中的運用

微積分是高等數(shù)學(xué)中的核心知識點之一，也是常用于經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域的一種數(shù)學(xué)工具。在經(jīng)濟活動中，往往存在各種動態(tài)變化的數(shù)量關(guān)系。在研究兩個及以上的經(jīng)濟變量的相互關(guān)系時，我們需要先建立微分方程，確定各個變量的函數(shù)形式，然后通過求解微分方程的方式，得到多個變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。以計算結(jié)果為依據(jù)，為經(jīng)濟發(fā)展的預(yù)測、經(jīng)濟政策的制定提供參考。例如，某家企業(yè)在運營中，需要協(xié)調(diào)原料采購與庫存關(guān)系：如果原料采購過多造成庫存積壓，則增加了庫存費用和材料的浪費;如果庫存不足、材料短缺，則影響正常生產(chǎn)，甚至停工。利用微分方程，可以結(jié)合企業(yè)的生產(chǎn)能力，在庫存總量和購貨數(shù)量逐漸尋求數(shù)學(xué)上的最優(yōu)解，為企業(yè)物資管理提供必要的指導(dǎo)。

四、經(jīng)濟學(xué)中運用高等數(shù)學(xué)的啟示

（一）數(shù)學(xué)思維與經(jīng)濟學(xué)思維的辯證統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)融合的早期，很多經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者，僅僅是將數(shù)學(xué)作為一種計算工具，忽視了數(shù)學(xué)思維的價值。在實際解決經(jīng)濟學(xué)問題時，就容易出現(xiàn)數(shù)學(xué)計算結(jié)果無法指導(dǎo)經(jīng)濟實踐活動的情況，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值被極大地削弱。為此，現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)體系中，必須在重視數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)思維與經(jīng)濟學(xué)思維統(tǒng)一起來。要從經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域分析問題，列出數(shù)學(xué)函數(shù)式;同時，對于求解的數(shù)學(xué)結(jié)果，也必須從經(jīng)濟學(xué)角度進行理解、運用。只有實現(xiàn)兩者的辯證統(tǒng)一，才能充分體現(xiàn)出高等數(shù)學(xué)的實用性。除此之外，數(shù)學(xué)工具、方法、模型的實踐運用，其實也是一個自我優(yōu)化的過程，通過不斷豐富數(shù)學(xué)工具、不斷完善數(shù)學(xué)模型，讓數(shù)學(xué)這門學(xué)科更加的成熟。

（二）數(shù)學(xué)化是經(jīng)濟學(xué)發(fā)展的主流趨勢

經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展，先后經(jīng)歷了古典經(jīng)濟學(xué)、新古典經(jīng)濟學(xué)和現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)等幾個階段。對比來看，在古典經(jīng)濟學(xué)中，數(shù)學(xué)的定量計算只是作為經(jīng)濟學(xué)分析的一種輔助和補充;而進入新古典經(jīng)濟學(xué)時期，高等數(shù)學(xué)中的方程理論已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用;在現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)中，伴隨著計算機的出現(xiàn)和高等數(shù)學(xué)的發(fā)展，統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟計量學(xué)等各種方法，成為聯(lián)系數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的重要契機。回顧經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展歷程，可以發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”成為伴隨經(jīng)濟學(xué)發(fā)展的一個重要特征。究其原因，一方面是因為現(xiàn)代經(jīng)濟社會中，經(jīng)濟問題中的數(shù)量關(guān)系更加復(fù)雜，需要借助于更高等級的數(shù)學(xué)知識加以解決;另一方面則是因為數(shù)學(xué)方法具有“可證偽性”，能夠檢驗經(jīng)濟活動的科學(xué)性、經(jīng)濟預(yù)測的準(zhǔn)確性。在經(jīng)濟全球化的今天，拓展數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)融合的廣度和深度，成為經(jīng)濟學(xué)發(fā)展的必然趨勢。

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)雖然是兩個獨立的學(xué)科，但是數(shù)學(xué)中的一些工具、方法，能夠為經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域理論研究的開展，實際問題的解決，提供必要的支持。尤其是高等數(shù)學(xué)，其中的導(dǎo)數(shù)、微積分等內(nèi)容，可以用來進行復(fù)雜經(jīng)濟問題的分析、求取最優(yōu)解，對社會經(jīng)濟的發(fā)展起到了積極作用。將高等數(shù)學(xué)運用到經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域，既要求我們樹立辯證的思維，用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟問題，用經(jīng)濟學(xué)思維提高數(shù)學(xué)應(yīng)用效果，推動數(shù)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)這兩門學(xué)科的同步發(fā)展。（作者單位：吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院）