基于超聲行波方法的液滴運動驅動理論分析與試驗研究

胡習之，徐聰聰，蔣智慧

（華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640）

壓電驅動是壓電材料的重要應用，壓電振子作為一種重要的能量轉換的元器件，具有結構簡單、結構形狀靈活多變等優(yōu)點，被廣泛應用到工業(yè)中的微型控制系統(tǒng)。例如：基于超聲行波驅動的汽車前風擋玻璃除雨系統(tǒng)。研究基于超聲行波驅動的壓電振子的模態(tài)對基于超聲行波驅動的汽車前風擋除雨系統(tǒng)的設計具有重要意義。

仉家政[1]利用ANSYS 軟件分析壓電式自動除雨系統(tǒng)的驅動部分，分析了除雨器的理想工作頻率范圍，對壓電振子進行了振動模態(tài)分析，并初步探討其特性，為除雨系統(tǒng)的結構設計提供了理論依據(jù)。劉建芳等[2]制作了一種利用壓電振子作為驅動源的汽車后視鏡除雨器樣機，對其關鍵部件壓電振子進行了仿真分析，結果表明：鏡面振幅在諧振頻率處除雨效果最優(yōu)。焦曉陽等[3]提出了一種利用壓電晶片振子作為驅動源的汽車后視鏡除雨裝置，建立了有限元模型，對壓電振子進行了模態(tài)分析，試驗分析了壓電晶片振子的靜態(tài)特性和動態(tài)特性，得到了壓電振子的諧振頻率，并對除雨裝置進行了試驗分析。唐春秀[4]利用ANSYS 軟件建立壓電振子的分析模型，對其進行模態(tài)分析及諧響應分析，確定一階振型為純彎曲振型，并且當激勵頻率為壓電振子的諧振頻率時，壓電振子響應位移最大，最具驅動能力。此外，文獻[5]～[10]建立了相應的壓電振子有限元模型，研究了壓電振子模態(tài)與尺寸參數(shù)的關系以及變化規(guī)律。

雖然關于壓電振子的模態(tài)分析已經(jīng)有了較多的研究，但針對基于超聲行波驅動的平板模型液滴運動研究很少。為了分析超聲行波驅動液滴運動的可行性，利用壓電陶瓷的逆壓電效應作為驅動液滴運動的驅動源，提出彈性體平板的液滴驅動模型。建立了壓電振子和彈性體平板的有限元模型，使用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行了壓電陶瓷模態(tài)分析和頻率分析，探究了彈性體平板模態(tài)，確定了壓電陶瓷的激勵頻率。通過試驗證明了以超聲行波作為驅動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。

1 彈性體平板的液滴驅動模型

在超聲行波微流體驅動中，體波在彈性體中傳播，利用彈性體的模態(tài)進行運動，而超聲波則產(chǎn)生聲流力和聲輻射作用力，當作用力足夠驅動液滴時，液滴將發(fā)生移動。在實際應用中，通常因為彈性體平板材料的阻尼作用，會產(chǎn)生能量耗散，同時平板表面的液滴吸收行波的驅動作用，使超聲行波的能量逐漸衰減。由波的疊加原理可知，平板表面將形成衰減的行波。圖1 為彈性體平板模型產(chǎn)生超聲行波的機理，其中a為陶瓷壓片間的間距。彈性體平板超聲行波驅動模型利用平板表面貼附的壓電陶瓷產(chǎn)生逆壓電效應激起衰減行波，從而驅動彈性體平板表面液滴沿行波方向移動。

圖1 彈性體平板模型產(chǎn)生超聲行波機理

兩駐波方程分別為：

式中：A為駐波振幅；ω為振動角頻率；k為波數(shù)；φ為振動相位差。

分別將式（1）和式（2）展開，可得：

通常兩激勵電壓的相位差為90°，即有：

則式（4）化簡為：

對比式（3），令

由于k= 2，則有：

即

因此，式（2）最終化簡為：

則兩駐波合成后能夠產(chǎn)生單向行波。

當用多點激勵產(chǎn)生行波時，只要兩兩之間滿足在空間上和相位上相差90°即可。

依據(jù)以上超聲行波理論，建立彈性體平板的液滴驅動模型，如圖2 所示。該模型結構較為簡單，在玻璃左端表面依次貼上4 片壓電陶瓷，極化方向均為z方向，壓電陶瓷與玻璃的接觸面統(tǒng)一為接地，另一面分別通以正弦交流電為Usin（ωt）、Ucos(ωt)、-Usin(ωt)以 及-Ucos(ωt)，其 中U為驅動電壓幅值，利用壓電陶瓷的逆壓電效應，形成時間上和空間上分別相差90°的駐波，在玻璃中形成超聲行波，從而驅動液滴移動。

圖2 彈性體平板液滴驅動模型

2 壓電振子的二維數(shù)值計算模型

從驅動液滴的工作原理可知，壓電振子作為驅動源，其振動模態(tài)對液滴的驅動效果起著至關重要的作用，因此，對壓電振子進行有限元模態(tài)分析。

2.1 計算模型參數(shù)

所研究的復合壓電超聲換能器是一個長方體的幾何結構，由一個壓電陶瓷（PZT-4）、一個銀層、一個銅層和兩個粘結層構成，這些層的結構順序為：銀層-粘結層-壓電陶瓷-粘結層-銅層，其中銀層厚度為1 μm，銅層為厚度0.1 mm 的銅片，從而在壓電晶體兩端施加電極。

考慮到壓電陶瓷層對振動模態(tài)具有主要作用，建模時對模型進行簡化，忽略其它層的影響，采用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件對PZT-4晶片進行數(shù)值仿真。圖3 為簡化后的PZT-4 晶片二維仿真模型，根據(jù)超聲行波理論選取壓電振子的結構參數(shù)為L= 5π/4 mm，h= 1 mm。

圖3 二維模型計算域示意圖

2.2 材料參數(shù)

壓電陶瓷PZT-4 的密度為7 500 kg/m3，壓電陶瓷PZT-4 的壓電矩陣為[12-15]：

相對介電常數(shù)矩陣為：

彈性矩陣為：

2.3 邊界條件

多物理場耦合了結構力學模塊和靜電模塊。通常在3D 笛卡爾坐標系中，壓電陶瓷的材料參數(shù)為沿z方向極化，選擇材料的方向為xz平面，材料的x方向與默認坐標系的x方向重合。在研究中，將x-y坐標系設置為默認坐標系。

（1）初始條件

初始位移場為：

初始結構速度場為：

（2）靜電邊界條件

根據(jù)圖2 設置壓電振子電學邊界條件，其中邊界Ω1為接地，邊界Ω2為電壓終端，且電壓為10 V，邊界Ω3、Ω4絕緣。

2.4 網(wǎng)格劃分

矩形幾何模型適合四邊形單元，對規(guī)則的矩形壓電晶片建立映射網(wǎng)格，利用分布網(wǎng)格控制不同邊的網(wǎng)格數(shù)量，分布屬性選擇固定單元數(shù)目，邊界Ω1的固定單元數(shù)為100 個，邊界Ω3的固定單元數(shù)為50 個，計算域的網(wǎng)格模型單元總數(shù)為5 000 個，邊單元總數(shù)為300 個，頂點單元總數(shù)為4 個，圖4 為PZT-4 壓電片的網(wǎng)格劃分。

圖4 PZT-4 壓電片的網(wǎng)格劃分

3 仿真結果

3.1 自由邊界條件下的振動模態(tài)

利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件對壓電陶瓷進行模態(tài)分析，得到二維矩形壓電陶瓷彎曲振動的前6 階模態(tài)以及x、y方向的位移云圖。壓電振子前6 階模態(tài)如圖5 所示，其中以紅色代表正值，藍色代表負值，顏色越深代表數(shù)值的絕對值越大，即相對振動位移越大。各階振動模態(tài)的固有頻率值見表1。

圖5 壓電振子前6 階模態(tài)

表1 二維矩形壓電陶瓷各階振動模態(tài)的固有頻率值

采用COMSOL 軟件提供的直線進入方法提取壓電振子邊界Ω2的位移，圖6 為前6 階模態(tài)x軸方向相對位移，圖7 為前6 階模態(tài)y軸方向相對位移。根據(jù)壓電振子的振動模態(tài)理論，結合圖5 和圖6 可知，第2 階模態(tài)對應為壓電振子的橫向振動模態(tài)，在該模態(tài)下，x和y方向的相對位移較其它模態(tài)都大得多。

圖6 前6 階模態(tài)x 軸方向相對位移

圖7 前6 階模態(tài)y 軸方向相對位移

3.2 自由邊界條件下的諧振頻率

利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行頻率掃描的頻域分析，初始頻率為20 kHz，終止頻率為1 000 kHz，掃描頻率步長為2 kHz，在后處理結果中建立一維繪圖組，使用全局繪圖，可得到壓電振子任意一點的導納頻率響應曲線，如圖8所示。由圖8 可知，在頻率為4.388 8×105Hz 處，壓電振子導納圖在諧振頻率附近都出現(xiàn)了一個峰值點和谷值點，電壓相位在峰值點和谷值點之間發(fā)生突變。這是由于將交流電壓施加于壓電振子上，壓電振子產(chǎn)生機械變形，同時由于機械變形導致正壓電效應產(chǎn)生了一定的電壓，對所施加的交流電壓進行反饋。當外加交流電壓的頻率與壓電振子的機械諧振頻率接近時，壓電振子的機械振動幅度將變得更大，驅動電壓與反饋電壓同相相加，流過壓電振子的電流最大，此時對應壓電振子的導納最大，即阻抗最小。

因此，前6 階模態(tài)中，只有第2 階模態(tài)為壓電振子的橫向振動模態(tài)，其它模態(tài)為一般結構力學模態(tài)。

圖8 壓電振子的輸入導納隨頻率變化的響應曲線

3.3 懸臂梁的固有模態(tài)和固有頻率

施加在壓電陶瓷上的激勵信號頻率不同，彈性體平板模型產(chǎn)生的振動模態(tài)也就不同，在不同模態(tài)下液滴的驅動效果是不同的，即存在一個最佳模態(tài)匹配的問題。在超聲波頻率以上的激勵信號下找到最佳的共振模態(tài)，就需要對模型進行模態(tài)分析。采用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件的結構力學模塊進行頻率分析，探究彈性體平板模態(tài)。

彈性體平板驅動模型利用了共振原理，通過激勵頻率等于彈性體平板的固有頻率，使彈性體平板在壓電陶瓷小應變的作用下達到較大的振幅。當單獨對一個壓電陶瓷施加正弦激勵時，產(chǎn)生駐波，引起彈性體平板上的各點在y方向上以正弦規(guī)律運動。因此，彈性體平板上各點的振動形式設為：

式中：x為彈性體平板上各點的橫坐標；y為各點的縱坐標；f為施加于壓電陶瓷的交流電頻率；yn(x)為振型函數(shù)；n為振型的階次；A為壓電陶瓷的最大振幅；t為時間。

根據(jù)振動理論[16]，懸臂梁的頻率方程為：

式中：sn為頻率方程的解；l為彈性體平板的長度。

梁的固有頻率為：

懸臂梁作橫向彎曲自由振動時的模態(tài)函數(shù)為：

3.3.1 懸臂梁的低階模態(tài)分析

彈性體平板的材料選擇Glass（Quartz），彈性體平板的長度為150 mm，厚度為3 mm，密度為2 210 kg/m3，楊氏模量為7×1010Pa，泊松比為0.24，對于平板玻璃，左端為固定約束，右端為自由邊界條件。為了簡化建模，采用一端固定的懸臂梁代替玻璃平板。采用與第2 節(jié)一樣的建模方法，利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行二維建模，基于模態(tài)疊加分析法，求得懸臂梁的前3 階模態(tài)，如圖9 所示。

通過式（15）計算得到懸臂梁前三階模態(tài)的固有頻率理論值，與有限元方法計算得到的數(shù)值解進行對比，見表2。

圖9 懸臂梁前3 階模態(tài)

表2 懸臂梁前3 階模態(tài)的理論值與數(shù)值解對比

由表2 可知，利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件計算得到的懸臂梁自由狀態(tài)下前3 階模態(tài)的固有頻率與理論值相吻合，說明了所建立的懸臂梁有限元模型的合理性，因此，可以進行高階模態(tài)分析。

3.3.2 懸臂梁的高階模態(tài)分析

基于模態(tài)疊加分析法，在壓電陶瓷第1 階共振頻率2.212 1×105Hz 附近搜索懸臂梁的1 階模態(tài)，獲得了懸臂梁在壓電陶瓷第1 階模態(tài)附近的模態(tài)和位移云圖，如圖10 所示。圖11 為固有頻率為2.218×105Hz 懸臂梁的振型圖，可以看到x分量振型的幅值與y分量振型的幅值之比約為10。

基于模態(tài)疊加分析法，在壓電陶瓷第2 階共振頻率4.388 8×105Hz 附近搜索懸臂梁的1 階模態(tài)，獲得了懸臂梁在壓電陶瓷第2 階模態(tài)附近的模態(tài)和位移云圖，如圖12 所示。圖13 為固有頻率為4.336 7×105Hz 懸臂梁的振型圖，可以看到x分量振型的幅值與y分量振型的幅值之比約為0.8。

圖11 固有頻率為2.218×105 Hz 時懸臂梁的振型圖

對比圖11 和圖13，懸臂梁在固有頻率為2.218×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要大得多，總位移的振幅波動較為平緩。而懸臂梁在固有頻率為4.336 7×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要小，并且總位移的振幅波動較大。根據(jù)BORCIA 等[17]的研究結果，承載液滴的固體基底同時受到水平方向和垂直方向的諧波振動，并且水平方向與垂直方向振幅的比值為5，通過這種激勵方式，在慣性作用下沿著基底方向上液滴往返運動的對稱性被打破，因此引起液滴產(chǎn)生凈位移的受迫振動。

因此，選擇壓電陶瓷的第1 階共振頻率作為壓電陶瓷的激勵頻率。

4 壓電振子驅動液滴的試驗研究

4.1 試驗裝置和測量方法

試驗裝置如圖14 所示，該裝置由微量進樣器、貼有壓電陶瓷的平板玻璃、高速攝像儀、計算機、大功率信號源、強光光源、升降臺和試驗平臺組成。試驗液體采用普通自來水；使用WL3866A-200 寬帶大功率信號源，其頻率范圍為10 ～1 000 kHz，最大輸出功率為200 W，最大電壓240 V，滿功率輸出時頻率在500 ～1 000 kHz 的非線性失真度為＜5%；使用Photron FASTCAM Mini UX100 高速攝像儀，分辨率設為1 280×1 024 Pixels，采集幀數(shù)設定為4 000 幀/s；使用300 W 的冷光源作為強光光源。如圖15 所示，在玻璃左端表面依次貼上壓電陶瓷，貼有壓電陶瓷的一側朝下。由于只需反映液滴的運動，所以采用刻度尺進行液滴位移的測量。

圖14 試驗裝置

圖15 貼有壓電陶瓷的平板玻璃

4.2 試驗結果與分析

常溫下，以驅動電壓和驅動頻率為控制變量，利用壓電陶瓷產(chǎn)生超聲行波驅動液滴運動，同時研究液滴的運動狀態(tài)。

圖16 驅動電壓為32 V、驅動頻率為900 kHz 時不同時刻下液滴液氣界面運動狀態(tài)

試驗表明，在親水基底表面，當驅動電壓為32 V 時，驅動頻率低于800 kHz，液滴基本不動，液滴界面不晃動；驅動頻率大于800 kHz 時，液滴晃動劇烈，液/氣自由界面出現(xiàn)變形，但是液滴基本保持靜止。采用高速攝像儀拍攝液滴運動狀態(tài)，圖16 為驅動電壓為32 V、驅動頻率為900 kHz 時不同時刻下液滴液氣界面運動狀態(tài)?？梢钥闯?，液滴晃動更加劇烈，液/氣自由界面出現(xiàn)劇烈變形，但液滴整體仍然保持靜止。

保持驅動頻率為900 kHz 不變，繼續(xù)增加電壓，可以發(fā)現(xiàn)液滴晃動更加劇烈，液滴移動的趨勢非常顯著。圖17 為驅動電壓為100 V、驅動頻率為900 kHz 時液滴在單位時間內的位移情況，從t1時刻到t2時刻，液滴從刻度為3.6 cm 的位置移動到了4.5 cm 位置，可知其位移為9 mm，由此看到液滴的移動速度約為9 mm/s。結果證明了彈性體平板液滴驅動模型的正確性，同時也表明，以超聲行波作為驅動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。

5 結論

（1）對壓電陶瓷進行模態(tài)分析，在壓電陶瓷彎曲振動的前6 階模態(tài)中，只有第2 階模態(tài)為壓電振子的橫向振動模態(tài)，其它模態(tài)為一般結構力學模態(tài)。在該模態(tài)下，x和y方向的相對位移較其它模態(tài)都大得多。

（2）在不同模態(tài)下液滴的驅動效果是不同的，即存在一個最佳模態(tài)匹配的問題。懸臂梁在固有頻率為2.218×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要大得多，總位移的振幅波動較為平緩。而懸臂梁在固有頻率為4.336 7×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要小，并且總位移的振幅波動較大。因此，選擇壓電陶瓷的第1 階共振頻率作為基于超聲行波驅動的汽車前風擋除雨系統(tǒng)中壓電陶瓷的激勵頻率。

（3）以驅動電壓和驅動頻率為變量，進行了利用壓電陶瓷產(chǎn)生超聲行波驅動液滴運動的試驗，驗證了彈性體平板液滴驅動模型的正確性，試驗結果也表明以超聲行波作為驅動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。