基于直觀能力培養(yǎng)的“草圖”表征教學(xué)例談

江蘇省太倉市鎮(zhèn)洋小學(xué) 張友峰

“草圖”是指不拘泥于數(shù)學(xué)嚴(yán)格作圖規(guī)范要求，通過靈活畫圖，來整理問題信息，來分析邏輯關(guān)系，來直觀呈現(xiàn)問題本質(zhì)的一種數(shù)學(xué)圖形表達(dá)方式。從一年級開始，學(xué)生就涉及各種各樣需要畫圖分析才能解決的問題，“草圖”學(xué)習(xí)顯得格外緊迫，“草圖”與圖形直觀能力的培養(yǎng)息息相關(guān)。

一、直觀的臺階：“草圖”在問題解決中的價值引領(lǐng)

1.“草圖”區(qū)分問題的類型

一年級的排隊問題是“草圖”表達(dá)的典型案例，一上是簡單排隊問題，一下是較復(fù)雜的排隊問題。排隊問題中的“幾”和“第幾”對于學(xué)生來說是比較抽象的，“幾”和“第幾”涉及數(shù)學(xué)的基數(shù)和序數(shù)概念。例如，有的排隊問題觀測人從前往后數(shù)是第幾人，從后往前數(shù)第幾人等。此類問題類型多變，非常容易混淆，通過“草圖”來進(jìn)行類型整理，可以把枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容直觀化，更好地區(qū)分問題的不同類型，突破教學(xué)難點。

2.“草圖”轉(zhuǎn)化代數(shù)問題

代數(shù)問題是抽象的，一年級有沒有代數(shù)問題？當(dāng)然有。學(xué)習(xí)了“＜”“＞”后，在實際教學(xué)中經(jīng)常會碰到這樣的問題：8+（ ）＜13，（ ）里可以填幾？此類問題比較抽象，如果一一列舉，容易遺漏，但是如果把這樣的代數(shù)問題進(jìn)行圖形表達(dá)，問題就迎刃而解了。代數(shù)問題是抽象的，圖形表達(dá)是直觀的，學(xué)生的年齡特點和學(xué)習(xí)起點決定了問題解決的直觀導(dǎo)向?！安輬D”表征可以推廣到更加復(fù)雜的問題中，通過多元表征培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

3.“草圖”勾連生活經(jīng)驗

“草圖”表達(dá)來源于生活經(jīng)驗，需要把生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為圖形語言。兩個有意思的問題：一個是“老鷹捉小雞”問題，另一個是“捉迷藏”問題。這兩個問題來源于生活，可以讓學(xué)生先進(jìn)行角色扮演，“老鷹捉小雞”問題包括了三個角色：老鷹、母雞和小雞，而“捉迷藏”問題包括了兩個角色：捉的和被捉的。學(xué)生通過實際體驗可以發(fā)現(xiàn)問題的不同，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“草圖”直觀表征，把生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)，用簡單的圖形符號來直觀呈現(xiàn)問題的本質(zhì)，既培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以取得不錯的學(xué)習(xí)效果。

二、直觀的過程：“草圖”在數(shù)學(xué)探究中的素養(yǎng)提升

1.體現(xiàn)全員參與的過程

“草圖”是結(jié)果性呈現(xiàn)的，一幅圖代表了對于一個或一類問題的結(jié)果思考。在解決數(shù)學(xué)問題時，借助圖形發(fā)散性表征可以幫助學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和幾何直觀，對于思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)作用顯著。但是學(xué)生個體的思維往往是孤立的、內(nèi)隱的，即使通過小組合作，許多高階思維過程也很少能夠被同伴捕捉。

2.凸顯發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程

規(guī)律是動態(tài)生成的，小學(xué)階段的規(guī)律一般都有周期性，一年級的規(guī)律往往是用圖形的方式呈現(xiàn)的，周期性就代表了重復(fù)出現(xiàn)，例如，“○○□○○□……”，也有一類規(guī)律是比較特別的，如“○□○□□○……○□□□□□□○”，想知道中間有幾個□，必須要畫圖。在問題解決過程中，不斷滲透畫圖操作的技能訓(xùn)練。與文字相比，“草圖”更直觀，與實踐操作相比，“草圖”更抽象，“草圖”表征可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，架起數(shù)學(xué)探索的橋梁。

3.呈現(xiàn)動手操作的過程

有時候結(jié)果性呈現(xiàn)的“草圖”也能體現(xiàn)操作的具體過程。例如，折紙問題：正方形紙折一次，折成兩個完成相同的圖形，有幾種方法？這類問題是注重體驗和實踐的，在實踐基礎(chǔ)上可以把操作過程圖形呈現(xiàn)。又如：兩張紙都是5 厘米，把它們訂在一起，重疊處長2 厘米，現(xiàn)在這張紙長多少厘米？教學(xué)實踐中，有學(xué)生通過兩張A4 紙操作演示來發(fā)現(xiàn)“奧秘”，也有學(xué)生直接畫“草圖”來找出規(guī)律。操作是體驗性的，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最終是要走向抽象的，抽象能力的培養(yǎng)必然要經(jīng)歷從生活經(jīng)驗到數(shù)學(xué)經(jīng)驗的轉(zhuǎn)變過程，而“草圖”表達(dá)是其中非常重要的一環(huán)。

三、直觀的形式：“草圖”在數(shù)學(xué)表達(dá)中的呈現(xiàn)方式

1.“草圖”要追求簡潔明了

例如，“一半的一半”問題：媽媽給強強買了一些鉛筆，強強第1 周用了這些鉛筆的一半，第二周用了剩下的一半，現(xiàn)在剩下3 支鉛筆，媽媽一共買了幾支鉛筆給強強？由于一年級學(xué)生還沒有學(xué)過平均分，也沒有學(xué)乘法，有學(xué)生畫線段圖和示意圖來研究，但這樣的畫圖方式脫離了孩子的認(rèn)知基礎(chǔ)?！安輬D”一旦失去了簡潔性，也就失去了存在的價值。有學(xué)生打破常規(guī)，把圓分成四等分，清晰直觀，一目了然，問題迎刃而解。

2.“數(shù)字”表達(dá)也是一種“草圖”

圖的形式是多樣的，能夠幫助我們分析邏輯關(guān)系和問題本質(zhì)的表達(dá)方式都屬于“草圖”范疇。有時候?qū)W生會通過數(shù)字排列的方式來梳理題意，例如：“一本故事書，小明從第6 頁開始看，看了10 頁正好看完，這本故事書一共有多少頁？”這類問題如果直接列算式，容易忽視“第6 頁開始看”這一隱藏條件，導(dǎo)致解題錯誤，但是如果列一列、排一排序不難發(fā)現(xiàn)，第6 頁之前是5 頁。從審題的角度來講，“草圖”的內(nèi)在價值不言而喻，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僵化和教條，需要給予孩子充分的發(fā)揮空間，規(guī)定動作太多可能會限制學(xué)生的思維。

3.“草圖”的規(guī)范作圖和不規(guī)范作圖

在小學(xué)數(shù)學(xué)中高年級，作圖有比較嚴(yán)格的規(guī)范要求，如直尺畫線、條件和問題的完整表述等。實際教學(xué)中，學(xué)生不喜歡畫圖的現(xiàn)象非常普遍。規(guī)范和不規(guī)范的取舍其實就代表了嚴(yán)謹(jǐn)和自由的區(qū)別。懷特海認(rèn)為，教育節(jié)奏里的第一個階段是浪漫階段，浪漫代表了無拘無束。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，過分的教條可能會限制學(xué)生的學(xué)習(xí)興奮點。

數(shù)學(xué)是規(guī)范的，數(shù)學(xué)是有趣的，數(shù)學(xué)也是充滿想象的，不應(yīng)該讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得死板和僵化?！安輬D”表達(dá)能力的培養(yǎng)不僅可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿智慧和樂趣，而且可以跨過最近發(fā)展區(qū)，讓數(shù)學(xué)的思考變得更多元。不同的學(xué)生能夠有不同的“草圖”表達(dá)，讓“草圖”為學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力的培養(yǎng)插上想象力的翅膀。