“神秘”賦值的玄機

黃光鑫

(四川省四川師范大學附屬中學 610066)

新課標高中數(shù)學不講極限的內(nèi)容，使得一類用導數(shù)方法討論函數(shù)零點的題目經(jīng)常采用賦值的方法說明函數(shù)值的正負，進而說明函數(shù)圖象的走勢，討論函數(shù)零點的問題.有些賦值比較容易想到，有些賦值在學生看來簡直是神來之筆，從天而降，無法想象！市面上不少參考書也是照搬照抄，不動腦筋！在各種不同的參考書上對同一個題目都是千篇一律的賦值方式！學生當然會問這背后的玄機在哪里？能不能想出另外的賦值方式？本文將和大家一起探討這些“神秘”賦值的玄機，請不吝賜教.

例1 (2016·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點.

②設a>0,則當x∈(-∞,1)時，f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

③設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

綜上，a的取值范圍為(0，+∞).

(2)不妨設x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

所以當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0.

從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

例2已知函數(shù)f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0).

(1)若f(0)=2，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)在[-2，1]上的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R，又f(0)=1-a=2，得a=-1，所以f(x)=ex-x+1，求導得f′(x)=ex-1.

易知f(x)在[-2，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，所以當x=0時，f(x)在[-2，1]上取得最小值2.

(2)知f′(x)=ex+a，由于ex>0，

①當a>0時，f′(x)>0，f(x)在R上是增函數(shù)，

當x>1時，f(x)=ex+a(x-1)>0；

②當a<0時，令f′(x)=0，得x=ln(-a).在(-∞，ln(-a))上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;在(ln (-a)，+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.所以當x=ln(-a)時，f(x)取最小值.

函數(shù)f(x)不存在零點，等價于f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0，解得：-e2

綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是(-e2，0).

例3 設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；

當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點；

所以f′(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

(2)證明由(1)，可設f′(x)在(0，+∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以當x=x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).

例4[2017年新課標卷(Ⅰ)(21)]已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

解(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減；②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.當x∈(-∞,-lna)時，f′(x)<0；當x∈(-lna,+∞)時，f′(x)>0所以f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.

從以上幾個例題可以隱隱略略看出：這類賦值問題，我們要仔細觀察所出現(xiàn)式子的結構特征，根據(jù)問題的需要，結合一些已知的恒等式和不等式，借助于待定系數(shù)法或?qū)ふ抑虚g變量總能找到成功賦值的方法！“神秘”賦值其實并不“神秘”！