基于圍線積分引理的信號(hào)變換域分析方法*

陳紹榮，何 健，陳柏良，薛在陽(yáng)

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；3.深圳市惟新科技股份有限公司，廣東 深圳 518000；4.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133）

0 引 言

早期的《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[1-2]涉及復(fù)平面上的圍線積分引理，由于對(duì)圍線積分引理?xiàng)l件的敘述不嚴(yán)謹(jǐn)，因此使用時(shí)缺乏可操作性，在查閱有關(guān)《復(fù)變函數(shù)》著作[3]及近期的《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[4]的基礎(chǔ)上，證明了圍線積分引理，基于圍線積分引理，研究了s域卷積運(yùn)算問(wèn)題，給出了利用區(qū)左極點(diǎn)或區(qū)右極點(diǎn)計(jì)算s域卷積的留數(shù)方法；依據(jù)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的ILT導(dǎo)出了非周期序列的IZT，基于圍線積分引理，給出了利用區(qū)外極點(diǎn)計(jì)算有終序列的IZT及計(jì)算z域卷積的留數(shù)方法，提出了利用兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)各自的雙邊LT來(lái)計(jì)算時(shí)域卷積信號(hào)及積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊ZT的方法。

1 圍線積分引理

設(shè)CR是s平面上半徑為|s|=R的圓周，CABC是CR上的任意一段圓弧，如圖1所示。

圖1 s平面上圍線積分引理示意圖

若函數(shù)F(s)在圓弧CABC上連續(xù)，并且滿足條件：

則有：

證明：

在圓弧 CABC上，令 s=Rejθ，則 ds=jRejθdθ，因?yàn)椋詫?duì)任意ε＞0，存在充分大的正數(shù)R0，當(dāng)|s|=R＞R0時(shí)，則有：

考慮到式（3），則有：

由式（4）可知，式（2）成立。

結(jié)論1：

若函數(shù)F(s)在CR上連續(xù)，并且則有：

2 基于圍線積分引理的信號(hào)變換域分析方法

2.1 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算s域的卷積積分

式中，G(w)=Fa1(w)Fa2(s-w)，w=λ+jΩw，s=σ+jΩ，考 慮 到 α1＜λ＜β1，α2＜σ-λ＜β2， 則 α1+α2＜σ＜β1+β2。λ0位 于 G(w)的 收 斂 域 λ1＜λ＜λ2之 內(nèi)， 其 中，λ1=min(α1,σ-β2)，λ2=min(β2,σ-α2)。

設(shè)CR是w平面上半徑|w|=R的圓周，CABC（CADC）是CR上的逆時(shí)針（順時(shí)針）方向的一段弧，如圖2所示。

圖2 w平面上圍線積分引理示意圖

由圍線積分引理可知，若函數(shù)G(w)在CR上連續(xù)，并且滿足條件：

考慮到式（10），則式（8）可對(duì)G(w)的區(qū)左極點(diǎn)wi(i=1,2,…,p1)（Re[wi]≤λ1的極點(diǎn)），利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，即：

考慮到式（11），則式（8）也可對(duì)G(w)的區(qū)右極點(diǎn)wj(j=1,2,…,p2)（Re[wj]≥λ2的極點(diǎn)），利用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，即：

式（13）中的負(fù)號(hào)是由于圍線繞行方向?yàn)樨?fù)向（即順時(shí)針?lè)较颍┑木壒省?/p>

若G(w)的區(qū)右極點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)，適宜用式（13）進(jìn)行計(jì)算，否則，適宜用式（12）進(jìn)行計(jì)算。

2.2 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算IZT

考慮到：

式中，Ωs=2π/T。

對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)抽樣，其樣值信號(hào)f^(t)可寫(xiě)成：

設(shè)：

考慮到式（16），對(duì)式（15）兩邊取雙邊LT，可得：

其實(shí)，式（17）還可寫(xiě)成：

式中，f(n)=fa(nT)，z=esT，并且：

稱(chēng)F(z)為序列f(n)的z變換（ZT），也稱(chēng)F(z)為序列f(n)的象函數(shù)。

考慮到連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)的雙邊LT的象函數(shù)Fa(s)的收斂域?yàn)棣粒鸡遥鸡?，因?yàn)閦=esT，所以象函數(shù)F(z)的收斂域?yàn)?Ra=eαT＜|z|＜eβT=Rb。并將 F(z)的 |z|≤Ra的極點(diǎn)稱(chēng)為區(qū)內(nèi)極點(diǎn)，將F(z)的|z|≥Rb的極點(diǎn)稱(chēng)為區(qū)外極點(diǎn)。

考慮到式（17），由式（18）可以得到：

考慮到式（20）及拉普拉斯逆變換（ILT）式，則有：

式（21）稱(chēng)為象函數(shù)F(z)的逆z變換(IZT)，其中，c1為T(mén)(z)=F(z)zn-1的收斂域內(nèi)的正向閉曲線。

先在z平面上F(z)的收斂區(qū)域Ra＜|z|＜Rb內(nèi)畫(huà)一條正向圓周曲線c1，再引入一條半徑為無(wú)窮大的圓周曲線c2，最后選取一條將T(z)=F(z)zn-1的所有區(qū)外極點(diǎn)zp包括在內(nèi)的積分路徑，如圖3所示。

圖3 z平面上極點(diǎn)的圍線積分路徑示意圖

設(shè)

式中，ai(i=0,1,2,…,N)和bj(j=0,1,2,…,m)為常數(shù)。

令q=N-m，T(z)=F(z)zn-1，若n≤q-1，即q-n≥1時(shí)，則有：

由于式（23）滿足圍線積分引理的條件，因此，有：

由圖3可知，對(duì)區(qū)外極點(diǎn)zp(p=1,2,…,n2)作逆z變換時(shí)，沿閉曲線積分的路徑由4段構(gòu)成，它們分別是c1、c2、d1及d2。因?yàn)閐1+d2線段的積分恒等于零，由式（24）可知，沿著c2的積分也恒等于零，于是逆z變換(IZT)可用下式計(jì)算，即：

式中，ε(n)為單位階躍序列，zp(p=1,2,…,n2)是T(z)=F(z)zn-1的區(qū)外極點(diǎn)（即T(z)在正向閉曲線c1外的極點(diǎn)），n2為區(qū)外極點(diǎn)數(shù)目，負(fù)號(hào)是因所有的區(qū)外極點(diǎn)zp始終在積分路徑c1右側(cè)的緣故；vi(i=1,2,…,n1)是T(z)=F(z)zn-1的區(qū)內(nèi)極點(diǎn)，n1為區(qū)內(nèi)極點(diǎn)數(shù)目。

2.3 基于圍線積分引理及連續(xù)時(shí)間信號(hào)的雙邊LT確定相應(yīng)序列的雙邊ZT

考慮到拉普拉斯逆變換式，則式（19）可寫(xiě)成：

則式（26）可寫(xiě)成：

可見(jiàn)，式（28）中的第一部分僅與Fa(s)的區(qū)左極點(diǎn)（Re[s]≤α的極點(diǎn)）有關(guān)；第二部分僅與Fa(s)的區(qū)右極點(diǎn)（Re[s]≥β的極點(diǎn)）有關(guān)。

其實(shí)，計(jì)算式（28）的復(fù)變函數(shù)積分，還是非常困難的，下面假設(shè)Fa(s)是真分式，進(jìn)一步研究式（28）的復(fù)變函數(shù)積分問(wèn)題。

在s平面上，以s=0為圓心，作一半徑為R的圓周CR，與路徑σ=σ0±j∞(α＜σ0＜β)交于 A點(diǎn)和 C點(diǎn)，CABC（CADC）是CR上逆時(shí)針（順時(shí)針）方向的一段弧，如圖4所示。

圖4 s平面上圍線積分路徑示意圖

令：

顯然，式（30）滿足圍線積分引理?xiàng)l件，于是，有：

考慮到式（31）及式（32），則式（28）可寫(xiě)成：

式中，s=λl(l=1,2,…,p)是Fa(s)的第l個(gè)區(qū)左極點(diǎn)（Re[λl]≤ α 的 極 點(diǎn)），s=sr(r=1,2,…,q)是 Fa(s)的第r個(gè)區(qū)右極點(diǎn)（Re[sr]≥β的極點(diǎn)）。

結(jié)論2：

式（33）揭示了一種直接利用連續(xù)信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

討論：

（1）設(shè)

考慮到式（6）及式（7），對(duì)式（34）兩邊取雙邊LT，可得：

結(jié)論3：

式（36）揭示了一種直接利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算卷積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

（2）設(shè)

考慮到式（8），對(duì)式（37）兩邊取雙邊LT，可得：

結(jié)論4：

式（39）揭示了一種直接利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。

2.4 基于圍線積分引理及留數(shù)定理計(jì)算Z域的卷積積分

由式（37）可知，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)fa(t)抽樣，其樣值序列可寫(xiě)成：

積序列f(n)=f1(n)f2(n)的z變換除了利用式（39）進(jìn)行計(jì)算外，還可用下述方法進(jìn)行計(jì)算。

考慮到式（40）、式（20）、式（38）及式（8），則有：

vi(i=1,2,…,p1)為G(v)在v平面上的區(qū)內(nèi)極點(diǎn)，即|vi|≤max(va1,|z|/Rb2)的極點(diǎn)。

假設(shè)vj(j=1,2,…,p2)為G(v)在v平面上的區(qū)外極點(diǎn)，即的極點(diǎn)。為了利用G(v)的區(qū)外極點(diǎn)來(lái)計(jì)算F12(z)，先在v平面上G(v)的收斂區(qū)域R1＜|v|＜R2內(nèi)畫(huà)一條正向圓周曲線c1，再引入一條半徑為無(wú)窮大的圓周曲線c2，最后選取一條將G(v)的所有區(qū)外極點(diǎn)vj均包括在內(nèi)的積分路徑，如圖5所示。

圖5 v平面上極點(diǎn)的圍線積分路徑示意圖

若滿足條件圍線積分引理?xiàng)l件：

則有：

由圖5可知，G(v)對(duì)區(qū)外極點(diǎn)vj(j=1,2,…,p2)作閉曲線積分時(shí)，沿閉曲線積分的路徑由4段構(gòu)成，它們分別是c1、c2、d1及d2。因?yàn)閐1+d2線段的積分恒等于零，由式（48）可知，沿著c2的積分也恒等于零，于是，有：

式中，G(v)=F1(v)F2(z/v)v-1，vj(j=1,2,…,p2)是 G(v)的區(qū)外極點(diǎn)，負(fù)號(hào)是由于圍線繞行方向?yàn)樨?fù)向（即順時(shí)針?lè)较颍┑木壒?，F(xiàn)12(z)的收斂域仍為

當(dāng)G(v)的區(qū)外極點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)，適宜用式（49）進(jìn)行計(jì)算，否則，適宜用式（41）進(jìn)行計(jì)算。

例：設(shè)象函數(shù)

解：（1）考慮到式（50）及式（51），則有：

由式（57）及式（58）可知，G(w)有2個(gè)區(qū)左極點(diǎn)w=-1，w=s-4；有4個(gè)區(qū)右極點(diǎn)w=2，w=3，w=s+2，w=s+3，由式（12）可得：

（2）方法1：

方法2：

由式（63）可得：

顯然，式（64）滿足圍線引理?xiàng)l件。

由式（68）及式（69）可知，G(v)有2個(gè)區(qū)內(nèi)極點(diǎn)v=e-T，v=e-4Tz；有4個(gè)區(qū)外極點(diǎn)v=e2T，v=e3T，v=e2Tz，v=e3Tz，由式（41）可得：

（3）考慮到

3 結(jié) 語(yǔ)

本文基于圍線積分引理，給出了利用區(qū)左極點(diǎn)或右極點(diǎn)計(jì)算s域卷積的留數(shù)方法；依據(jù)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的拉普拉斯逆變換導(dǎo)出了非周期序列的逆z變換，基于圍線積分引理，給出了利用區(qū)外極點(diǎn)計(jì)算有終序列的逆z變換及計(jì)算z域卷積的留數(shù)方法；提出了一種直接利用連續(xù)時(shí)間信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法，并分別給出了利用兩個(gè)連續(xù)信號(hào)各自的雙邊拉普拉斯變換來(lái)計(jì)算時(shí)域卷積信號(hào)及乘積信號(hào)相應(yīng)樣值序列的雙邊z變換的方法。