基于空間狀態(tài)辨識(shí)理論的高速鐵路車體垂向加速度預(yù)測(cè)模型

楊懷志 牛留斌 谷永磊 楊飛

（1.京滬高速鐵路股份有限公司，北京 100038；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測(cè)研究所，北京 100081）

軌道的平順性狀態(tài)直接影響高速鐵路車輛運(yùn)行平穩(wěn)性和乘坐舒適性，是合理制訂線路養(yǎng)護(hù)維修措施的重要依據(jù)。軌道不平順對(duì)車輛的影響與其幅值、波長(zhǎng)有關(guān)，如波長(zhǎng)1～3 m 的短波軌道不平順主要引起車輛、軌道部件的振動(dòng)沖擊破壞，加速道床變形；波長(zhǎng)3～150 m 的中長(zhǎng)波軌道不平順主要引起車體低頻振動(dòng)，影響乘坐舒適性。

車體振動(dòng)加速度是軌道不平順輸入激勵(lì)及車輛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的綜合反映。研究二者的關(guān)聯(lián)關(guān)系有助于分析軌道病害引起車輛響應(yīng)的劇烈程度，為現(xiàn)場(chǎng)維修提供科學(xué)依據(jù)。國(guó)內(nèi)外對(duì)軌道不平順與車體振動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系展開了大量研究。文獻(xiàn)［1-2］采用傳遞函數(shù)或短時(shí)傅里葉變換小波分析研究軌道不平順與車輛振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)關(guān)系；文獻(xiàn)［3-4］通過(guò)車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論及頻率分析方法，研究軌道不平順與車體振動(dòng)的傳遞特性。上述研究多是采用信號(hào)處理方法（如相干分析等）或車輛-軌道動(dòng)力學(xué)理論，利用頻譜分析進(jìn)行研究，側(cè)重找出引起車體強(qiáng)烈振動(dòng)的單項(xiàng)軌道不平順敏感波長(zhǎng)定量分布，未給出軌道不平順與車體振動(dòng)的顯式傳遞特性。

軌道高低不平順是引起機(jī)車車輛垂向振動(dòng)的主要來(lái)源。由于短波軌道不平順引起激振頻率高，對(duì)車體振動(dòng)加速度影響不大，因此本文只研究長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向振動(dòng)之間的關(guān)系。作為車輛動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)，長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度之間存在著近似線性的傳遞關(guān)系［5］，可運(yùn)用線性模型對(duì)二者的傳遞關(guān)系進(jìn)行等效分析。將長(zhǎng)波軌道高低不平順作為模型的輸入，車體垂向加速度作為模型的輸出，二者的關(guān)聯(lián)關(guān)系將集中表現(xiàn)在假定模型的傳遞關(guān)系上。

本文基于系統(tǒng)辨識(shí)理論，以我國(guó)高速綜合檢測(cè)列車車載軌道檢測(cè)系統(tǒng)在一高速鐵路上的實(shí)測(cè)軌道不平順及車體加速度數(shù)據(jù)為樣本，采用狀態(tài)空間（State-Space）模型，建立長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度的關(guān)聯(lián)模型，研究二者的傳遞關(guān)系。

中國(guó)高速綜合檢測(cè)列車軌道不平順的最大測(cè)量波長(zhǎng)為150 m［6］。兼顧檢測(cè)系統(tǒng)最小檢測(cè)波長(zhǎng)，本文中長(zhǎng)波軌道高低不平順取軌道幾何檢測(cè)系統(tǒng)中實(shí)測(cè)左、右長(zhǎng)波軌道高低不平順的均值，且只保留波長(zhǎng)3～150 m 的波形成分；相應(yīng)的車體垂向加速度是指已經(jīng)濾除了趨勢(shì)項(xiàng)之后的實(shí)測(cè)車體垂向加速度數(shù)據(jù)；車輛檢測(cè)速度為200 km/h，采樣間隔為0.25 m。

1 關(guān)聯(lián)模型構(gòu)建

通過(guò)功率譜密度估計(jì)的方法，可得到軌道幾何檢測(cè)數(shù)據(jù)不同的波長(zhǎng)成分在空間頻率上的分布特征，顯示出車體垂向加速度在空間頻率上隨車輛運(yùn)行速度的變化規(guī)律。經(jīng)平穩(wěn)性檢驗(yàn)證實(shí)［7-8］，多數(shù)軌道不平順雖不具備各態(tài)歷經(jīng)性，但具有平穩(wěn)或弱平穩(wěn)特性。所以，可將軌道不平順按平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程處理，車體加速度及長(zhǎng)波軌道不平順功率譜的分析方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。

本文采用平均周期圖譜法（Welch 韋爾奇）進(jìn)行功率譜計(jì)算，段內(nèi)傅里葉變換點(diǎn)數(shù)4 096，加漢明窗（Hamming），段與段間數(shù)據(jù)樣本重疊50%。

1.1 狀態(tài)空間模型的構(gòu)建

系統(tǒng)辨識(shí)方法是通過(guò)觀測(cè)一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識(shí)方法可以在不使用機(jī)車車輛部件本身固有參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用實(shí)測(cè)得到的輸入和輸出數(shù)據(jù)對(duì)車輛的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行辨識(shí)。狀態(tài)空間（State-Space）模型是系統(tǒng)辨識(shí)理論中的一種參數(shù)模型方法，用狀態(tài)方程和控制方程來(lái)表征模型輸入與輸出數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

在狀態(tài)空間關(guān)聯(lián)模型中，實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度，即輸入u與輸出y之間的關(guān)系式為［10］

式中：x（t）為狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量，將模型輸入與輸出聯(lián)系在一起，其大小決定模型的階數(shù)；u（t）為t時(shí)刻軌道不平順的實(shí)測(cè)輸入，mm；y（t）為t時(shí)刻車體垂向加速度的實(shí)測(cè)輸出，m/s2；p1（t）和p2（t）為t時(shí)刻模型誤差值；A，B，C，D為狀態(tài)模型待估參數(shù)。

本文通過(guò)子空間算法得到模型待估參數(shù)。假定空間狀態(tài)模型階數(shù)為n，模型輸入、輸出個(gè)數(shù)分別為m，r，則參數(shù)矩陣A為n×n矩陣，B為n×m矩陣，C為r×n矩陣，D為m×r矩陣。

在實(shí)測(cè)狀態(tài)空間模型中，輸入u和輸出y的傳遞函數(shù)G的表達(dá)式為

式中：ω為空間頻率，m-1；In為n階單位矩陣。

得到關(guān)聯(lián)模型的傳遞函數(shù)后，可利用實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順u（t）來(lái)預(yù)測(cè)車體垂向加速度的模型輸出，并與實(shí)測(cè)車體垂向加速度y（t）進(jìn)行對(duì)比分析。預(yù)測(cè)模型計(jì)算公式為

式中，N為參與損失函數(shù)計(jì)算的數(shù)據(jù)樣本總量。

合理的階數(shù)n能使車體垂向加速度的模型預(yù)測(cè)輸出數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)差異最小，即傳遞模型的損失函數(shù)最小。獲得模型最小損失函數(shù)的判別方法有FPE（Final Prediction Error）準(zhǔn)則和AIC（Akaike Information Criterion）準(zhǔn)則［10］，其判別公式分別為

式中，d為待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。

將式（4）分別代入式（5）和式（6），從結(jié)果中選取出最合理的模型階數(shù)n，用以優(yōu)化狀態(tài)空間模型參數(shù)，獲取更為接近實(shí)際的傳遞函數(shù)。

1.2 狀態(tài)空間模型的檢驗(yàn)

為確保所構(gòu)建的狀態(tài)空間模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，一般采用模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的殘差及相關(guān)系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)狀態(tài)空間模型的精度。

模型殘差re為車體加速度模型預(yù)測(cè)輸出與相應(yīng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)y的差值，即

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，如果所建模型能夠準(zhǔn)確辨識(shí)輸入與輸出的關(guān)聯(lián)關(guān)系，則模型殘差re服從均值為0 的正態(tài)分布，即re～N（0，σ2）。方差σ2為模型殘差偏離均值的平均數(shù)，反映殘差的離散程度。σ越小，模型殘差偏離均值的程度越小，模型預(yù)測(cè)輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)y越接近。驗(yàn)證數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布有圖示法、統(tǒng)計(jì)等多種方法。本文采用正態(tài)概率圖法來(lái)直觀驗(yàn)證模型殘差re是否服從正態(tài)分布。

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)輸出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)y的相似程度，還可用相關(guān)系數(shù)ρ來(lái)衡量二者的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)ρ定義為

式中：M為驗(yàn)證模型的數(shù)據(jù)樣本長(zhǎng)度為實(shí)測(cè)車體垂向加速度期望為模型預(yù)測(cè)車體垂向加速度的期望

相關(guān)系數(shù)ρ的絕對(duì)值在 0～1.00。當(dāng)ρ的絕對(duì)值大于0.80時(shí)，可認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。

除了時(shí)域上還可用空間頻域上的相干函數(shù)進(jìn)行比較。常用相干函數(shù)γ來(lái)確定2 組信號(hào)在頻域上的相關(guān)性，其計(jì)算公式為

式中：Guy（ω）為輸入和輸出的互功率譜密度；Guu（ω），Gyy（ω）分別為輸入、輸出自功率譜密度，計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。

相干函數(shù)γ的取值范圍在0～1。當(dāng)γ取1 時(shí)說(shuō)明輸出完全來(lái)源于輸入，全相干；當(dāng)γ取0 時(shí)說(shuō)明輸出與輸入完全不相干，是兩個(gè)完全獨(dú)立的物理量。通常認(rèn)為γ值在0.80以上時(shí)輸出與輸入存在較強(qiáng)的相干關(guān)系。

2 綜合檢測(cè)列車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)頻域特征

一高速鐵路上一固定區(qū)段10 個(gè)速度級(jí)下實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度功率譜密度（power spectral density ，PSD）估計(jì)曲線見(jiàn)圖1。其中使用的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)樣本數(shù)為150 000個(gè)。

圖1 不同速度下一高速鐵路區(qū)段實(shí)測(cè)功率譜密度估計(jì)曲線

從圖1可知，該高速鐵路區(qū)段上長(zhǎng)波軌道高低不平順、車體垂向加速度在空間頻域上的能量分布特性。從圖1（a）可知，長(zhǎng)波軌道高低不平順?biāo)ㄩL(zhǎng)成分的分布比較集中，主要在0.005 ～0.020 m-1頻段，對(duì)應(yīng)不平順波長(zhǎng)50 ～200 m。長(zhǎng)波軌道高低不平順除了在集中頻段分布外，還在空間頻域存在比較有規(guī)律的波長(zhǎng)成分。這些間隔均勻的頻率所對(duì)應(yīng)最大頻率值為0.030 27 m-1，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)約為32 m，等于該高速鐵路鐵路橋梁所對(duì)應(yīng)的一跨梁長(zhǎng)。

若將一跨梁長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)作為基波波長(zhǎng)，該高速鐵路長(zhǎng)波軌道高低不平順中所包含的1～7倍基波波長(zhǎng)在空間頻域上的分布情況見(jiàn)圖2。由圖2 可知，3 倍基波及以上波長(zhǎng)在長(zhǎng)波軌道高低不平順中所占的能量成分已急劇減少。這在車體垂向加速度PSD 估計(jì)曲線中也可以得到印證。

圖2 由橋梁跨長(zhǎng)引起的周期不平順在空間頻域上的分布

從圖1（c）可知，車體垂向加速度所包含的波長(zhǎng)成分在空間頻域上分布也比較集中，主要在0.006～0.010 m-1頻段。除此頻段以外，還在2 個(gè)頻率點(diǎn)處存在較大的能量，分別為0.030 27 m-1和0.346 70 m-1。0.030 27 m-1與長(zhǎng)波軌道高低不平順PSD曲線相對(duì)應(yīng)，反映出多跨鐵路橋梁對(duì)車輛垂向振動(dòng)性能的影響；0.346 70 m-1對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)約為2.88 m，相當(dāng)于輪對(duì)圓周長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的車輪直徑約為919 mm，反映出高速綜合檢測(cè)車輛結(jié)構(gòu)對(duì)檢測(cè)數(shù)據(jù)的影響。

另外，從圖1（b）、圖1（d）可知，當(dāng)檢測(cè)速度由200 km/h 變化到340 km/h 時(shí)，長(zhǎng)波軌道高低不平順PSD 的峰值變化不大；車體垂向加速度PSD 峰值由0.15 m3/s4上升至2.05 m3/s4，增加了近13倍?？梢?jiàn)，引起車輛垂向振動(dòng)加劇的不利波長(zhǎng)隨車輛運(yùn)行速度的增加而增大。

3 數(shù)值試驗(yàn)

本文將來(lái)源于高速綜合檢測(cè)列車的實(shí)測(cè)檢測(cè)數(shù)據(jù)分為獨(dú)立的2部分。一部分用于空間狀態(tài)模型階數(shù)n及系數(shù)矩陣A，B，C，D的估算，另一部分用于模型預(yù)測(cè)及結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證。

根據(jù)系統(tǒng)辨識(shí)方法，將高速綜合檢測(cè)列車上的實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順及車體垂向加速度作為模型的輸入和輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)最優(yōu)化準(zhǔn)則用式（5）或式（6）選擇合理的階數(shù)n，并估算狀態(tài)空間模型參數(shù)矩陣A，B，C，D，再由式（2）獲得狀態(tài)空間模型的傳遞函數(shù)。不同速度條件下，狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)在空間頻域0.001～0.100 m-1上的幅頻特性曲線與相頻特性曲線見(jiàn)圖3。其中參與狀態(tài)空間模型參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)量為10 000個(gè)。

圖3 不同速度下傳遞函數(shù)的幅頻與相頻特性曲線

從圖3（a）可知，速度高于 260 km/h 時(shí)，幅頻特性隨著空間頻率的增加呈現(xiàn)出先遞減后遞增的趨勢(shì)，在波長(zhǎng)100～150 m 內(nèi)的傳遞特性較好。圖3（b）反映出模型輸入與輸出之間的傳遞延遲。不同速度的傳遞函數(shù)存在一定的差異，故在估算模型傳遞函數(shù)時(shí)所使用數(shù)據(jù)的速度變化范圍不能太大。

在同一檢測(cè)速度下，多次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)估算出的狀態(tài)空間模型，其傳遞函數(shù)曲線吻合較好。檢測(cè)速度330 km/h 時(shí)，利用2 次試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別估算出的傳遞函數(shù)在空間頻域0.001～0.100 m-1內(nèi)的幅頻特性與相頻特性曲線，見(jiàn)圖4。

圖4 速度330 km/h時(shí)2次試驗(yàn)的傳遞函數(shù)幅頻與相頻特性曲線對(duì)比

檢測(cè)速度分別為240，280，330 km/h 時(shí)，利用狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順預(yù)測(cè)得到車體垂向加速度波形，并與對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)車體垂向加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖5。其中，預(yù)測(cè)區(qū)段里程長(zhǎng)4 km，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)量16 000個(gè)，分別代入式（5）和式（6），選取出合理模型階次n。不同速度對(duì)應(yīng)的最優(yōu)化狀態(tài)空間模型的階數(shù)n不同。

圖5 不同速度下車體垂向加速度預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)波形對(duì)比

由式（8）計(jì)算得出，圖5中車體垂向加速度預(yù)測(cè)波形與實(shí)測(cè)車體垂向加速度數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)ρ均大于0.86，說(shuō)明二者存在較強(qiáng)的線性相關(guān)性。圖5（c）車體垂向加速度模型殘差re服從正態(tài)分布N（-0.002 0，0.003 6），近似滿足0 均值正態(tài)分布假設(shè)，其殘差的正態(tài)概率分布曲線見(jiàn)圖6。

圖6 v=330 km/h，n=8時(shí)，車體垂向加速度模型殘差正態(tài)概率分布

檢測(cè)速度分別為240，280，330 km/h 時(shí)，狀態(tài)空間模型的預(yù)測(cè)波形與實(shí)測(cè)車體垂向加速度在空間頻域上的相干函數(shù)γ分布曲線見(jiàn)圖7。其中330 km/h 條件下有2次試驗(yàn)。

圖7 車體垂向加速度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)波形相干曲線

從圖7 可知，在空間頻域 0.005～0.010 m-1（對(duì)應(yīng)有效波長(zhǎng)100～150 m）及0.030 27 m-1（對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)33 m）處，相干函數(shù)值不低于0.75，說(shuō)明二者存在較強(qiáng)的相干關(guān)系。結(jié)合圖1（c）、圖1（d），圖7 中相干性較好的頻段與車體垂向加速度能量較大的分布區(qū)段一致。

檢測(cè)速度分別為240，280，330 km/h 時(shí)，實(shí)測(cè)車體垂向加速度波形與對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)在空間頻域內(nèi)的功率譜密度估計(jì)曲線對(duì)比見(jiàn)圖8。其中，參與估計(jì)的數(shù)據(jù)量為50 000個(gè)，330 km/h條件下有2次試驗(yàn)。

圖8 不同速度下車體垂向加速度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)波形PSD曲線對(duì)比

從圖8 可知，不同速度條件下狀態(tài)空間模型預(yù)測(cè)車體垂向加速度波形在空間頻域上能量的分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是一致的。

4 結(jié)論

本文通過(guò)高速綜合檢測(cè)列車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析，得出不同速度條件下的長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度在頻域上的分布特性；利用狀態(tài)空間模型辨識(shí)方法建立了二者的關(guān)聯(lián)模型，通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)訓(xùn)練關(guān)聯(lián)模型并優(yōu)化了模型階數(shù)、估算出空間狀態(tài)模型的參數(shù)。

不同速度條件下，通過(guò)實(shí)測(cè)長(zhǎng)波軌道高低不平順及相應(yīng)不同速度級(jí)條件下的狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)，對(duì)車體垂向加速度進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并與對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)車體垂向加速度數(shù)據(jù)在時(shí)域和空間頻域上進(jìn)行了分析和對(duì)比。結(jié)果表明：

1）在時(shí)域上，二者波形變化趨勢(shì)吻合良好，幅值大小相當(dāng)，相位一致，存在較強(qiáng)的線性相關(guān)性；

2）在空間頻域上，能量分布趨勢(shì)特征相同，且在能量主要分布頻段相干性很強(qiáng)；

3）合理階數(shù)的狀態(tài)空間模型能夠準(zhǔn)確地辨識(shí)長(zhǎng)波軌道高低不平順與車體垂向加速度之間的傳遞關(guān)系。