高速鐵路軌道平順性靜態(tài)長弦測量矢距差法數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)及特性分析

趙文博 楊飛 李國龍 尤明熙 張煜

（中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京 100081）

為保證線路平順性，須精確測量軌道的幾何形位，及時高效地提供鋪設(shè)無砟軌道所需的軌道位置、高程等參數(shù)。目前主要是利用綜合檢測列車進(jìn)行動態(tài)檢測和地面靜態(tài)檢測。其中，靜態(tài)檢測分為2 類。①基于 10，20 m 弦的中點矢距評價測量［1］，而對于長波不平順，需要更長的弦長進(jìn)行控制，無法進(jìn)行現(xiàn)場實測，通常采用“以小推大”方法進(jìn)行改進(jìn)［2］，或利用絕對測量小車直接進(jìn)行長弦輸出；②依據(jù)從德國引進(jìn)的固定 30 m（48a），300 m（480a）弦的 5 m（8a），150 m（240a）矢距校核的矢距差評價測量［3］，其中a為扣件節(jié)點間距個數(shù)。文獻(xiàn)［4］從軌道不平順譜的角度對無砟軌道幾何不平順控制方法進(jìn)行了探討，表明隔枕校核方法優(yōu)于現(xiàn)有的矢距差法。文獻(xiàn)［5］通過改變矢距差法測弦長度發(fā)現(xiàn)50，80 m 的弦測可以更好地控制軌道的平順性。

我國對靜態(tài)長弦測量研究較少。由于我國高速鐵路主要是引進(jìn)德國技術(shù)，在無砟軌道測量控制、軌道檢測和驗收等方面，充分借鑒了德國技術(shù)［6］。例如，我國高速鐵路采用德國無砟軌道幾何尺寸靜態(tài)驗收標(biāo)準(zhǔn)中的矢距差法對長波不平順進(jìn)行管理。然而根據(jù)現(xiàn)有的運營情況發(fā)現(xiàn)，由于不熟悉矢距差計算模型，高速鐵路日常檢測中一般采用簡化的矢距差公式評價軌道不平順。隨著我國高速鐵路運營年限增加，加上受外界環(huán)境因素影響，部分高速鐵路軌道局部基礎(chǔ)變形呈現(xiàn)增大趨勢，矢距差法和簡化矢距差法對長波不平順評判結(jié)果也呈現(xiàn)出越來越明顯的差異。因此，對矢距差法計算模型、特性及其在高速鐵路運營期的適用性的研究很有必要。

1 矢距差法原理

我國TG/GW 115—2012《高速鐵路無砟軌道線路維修規(guī)則》（試行）采用矢距差法確定無砟軌道幾何尺寸靜態(tài)驗收標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定弦長30 m（48a）時，相距5 m（8a）的任意兩測點實際矢度差與設(shè)計矢度差的偏差不超過2 mm；弦長300 m（480a）時，相距150 m（240a）的任意兩測點實際矢度差與設(shè)計矢度差的偏差不超過10 mm［7］。矢距差法反映的是一定弦長范圍內(nèi)的相對點位關(guān)系，首先計算每個檢測點的設(shè)計矢距和實測矢距，然后通過矢距差計算軌道不平順。本文以300 m（480a）弦相隔240a的校核值為例介紹具體測量處理方法，測弦及測點布置見圖1。

取長480a的弦線，橫跨480 個扣件間距，共有481個檢測點，分別編號P0，P1，…，P480。P0和P240構(gòu)成第1組評價點，P1和P241構(gòu)成第2組評價點，…，P239和P479構(gòu)成第240 組評價點。本區(qū)段評價完成，下一評價區(qū)段從P240開始，到P720結(jié)束，以此類推［8］。

圖1 矢距差法測弦及測點布置示意

矢距差計算公式為

式中：Δhi為點Pi的矢距差；δi實測為點Pi與Pi+240的 480a弦實測矢距之差；δi設(shè)計為點Pi與Pi+240的 480a弦設(shè)計矢距之差。

其中

式中：Vi實測，Vi+240實測分別為點Pi，Pi+240的 480a弦實測矢距；Vi設(shè)計，Vi+240設(shè)計分別為點Pi，Pi+240的480a弦設(shè)計矢距。

將式（2）、式（3）代入式（1），以點P25為例，計算其480a弦不平順檢測值，即點P25的矢距差Δh25為

2 矢距差法數(shù)學(xué)模型及推導(dǎo)

矢距差評價方法涉及軌道內(nèi)部幾何參數(shù)［9］，其計算出的矢距垂直于檢測弦，與軌道精調(diào)時沿線路橫向和垂向調(diào)整不一致，容易引起混淆［10］。因此目前現(xiàn)場多通過測量軌道高程偏差、中線偏差等外部幾何參數(shù)對軌道進(jìn)行評價，且為便于實施計算，將矢距差法進(jìn)行簡化，稱簡化矢距差法。

一豎曲線處設(shè)計線形和沉降后實測線形如圖2所示。結(jié)合現(xiàn)場情況，考慮設(shè)計矢度差，以點Pn為例，采用軌道高程測量數(shù)據(jù)進(jìn)行簡化計算。圖2中，Hn，Hn+240分別為點Pn，Pn+240的實測高程分別為點Pn，Pn+240的設(shè)計高程。

圖2 考慮設(shè)計線形矢度差的矢距差法示意

首先，對矢距差計算進(jìn)行初步簡化。由圖2可知，∠DED'=α，α為實際線路中縱斷面坡度，有DE=D'E·cosα。根據(jù) TB 10621—2014《高速鐵路設(shè)計規(guī)范》［11］規(guī)定，線路縱斷面最大坡度不超過30‰，此時DE≈D'E。

分別計算δn實測和δn設(shè)計，計算式為

式（5）、式（6）代入式（1）并整理，得

式（7）中，等式右邊第 1 項為Hn+240點高程變化量，第2項為Hn點高程變化量，第3項為測弦兩端點高程變化量之差。當(dāng)測弦兩端點軌道高程變化量之差相等，即軌道結(jié)構(gòu)均勻變形時，第3項等于0，矢距差法可以進(jìn)行簡化。式（7）即為軌道結(jié)構(gòu)不均勻變形時的矢距差法公式。

當(dāng)軌道結(jié)構(gòu)均勻變形時，式（7）簡化為

此時可以直接用間隔150 m（240a）的兩點高程變化量之差來表示矢距差。

3 矢距差法特性分析

3.1 測弦起算點對測量結(jié)果的影響

矢距差法測量過程中，首先需要設(shè)置300 m 長測弦，而在現(xiàn)場實際測量中，由于檢測人員變動等因素導(dǎo)致測弦起算點并不能嚴(yán)格一致，因此需研究不同測弦起算點位置對測量結(jié)果的影響。

分別以P0，P1000為起算點進(jìn)行測量，分別用矢距差法和簡化矢距差法進(jìn)行計算，計算結(jié)果見圖3。其中，起點P0位置為里程5.500 km處，起點P1000位置為里程6.125 km處。

由圖3（a）可知，用矢距差法計算時，不同起算點得到的不平順波形大致相同，但在同一里程點幅值并不相同。對全線數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，2 種起算點得到的幅值最大相差約50 mm，說明測弦起算點位置對矢距差法有一定的影響，測量結(jié)果隨測弦起算點的變化而變化。因此，現(xiàn)場測量中測弦起算點不同的兩次測量數(shù)據(jù)不能進(jìn)行有效對比。

由圖3（b）可知，用簡化矢距差法計算時，不同起算點得到的不平順波形從位置P1000開始完全重合，結(jié)合式（5），說明簡化矢距差計算兩測點的高程差，與測量起算點無關(guān)。

圖3 不同起算點計算波形對比

3.2 矢距差法頻域特性

實際軌道幾何不平順為隨機(jī)不平順，包含不同波長成分。矢距差法處理軌道不平順的過程等同于在實際不平順與測量不平順之間建立一個信號處理系統(tǒng)，實際不平順為信號輸入，測量不平順為信號輸出，系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的輸入與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積［12］。

系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸出信號與輸入信號頻域內(nèi)的比值，相當(dāng)于放大倍數(shù)。在數(shù)學(xué)中，兩個函數(shù)卷積的傅里葉變換等價于這兩個函數(shù)傅里葉變換后的乘積。為研究矢距差法檢測不同波長不平順的有效性，要在頻域研究系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

對式（7）進(jìn)行傅里葉變換，得到矢距差法的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)H(ω) 為

式中，ω為空間角頻率，rad/m，ω= 2π/λ，其中λ為軌道不平順波長，m。

對式（8）進(jìn)行傅里葉變換，得到簡化矢距差法的傳遞函數(shù)為

從式（9）、式（10）看出，2 種計算方法得到的傳遞函數(shù)都包含虛部，相頻存在時延；在空間上，表現(xiàn)為難以標(biāo)定不同波長不平順的準(zhǔn)確里程。

對2 種方法傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)進(jìn)行計算，結(jié)果見圖4?？芍?，用矢距差法計算時傳遞函數(shù)受不平順波長和計算點位置的共同影響，幅頻響應(yīng)在0～2.4之間振蕩；用簡化矢距差法計算時傳遞函數(shù)只受不平順波長的影響，與計算點位置無關(guān)，幅頻響應(yīng)在0～2 之間振蕩。

圖4 傳遞函數(shù)幅頻響應(yīng)計算結(jié)果

4 矢距差法在軌道長波不平順檢測中的適用性分析

用矢距差法對某運營高速鐵路進(jìn)行研究。由于地下水的開采，該線在運營多年后出現(xiàn)大范圍沉降及明顯的局部不均勻變形。利用現(xiàn)場CPⅢ檢測得到的軌道高程線形情況見圖5。軌道高程最大變形位于K18左右，變形最大值約為900 mm。

圖5 全線軌道控制網(wǎng)沉降曲線

4.1 矢距差法軌道不平順與車體響應(yīng)匹配性

一般情況下，高低不平順與車體垂向加速度相關(guān)性較好，軌向不平順與車體橫向加速度相關(guān)性較好，因此常用車體加速度幅值評判軌道的平順性。對于動檢車發(fā)現(xiàn)問題的區(qū)段，需要進(jìn)行現(xiàn)場靜態(tài)復(fù)核。將動檢車檢測得到的車體加速度與靜態(tài)測量矢距差法得到的軌道不平順進(jìn)行對比，分析矢距差法在軌道不平順靜態(tài)測量中的適用性。

該段線路動檢車車體垂向加速度波形圖與2種矢距差輸出的靜態(tài)軌道不平順見圖6?？芍喕妇嗖罘ǖ玫降牟黄巾樂荡笥谑妇嗖罘?，這與簡化矢距差法在計算中忽略測弦兩端不均勻變形有關(guān)；圖6（c）中，K45 區(qū)段車體響應(yīng)比 K35 區(qū)段小，而圖6（a），6（b）中，K45區(qū)段2種矢距差得到的不平順幅值都遠(yuǎn)比K35區(qū)段大，這與實際車體響應(yīng)與軌道不平順幅值正相關(guān)不符，匹配性較差。

圖6 2 種矢距差法輸出軌道不平順與車體動力響應(yīng)的匹配性

4.2 2種矢距差法在軌道幾何檢測中的適用性

分別采用2 種矢距差法對該線路進(jìn)行評價，計算軌道靜態(tài)不平順，部分區(qū)段波形及軌道不平順幅值見圖7。

由圖7（a）可知，2 種方法得到的軌道不平順波形近似，但在部分區(qū)段簡化矢距差法幅值明顯大于矢距差法。由圖7（b）可知，矢距差法計算得到最大軌道不平順幅值為100 mm，以10 mm 為不平順管理限值，則超限率為14.32%；簡化矢距差法計算得到最大幅值為169 mm，超限率為34.3%，見表1。簡化矢距差法得到的軌道不平順幅值整體大于矢距差法，且2 種方法得到的軌道不平順結(jié)果都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于管理限值要求。而該線路經(jīng)過多年運營檢驗表明，列車運營狀態(tài)良好，動檢車檢測結(jié)果和車體響應(yīng)并無Ⅱ級超限。表明直接利用矢距差法或簡化矢距差法在目前的驗收管理限值下對運營期高速鐵路長波不平順進(jìn)行評價并不適用。

圖7 2種矢距差法波形及軌道不平順幅值對比

表1 2種矢距差法對線路超限情況統(tǒng)計

5 結(jié)論

本文對從德國引進(jìn)的矢距差法及實際中常采用的簡化矢距差法進(jìn)行了探討，并以實際運營線路為例進(jìn)行對比計算，得出以下結(jié)論：

1）當(dāng)新線或者軌道結(jié)構(gòu)出現(xiàn)均勻變形時可以對矢距差法進(jìn)行簡化。當(dāng)存在較大的局部不均勻變形時，2種方法在評判結(jié)果上相差很大。

2）矢距差法受測弦起算點影響，且傳遞函數(shù)與不平順波長和起算點位置有關(guān)，傳遞函數(shù)在0～2.4之間振蕩；簡化矢距差法與測弦起算點及起算點位置無關(guān)，傳遞函數(shù)只與不平順波長有關(guān)，幅頻響應(yīng)在0～2之間振蕩。因此對于均勻變形的線路或新線驗收時，采用簡化矢距差法可控性優(yōu)于矢距差法。

3）矢距差法和簡化矢距差法得到的傳遞函數(shù)都包含虛部，相頻存在時延。在空間上，表現(xiàn)為難以標(biāo)定不同波長不平順的準(zhǔn)確里程。

4）應(yīng)用于實際運營期線路時，2 種方法得到的軌道不平順波形近似，但是簡化矢距差法不平順幅值偏大，且2 種方法測量得到的軌道不平順皆與列車加速度響應(yīng)相關(guān)性較低?？梢姡谀壳暗尿炇展芾硐拗迪?，直接利用矢距差法或簡化矢距差法對運營期高速鐵路長波不平順進(jìn)行評價并不適用。