一類含分?jǐn)?shù)階微積分時(shí)滯微分方程的解的指數(shù)估計(jì)

(石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分建模已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、力學(xué)、控制等眾多領(lǐng)域[1-2]。由于分?jǐn)?shù)階控制比整數(shù)階控制能取得更好的控制效果，越來(lái)越多地被應(yīng)用于實(shí)際控制中[3]。在控制系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)反饋控制時(shí)，系統(tǒng)中不可避免的存在時(shí)滯[4]，而且時(shí)滯現(xiàn)象的存在會(huì)在一定程度上影響受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于各個(gè)工程領(lǐng)域，因此吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。胡海巖等[5]從動(dòng)力學(xué)的角度對(duì)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述。王在華等[6]還綜述了時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性與分岔方面的研究進(jìn)展。張舒等[7]對(duì)耦合時(shí)滯誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述。

在分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)中，研究分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解或近似解析解具有重要的理論意義。而分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性是研究方程解析解或近似解析解的前提[8]。蔣威[9-10]研究了退化時(shí)滯微分系統(tǒng)的可解性，給出了通解形式，推導(dǎo)并證明了解的指數(shù)估計(jì)。劉可為等和Zhang X[11-12]證明了分?jǐn)?shù)階線性時(shí)滯微分系統(tǒng)的解存在且唯一，并推導(dǎo)了在有限區(qū)間內(nèi)解的指數(shù)估計(jì)，給出了此類微分方程的通解形式。本文對(duì)基于電流環(huán)分?jǐn)?shù)階PID控制的永磁同步電機(jī)進(jìn)行分析和建模，得到一類含分?jǐn)?shù)階微積分的時(shí)滯微分方程。對(duì)此類時(shí)滯微分方程的解的存在唯一性進(jìn)行證明，并利用廣義的Gronwall不等式[13]，給出了解的指數(shù)估計(jì)的形式。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1：設(shè)f(t)∈C[a,∞)，實(shí)數(shù)β>0，當(dāng)t>a時(shí)，可積函數(shù)f(t)的β階Riemann-Liouville積分表示為

(1)

定義2：設(shè)0≤n-1<α

(2)

引理1：設(shè)x(t)∈Rn是下列方程的解

(3)

式中，A，B∈Rn×n,x(t),f(t),φ∈Rn。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]可知方程存在唯一解

(4)

引理2(Gronwall不等式)：u(t),α(t)是在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)實(shí)值函數(shù)，β(t)≥0而且在[a,b]上是可積函數(shù)，若

(5)

則有

(6)

如果α(t)還是非減函數(shù)，則有

(7)

引理3：函數(shù)f(t)=at1-α+bt1+δ-a(1-τ)1-α-b(t-τ)1+δ-aτ1-α+bτ1+δ在區(qū)間[τ,+∞]上存在最小值f(τ)=0。其中a>0，b>0,0<α<1，0<δ<1 。

證明

f′(t)=a(1-α)[t-α-(t-τ)-α]+b(1+δ)[tδ-(t-τ)δ]

(8)

(1)0<τ<1，當(dāng)t∈[τ,1]時(shí)，f′(t)<0，函數(shù)遞減；當(dāng)t∈[1,+∞)時(shí)，f′(t)>0，函數(shù)遞增。在區(qū)間[τ,+∞)上存在極小值f(τ)=0。

(2)1<τ，當(dāng)t∈[τ,+∞]時(shí)，f′(t)>0，函數(shù)遞增。在區(qū)間[τ,+∞)上存在最小值f(τ)=0。證畢。

2 永磁同步電機(jī)時(shí)滯分?jǐn)?shù)階PID控制建模

2.1 永磁同步電機(jī)矢量模型

永磁同步電機(jī)矢量控制的核心思想是將電機(jī)的三相電流、電壓、磁鏈經(jīng)過Clake坐標(biāo)變換和Park坐標(biāo)變換變到以轉(zhuǎn)子磁鏈定向的兩相參考dp坐標(biāo)系。其中定子電流經(jīng)變換被分解為相互正交的2個(gè)分量：一個(gè)分量與磁鏈方向相同，代表了定子電流的勵(lì)磁分量；另一個(gè)分量與磁鏈方向正交，代表了定子電流的轉(zhuǎn)矩分量。矢量控制就是維持定子電流的勵(lì)磁分量不變，控制其轉(zhuǎn)矩分量，這種控制方式類似于直流電機(jī)控制中維持勵(lì)磁電流不變，通過控制電樞電流來(lái)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)矩。矢量控制方法能使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)特性。

有關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)有關(guān)參數(shù)

永磁同步電機(jī)的矢量控制模型為

(9)

式中，Rs、RΩ、Ld、Lq、ψf、J、Pn分別為定子電阻、電機(jī)阻尼系數(shù)、直軸電感、交軸電感、定子磁鏈、電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、極對(duì)數(shù)。

2.2 時(shí)滯分?jǐn)?shù)階PID控制

永磁同步電機(jī)電流環(huán)控制原理如圖1所示，控制對(duì)象包括PWM(脈沖寬度調(diào)制)逆變器(包括PWM信號(hào)形成、延時(shí)、隔離驅(qū)動(dòng)及逆變器)、永磁同步電機(jī)的電樞回路、電流采樣和濾波電路。

圖1 電流環(huán)控制原理圖

永磁同步電機(jī)的數(shù)字伺服控制系統(tǒng)存在固有延時(shí)，系統(tǒng)的固有延時(shí)包括PWM逆變器延時(shí)(Tpwm)，電流采樣延時(shí)，濾波電路延時(shí)等。其中起主導(dǎo)作用的延時(shí)包括采樣延時(shí)和逆變器輸出延時(shí)，這2種延時(shí)決定于數(shù)字伺服系統(tǒng)所應(yīng)用的采樣方式及PWM占空比的更新方式。

在伺服控制系統(tǒng)應(yīng)用中，有2種電流采樣時(shí)序方式：?jiǎn)未尾蓸訂未胃抡伎毡确绞?SSSU)以及雙次采樣雙次更新占空比方式(DSDU)。其中SSSU方式根據(jù)采樣時(shí)刻的不同又有2種采樣模式，載波周期中點(diǎn)時(shí)刻采樣與載波周期起始時(shí)刻采樣，分別記為SSSUM1模式和SSSUM2模式。

根據(jù)平均值等效原則，永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的3種固有延時(shí)分別為：SSSUM1模式的延時(shí)τ1=2Tpwm，SSSUM2模式的延時(shí)τ2=1.5Tpwm，DSDU方式的延時(shí)τ3=0.75Tpwm。

(10)

整理得電流環(huán)分?jǐn)?shù)階PID控制的數(shù)學(xué)模型為

(11)

3 主要結(jié)果

3.1 解的存在唯一性

證明:由分步法，當(dāng)t∈[0,τ]時(shí)

(12)

由引理1可知時(shí)滯微分方程在t∈[0,τ]上存在唯一解，表示為

(13)

當(dāng)t∈[τ,2τ]時(shí)，此方程也存在唯一解，表示為

(14)

以此類推，假設(shè)方程在區(qū)間[(k-1)τ,kτ],k∈N+上的解為xk(t)，則根據(jù)引理1,可得x(t)在區(qū)間[kτ,(k+1)τ]上有唯一解，為

(15)

即時(shí)滯微分方程(12)在區(qū)間[0,+∞]上的解存在且唯一，證畢。

3.2 解的指數(shù)估計(jì)

在方程的解存在且唯一的情況下，推導(dǎo)此類含分?jǐn)?shù)階微積分的時(shí)滯微分方程的解的指數(shù)估計(jì)。

定理2:設(shè)x(t)是時(shí)滯微分方程的解，且n維列向量φ(t)∈C([0,+∞))，0<α<1，0<δ<1 。則方程的解存在且唯一，并且解在[0,kτ]上有以下形式的估計(jì)

(16)

式中，矩陣A，B，C，E的范數(shù)取其行列式的最大特征值，矩陣的范數(shù)分別記為σa、σb、σc、σe；σmax=σc+σb,‖x(t)‖是向量x(t) 的矩陣范數(shù)，‖φ‖=sup|φ(t)|，σf是向量F的最大范數(shù)。

證明：對(duì)式(12)兩邊進(jìn)行積分，當(dāng)0≤t≤kτ時(shí)，有

(17)

則有

(18)

(19)

(20)

由引理3可知

(21)

故當(dāng)0≤t0≤t≤t0+τ時(shí)，則有

(22)

式(21)證明了式(16)在0≤t≤τ時(shí)是成立的。假設(shè)當(dāng)t∈[0,kτ]時(shí)，式(22)成立。在式(22)中令t0=t-τ，可得

(23)

當(dāng)t∈[r,(k+1)τ]時(shí)，t-τ∈[0,kτ]。根據(jù)引理2，將式(16)代入式(23)中，有

(24)

證畢。

4 結(jié)論