PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制在機(jī)器人位置伺服控制中的應(yīng)用

張 營(yíng)，鞏永光，田 濤

（濟(jì)寧學(xué)院物理與信息工程系，山東 曲阜 273155）

1 引言

由于交流永磁同步電機(jī)勵(lì)磁采用永磁體，從而有效地減小了電機(jī)的體積并降低了質(zhì)量，因而交流永磁同步電機(jī)在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域得到較廣泛的應(yīng)用，而工業(yè)機(jī)器人姿態(tài)變換時(shí)的位置要求對(duì)交流永磁同步電機(jī)的位置控制提出了更高的要求[1-2]。

工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)的機(jī)器人用的交流永磁同步電機(jī)具有高效率、低損耗的特點(diǎn)，由于電機(jī)模型的非線性，傳統(tǒng)控制方式具有參數(shù)整定困難，控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和精度不高的缺點(diǎn)。為了克服傳統(tǒng)控制方式的缺點(diǎn)，眾多線性以及非線性算法在交流永磁同步電機(jī)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用[3-5]。其中，Ziegler-Nichols控制由于實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，無需對(duì)特定對(duì)象建模，可實(shí)現(xiàn)對(duì)PI參數(shù)在線整定，因而在控制領(lǐng)域的到廣泛應(yīng)用[6-7]。

預(yù)測(cè)算法具有多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正控制率，其具有操作控制效果好、魯棒性強(qiáng)、對(duì)模型精度要求不高的優(yōu)點(diǎn)[8-10]。將PI Ziegler-Nichols控制與預(yù)測(cè)控制算法相結(jié)合，設(shè)計(jì)PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)并行位置控制器。當(dāng)誤差增大時(shí)，預(yù)測(cè)控制算法能夠提高收斂速度，提高了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。當(dāng)誤差變小時(shí)，PI Ziegler-Nichols算法自調(diào)整能力使電機(jī)運(yùn)行能夠達(dá)到較理想的狀態(tài)。

2 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)永磁同步電機(jī)磁路不飽和且忽略損耗，則永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可寫為：

式中：ud，uq，iq，id—d-q 軸的電壓及電流；L、R、ωr—電感、內(nèi)阻及角速度；Ψf、pn—磁鏈與極對(duì)數(shù)。

3 PI Ziegler-Nichols智能預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

3.1 PI Ziegler-Nichols控制器

PIZiegler-Nichols控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，如圖1所示。

圖1 PI Ziegler-Nichols結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure Diagram of PI Ziegler-Nichols

圖中：α—調(diào)節(jié)因子；ΔeN—經(jīng)歸一化的偏差變化率；eN—經(jīng)歸一化的偏差；k—反饋系數(shù)。ΔeN和eN可表示為：

式中：ωref—設(shè)定值；ωf—反饋值；ωref_max—最大設(shè)定值；e（k）—偏差。

由式（5）～式（7）可推出調(diào)節(jié)因子α為：

傳統(tǒng)PI控制算法為：

式中：i（k）、Kp、Ki—輸出量，比例系數(shù)及積分系數(shù)。將式（8）代入如下調(diào)整函數(shù)可得：

式中：k1、Ktp—比例調(diào)整率及校正后的比例系數(shù)—積分調(diào)整率及校正后積分系數(shù)。

根據(jù)式（10）與式（11）可得到 α 取值范圍為［-1，1］（閉環(huán)系統(tǒng)），因而PI Ziegler-Nichols控制式可寫為：

2.14 標(biāo)題層次 根據(jù)GB1.1-87《標(biāo)準(zhǔn)化工作導(dǎo)則 標(biāo)準(zhǔn)編寫的基本規(guī)定》，標(biāo)題層次采用阿拉伯?dāng)?shù)字連續(xù)編碼，兩個(gè)數(shù)字符號(hào)之間加下圓點(diǎn)相隔，最末數(shù)字后面不加標(biāo)點(diǎn)。標(biāo)題層次劃分一般不超過4節(jié)，4節(jié)不夠時(shí)，可將層次再細(xì)劃分。第一級(jí)標(biāo)題為 1，第二級(jí)標(biāo)題為 1.1，第三級(jí)標(biāo)題為 1.1.1，第四級(jí)標(biāo)題為1.1.1.1。各級(jí)標(biāo)題序號(hào)均頂格書寫，序號(hào)后空一字空再寫標(biāo)題或具體內(nèi)容。示例:

式中：i*（k）—控制器輸出。

3.2 預(yù)測(cè)控制器

預(yù)測(cè)控制是基于模型的控制算法，預(yù)測(cè)模型具有表達(dá)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的功能，將來針對(duì)不同的控制策略可計(jì)算出不同的輸出預(yù)測(cè)軌跡，從而選擇最優(yōu)控制策略。使系統(tǒng)具有一定的性能優(yōu)化。

滾動(dòng)優(yōu)化方法僅在每次遞增時(shí)控制系統(tǒng)，因此開環(huán)預(yù)測(cè)模型為：

式中：Y0（K+1）—當(dāng)沒有Δu（k）時(shí)未來p步的預(yù)測(cè)；A—控制對(duì)象的動(dòng)態(tài)矩陣。

開環(huán)預(yù)測(cè)和閉環(huán)反饋校正的預(yù)測(cè)：

式中：hi—預(yù)測(cè)誤差修正系數(shù)?？刂扑惴ň褪且_定一組M個(gè)控制增量，即：

滾動(dòng)優(yōu)化函數(shù)取為：

趨于最小。其中，Q—預(yù)測(cè)輸出誤差加權(quán)陣；R—空指針增加權(quán)陣；Q≥0，R≥0。在實(shí)施過程中，僅將 Δu（k）施加于系統(tǒng)，令：

式中：A—P*M模型矩陣；M—控制時(shí)長(zhǎng)度；P—預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)最大值。dT點(diǎn)積計(jì)算公式為：

由以上的分析可推出PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制器，如圖2所示。

圖2 PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure Diagram of PI Ziegler-Nichols Predictive Controller

4 仿真分析

對(duì)PID控制器和PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)并行控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。主要參數(shù)如下：J=2.77×10-3kg·m2；摩擦力矩為 4.79N·m；動(dòng)態(tài)力矩為 12N·m，Kt=2.05 N·m/A；B=1.43×10-4N·m·s；Ra=2.6Ω；Ld=Lq=6.65×10-3H；Ie=7.3A；Imax=12.8A；Pn=4；預(yù)測(cè)控制器參數(shù)取：N=100，M=4，P=100，Q=I（I為單位陣），R=0.2I，h=0.9；PI Ziegler-Nichols控制器參數(shù)為：Kp=12，Ki=1.3，k1=1.6，k2=3.4，α=0.7。偏差設(shè)定值為0.9。

4.1 施加負(fù)載擾動(dòng)

假定在負(fù)載施加常量階躍干擾，該干擾常量為15N·m，施加時(shí)間第2s，則擾動(dòng)曲線，如圖3、圖4所示。由擾動(dòng)響應(yīng)變化曲線可知，PID控制器當(dāng)2s處負(fù)載發(fā)生干擾時(shí)，其曲線響應(yīng)有較大偏離，需較長(zhǎng)時(shí)間重新達(dá)到穩(wěn)定。與之相比設(shè)計(jì)的PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制器，系統(tǒng)抗干擾能力強(qiáng)。

圖3 PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制響應(yīng)曲線Fig.3 Response Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control

圖4 傳統(tǒng)PID控制響應(yīng)曲線Fig.4 Response Curve of Traditional PID Control

4.2 電機(jī)參量變化

假定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變大6倍，其控制響應(yīng)曲線，如圖5、圖6所示。對(duì)比圖中曲線的變化波形可知，PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制器響應(yīng)曲線更為平穩(wěn)，變化較小。

圖5 電機(jī)參數(shù)變化時(shí)PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制響應(yīng)曲線Fig.5 Response Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control When Motor Parameters Change

圖6 電機(jī)參數(shù)變化時(shí)傳統(tǒng)PID控制響應(yīng)曲線Fig.6 Response Curve of Traditional PID Control When Motor Parameters Change

4.3 正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)

設(shè)定正弦跟蹤函數(shù)為：15sin（0.8766t），則正弦跟蹤函數(shù)的誤差曲線，如圖7、圖8所示。由圖中誤差曲線波形可知，PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制器跟蹤誤差小，跟蹤性能更好。

圖7 PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制誤差曲線Fig.7 Error Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control

圖8 傳統(tǒng)PID控制時(shí)的誤差曲線Fig.8 Error Curve of Traditional PID Control

5 結(jié)論

針對(duì)機(jī)器人姿態(tài)變換時(shí)永磁電機(jī)伺服系統(tǒng)的負(fù)載變化等特點(diǎn)，提出了PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制策略。通過PI Ziegler-Nichols的自調(diào)整進(jìn)行控制參數(shù)調(diào)節(jié)，適應(yīng)系統(tǒng)位置變化。針對(duì)誤差值較大的現(xiàn)象，設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制算法可使系統(tǒng)誤差以較快速度收斂，從而實(shí)現(xiàn)PI Ziegler-Nichols的自調(diào)整及調(diào)節(jié)。仿真分析證明，當(dāng)系統(tǒng)參量產(chǎn)生變化時(shí)，PI Ziegler-Nichols預(yù)測(cè)控制算法可進(jìn)行適應(yīng)調(diào)整，在機(jī)器人伺服系統(tǒng)中應(yīng)用時(shí)，可實(shí)現(xiàn)較好的位置控制精度和較快的響應(yīng)速度。