某氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)仿真與優(yōu)化

甘國棟，孟 婥，李 培，周 健

（東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

1 引言

氣動連桿機(jī)構(gòu)是以氣缸為動力源，驅(qū)動連桿實(shí)現(xiàn)一定規(guī)律的運(yùn)動，因其有結(jié)構(gòu)簡單、容易制造、機(jī)械傳動噪音小、易于實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程自動控制等優(yōu)點(diǎn)，在自動化或半自動化工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]，但其顯著缺點(diǎn)是設(shè)計過程較復(fù)雜。通常的做法是在充分分析其運(yùn)動規(guī)律的基礎(chǔ)上，采用優(yōu)化設(shè)計方法，通過調(diào)整設(shè)計參數(shù)，使其運(yùn)動特性能滿足工程要求。由于氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特性難以憑直觀感受，且各機(jī)構(gòu)參數(shù)對運(yùn)動特性的影響也難以憑經(jīng)驗(yàn)判斷，故有必要對其進(jìn)行分析、設(shè)計和優(yōu)化。常規(guī)連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計與分析方法主要是圖解法與解析法，設(shè)計精度與設(shè)計效率都比較低，且在氣動連桿機(jī)構(gòu)中因有變桿長連桿的存在，給這兩種分析方法增加了困難。隨著計算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展與MATLAB等軟件的出現(xiàn)，給氣動連桿機(jī)構(gòu)的分析與優(yōu)化設(shè)計提供了有效手段[3-4]。以某氣動連桿升降機(jī)構(gòu)為研究對象，通過復(fù)數(shù)矢量法建立其數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析，得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動曲線，再在此基礎(chǔ)上運(yùn)用速度瞬心法得到以速度平穩(wěn)性為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型，對各連桿長的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

2 基于simulink的氣動連桿升降機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析與仿真

某氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖，如圖1所示。桿OB為原動件，即氣缸，桿長可在一定行程內(nèi)伸縮，當(dāng)氣缸采用頭部軸銷式或中間軸銷式安裝時，氣缸長表示安裝鉸接位置與活塞桿端部之間的距離。桿AB、桿BC、桿AC構(gòu)成三副構(gòu)件△ABC，搖桿CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動，升降執(zhí)行構(gòu)件桿AE可在滑槽內(nèi)上下移動。點(diǎn)O與點(diǎn)D位于同一平面，點(diǎn)E、點(diǎn)A、點(diǎn)D三點(diǎn)共線。當(dāng)氣缸活塞桿從圖示位置開始伸出，即桿OB伸長時，推動△ABC按順時針方向轉(zhuǎn)動，同時桿CD繞點(diǎn)D按逆時針方向轉(zhuǎn)動，從而實(shí)現(xiàn)桿AE沿豎直方向上升。反之，當(dāng)桿OB縮短時，可實(shí)現(xiàn)桿AE沿豎直方向下降[5]。

圖1 氣動連桿升降機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

2.1 位置分析

在圖1中以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，將各構(gòu)件視為桿矢量，方向如圖 1 所示。設(shè) l1、l2、l3、l4、l5分別為桿 OB、BA、AC、BC、DC的長度，s為點(diǎn)A與點(diǎn)O之間的垂直距離，也是該氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的初始高度，b 為點(diǎn) A 與點(diǎn) O 之間的偏距，θ1、θ2、θ3、θ4、θ5分別為桿 OB、BA、AC、BC、DC 的矢量方向與 x 軸正方向之間的夾角（以逆時針方向?yàn)檎?。根?jù)封閉矢量多邊形OBAF、DCAFO、OBCD分別可得三個矢量方程：

將方程式（1）～式（3）改寫為復(fù)數(shù)矢量形式：

應(yīng)用歐拉公式 eiθ=cosθ+isinθ將式（4）～式（6）的實(shí)部和虛部分離可得：

式（7）～式（12）即為該機(jī)構(gòu)的位置方程。顯然，當(dāng)各固定連桿長l2、l3、l4、l5和偏距b給定時，由上述方程可以確定各連桿的位置參數(shù) θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、s是關(guān)于變化的桿長 l1的函數(shù)。

2.2 速度分析

將式（7）～式（12）左右兩邊同時對時間求導(dǎo)，并整理改寫為矩陣形式：

式中：ω1、ω2、ω3、ω4、ω5—構(gòu)件 1、2、3、4、5 的角速度；

vs—升降部件AE的線速度；

vl—?dú)飧谆钊麠U速度，即連桿長l1的變化速度。

2.3 加速度分析

同理，將式（7）～式（12）左右兩邊同時對時間求二階導(dǎo)數(shù)，并整理改寫為矩陣形式：

式中：α1、α2、α3、α4、α5—構(gòu)件 1、2、3、4、5 的角加速度；

as—升降部件AE的線加速度；

al—?dú)飧谆钊麠U加速度。

2.4 基于simulink的運(yùn)動學(xué)仿真

在matlab-simulink中建立該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)仿真模型，如圖2所示。圖中各積分模塊反映了各構(gòu)件加速度、速度、位移之間的關(guān)系，下標(biāo)與該積分模塊的輸出參數(shù)保持一致，L1 dot表示氣缸1活塞桿的線速度，L1表示氣缸的長度，omega1表示氣缸1的角速度，theta1表示氣缸的角位移，其他含義依此類推。假設(shè)氣缸速度保持不變，故Constant模塊的值設(shè)定為零，表示氣缸活塞的加速度為0。MATLAB function模塊的內(nèi)嵌程序根據(jù)矩陣方程式（14）編寫。仿真結(jié)果保存到simout模塊。在仿真開始前，設(shè)定各積分模塊的初值，當(dāng)各固定連桿長和氣缸活塞桿速度已知，且給定氣缸某一任意初始長度時，各位移積分模塊的初值可根據(jù)位置方程式（7）～式（12）在MATLAB中用牛頓辛普森法編程求出，再將各位置初值代入速度矩陣方程式（13）可求得各個速度積分模塊初值[6]。

圖2 氣動連桿升降機(jī)構(gòu)仿真模型Fig.2 Simulation Model of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

2.5 仿真結(jié)果

假設(shè)氣缸的長度l1=220mm，氣缸活塞桿的恒定伸出速度vl=100mm/s，各固定連桿長分別為l2=300mm、l3=180mm、l4=240mm、l5=330mm，偏距b=480mm。將這些參數(shù)代入方程式（7）～式（13）中計算得各構(gòu)件的初值，并依此進(jìn)行仿真，得到升降部件在上升過程中的運(yùn)動曲線，如圖3～圖5所示。由圖可知，該氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的升降高度范圍從200mm到510mm，在上升過程中，升降部件的速度逐漸減小至零，且在上升初始階段（0～0.1）s內(nèi)，升降部件的加速度的絕對值較大，速度下降趨勢尤為明顯。

圖3 升降部件上升過程位移曲線Fig.3 Displacement Diagram of Ascending Process of Lifting Part

圖4 升降部件上升過程速度曲線Fig.4 Velocity Diagram of Ascending Process of Lifting Part

圖5 升降部件上升過程加速度曲線Fig.5 Acceleration Diagram of Ascending Process of Lifting Part

3 氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的優(yōu)化

對于氣動連桿升降機(jī)構(gòu)，除滿足升降行程的設(shè)計要求外，還應(yīng)盡量使其具有較好的運(yùn)動特性。由運(yùn)動學(xué)分析與仿真可知，該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律與各構(gòu)件的尺寸參數(shù)有關(guān)。因此，在給定升降行程設(shè)計要求的前提下，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，可以得到使升降過程具有更好運(yùn)動特性的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3.1 設(shè)計變量

決定機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律的參數(shù)有 l1、l2、l3、l4、l5、b 以及氣缸桿長的變化速度vl，由于l1與vl由選取的氣缸型號所決定，故取設(shè)計變量為：

3.2 目標(biāo)函數(shù)

對于升降機(jī)構(gòu)的設(shè)計，實(shí)現(xiàn)升降過程中速度的均勻性與平穩(wěn)性是重要的設(shè)計要求。要使升降過程有較好的速度均勻性和平穩(wěn)性，應(yīng)盡量使升降部件的速度波動達(dá)到最小。因此將升降部件的速度變化作為優(yōu)化設(shè)計的評價指標(biāo)。由于位置分析方程式（7）～式（12）與速度分析矩陣方程式（13）均為含三角函數(shù)的非線性超越方程組，由此運(yùn)用解析法推導(dǎo)出升降速度vs關(guān)于時間t的顯函數(shù)表達(dá)式極其困難。因此，采用速度瞬心法推導(dǎo)升降速度vs關(guān)于高度s的顯函數(shù)表達(dá)式[7]。

在圖1的機(jī)構(gòu)簡圖中作若干輔助線可得氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的分析簡圖，如圖6所示。過A點(diǎn)作AE的垂線交DC的延長線與點(diǎn)G，則由機(jī)械原理的相關(guān)知識可知，點(diǎn)G即為三副構(gòu)件△ABC的絕對瞬心。

圖6 氣動連桿升降機(jī)構(gòu)分析簡圖Fig.6 Analysis Diagram of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

因?yàn)辄c(diǎn)A的絕對速度即為升降速度vs，故有：

式中：d1、d2—點(diǎn)A、點(diǎn)B與點(diǎn)G之間的距離。

設(shè)DA與DC之間的夾角為α，在△ACD中，由余弦定理得：

設(shè)AG與AC之間的夾角為β，在ΔACG中，由余弦定理得：

令 δ=γ+β（可以證明，當(dāng) θ3≥π 時，取 δ=γ-β），則在△ABG中，由余弦定理得：設(shè)AB與AC之間的夾角為γ，在ΔABC中，由余弦定理得：

設(shè)氣缸與水平軸負(fù)方向夾角為φ，則由圖6得：

設(shè)點(diǎn)B的絕對速度vB與氣缸活塞桿速度vl之間的夾角為ε，則：

因點(diǎn)B絕對速度vB的方向與BG垂直，由圖6知：

式中：vl—?dú)飧谆钊麠U速度，d1、d2、η 分別由式（18）、式（21）、式（22）求得。

因此，優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：sa、sb—上升過程的初始高度與最大高度；—上升過程的平均速度，因此：

將升降高度離散化，則目標(biāo)函數(shù)為：

3.3 約束條件

（1）為使該機(jī)構(gòu)的升降行程滿足設(shè)計要求，應(yīng)建立相應(yīng)的約束方程。

當(dāng)氣缸桿OB最短，且桿OB與桿AB處于同一直線位置時，升降部件AE處于最低位，其示意如圖7所示。設(shè)AE初始高度為sa，則圖7中△OAD應(yīng)滿足勾股定理。

式中：l1′—?dú)飧讞U的初始長度。

圖7中△ADC應(yīng)滿足余弦定理：

圖7 升降部件最低位置示意圖Fig.7 Schematic Diagram of Minimum Position of Lifting Part

當(dāng)氣缸桿OB最長，且桿CD、桿AC與桿AE處于同一直線位置時，升降部件AE處于最高位，其示意，如圖8所示。設(shè)AE最大高度為sb，則線段ACD的長度應(yīng)滿足：

圖8 升降部件最高位置示意圖Fig.8 Schematic Diagram of Highest Position of Lifting Part

（2）為使桿AB、桿BC、桿AC構(gòu)成三副構(gòu)件△ABC，應(yīng)滿足三角形邊長條件：

為改善氣缸受力條件，應(yīng)使桿AB為△ABC的最長桿，即：

為使機(jī)構(gòu)能順利到達(dá)桿AC水平這一特殊位置，保證機(jī)構(gòu)正常運(yùn)行，應(yīng)使桿AC的長度小于桿CD的長度，即：

（3）各連桿的長度應(yīng)為正數(shù)，且應(yīng)將結(jié)構(gòu)限制在一定范圍內(nèi)即：

3.4 優(yōu)化結(jié)果與分析

該氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的優(yōu)化模型既包含等式約束又包含不等式約束，故采用懲罰函數(shù)法求解[8-9]。設(shè)升降行程的設(shè)計要求為sa=200mm，sb=510mm，所選氣缸的規(guī)格參數(shù)與前文進(jìn)行仿真的氣缸相同，即長度l1=220mm，活塞桿的恒定伸出速度vl=100mm/s，并以前文進(jìn)行仿真的各連桿長作為優(yōu)化初值，即l2=300mm、l3=180mm、l4=240mm、l5=330mm，偏距 b=480mm。在 MATLAB 中優(yōu)化求解[10]，所得結(jié)果與優(yōu)化初值對比，如表1所示。優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值min （fx）=337.5（mm2/s2）。

表1 桿長優(yōu)化結(jié)果Tab.1 The Optimization Results of Rod Length

將優(yōu)化后各設(shè)計變量的值作為該氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，按前文仿真的步驟重新進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真，并將優(yōu)化前后升降部件在上升過程中的速度變化曲線進(jìn)行比較，所得結(jié)果，如圖9所示。

圖9 升降部件速度對比圖Fig.9 Velocity Contrast Diagram of Lifting Part

由圖9可知：（1）優(yōu)化后升降部件的初始上升速度降低了約50%，且在（0～0.2）s速度快速下降時間段，優(yōu)化后的曲線更平緩，速度下降更緩慢，因此降低了速度波動，減小了初始階段慣性力造成的沖擊；在（0～0.2）s時間段外，優(yōu)化后的曲線約有80%的時間段速度保持在50mm/s左右，因此優(yōu)化后升降部件大部分時間內(nèi)的上升運(yùn)動可以近似為勻速上升，上升過程平穩(wěn)。（2）在氣缸速度不變的情況下，優(yōu)化后升降部件的全部上升時間增加了約30%，效率有所降低。所以可以認(rèn)為，在對升降效率沒有嚴(yán)格要求的場合，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)具有更好的運(yùn)動特性。

3.5 氣缸參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響

為分析不同規(guī)格氣缸對優(yōu)化結(jié)果的影響，選取若干組含不同速度或不同初始長度的氣缸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計算，各設(shè)計變量的優(yōu)化初值與表1相同，優(yōu)化結(jié)果，如表2所示。

表2 不同氣缸參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization Results of Different Cylinder Parameters

由表2可知：（1）當(dāng)氣缸初始長度相同而速度不同時，雖然優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值有所不同，但各設(shè)計變量的優(yōu)化值完全一致，這說明氣缸速度對優(yōu)化結(jié)果沒有影響，因此在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)升降時間要求，調(diào)整氣缸速度；（2）當(dāng)氣缸速度相同而初始長度不同時，隨著氣缸初始長度l1′增大，偏距b隨之增大，桿AB長度l2變化規(guī)律不明顯，但與桿BC的長度l4保持一致，且始終大于桿AC的長度l3，即三副構(gòu)件△ABC始終是以l3為最短邊長，l2與l4為兩相等邊長的等腰三角形；（3）無論汽缸參數(shù)如何變化，桿AC與桿CD的長度l3與l5近似為固定值，l3為163mm，l5為347mm，這說明氣缸參數(shù)對控制該升降機(jī)構(gòu)最大高度的兩設(shè)計變量的優(yōu)化影響不大。

4 結(jié)論

（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)矢量方程法對氣動連桿升降機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)分析，得到了位置、速度、加速度的數(shù)學(xué)模型，據(jù)此在matlabsimulink中建立運(yùn)動學(xué)仿真模型，通過仿真獲得了氣動連桿升降機(jī)構(gòu)的運(yùn)動曲線。

（2）基于速度瞬心法推導(dǎo)了升降部件速度與升降高度的關(guān)系式，建立了以升降過程速度平穩(wěn)性為評價指標(biāo)的優(yōu)化模型，對該氣動連桿升降機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果表明，升降過程的運(yùn)動特性得到了明顯改善。

（3）分析了氣缸參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響，結(jié)果表明，氣缸速度對優(yōu)化結(jié)果沒有影響，氣缸初始長度對桿長l2、桿長l4及偏距b影響顯著，對桿長l3與桿長l5影響較小。