行星輪系動力學特性仿真系統(tǒng)開發(fā)與應用

焦 博，王曉筍，王愛華，巫世晶

（武漢大學動力與機械學院，湖北 武漢 430072）

1 引言

行星輪系傳動穩(wěn)定、工作可靠，在生產(chǎn)實際中具有普遍的應用，然而若輪系設計不合理，其復雜的結構將使系統(tǒng)產(chǎn)生大的振動與噪音，加劇輪齒的損壞。行星輪系動力學特性可從理論上反映系統(tǒng)整體振動狀況，大量文獻為提升輪系傳動性能對此進行了研究[1-5]。但在齒輪傳動系統(tǒng)的生產(chǎn)中往往缺乏快速簡便地進行理論分析的條件，導致理論研究直接輔助實際設計較為困難；同時使用通用軟件進行行星輪系動力學仿真分析時，大量時間花費在建模中，分析效率較為低下。因此，一套專用的行星輪系動力學特性仿真系統(tǒng)，實現(xiàn)輪系動力學特性理論分析自動化、高效化，其實現(xiàn)有著重要的意義。于是基于理論研究成果，開發(fā)的該套行星輪系動力學特性仿真系統(tǒng)能夠快速準確地對2K-H輪系及復合行星輪系兩種特定類型輪系系統(tǒng)進行建模求解，實現(xiàn)動力學特性高效分析，適用于輔助工程設計和一般理論分析。

2 行星輪系非線性動力學建模

針對2K-H行星輪系以及復合行星輪系，均以集中質量法進行兩種動力學建模，分別建立純扭轉模型與平移扭轉耦和模型。前者模型自由度僅考慮構件扭轉方向；后者還包含垂直軸線的平面方向。構件支撐剛度達到嚙合剛度的10倍或以上時，兩種模型具有較大等價性，用戶基于工程實際情況和對應齒輪系統(tǒng)特點進行選擇。下面以3組行星輪的雙齒圈復合行星輪系平移扭轉耦和動力學模型為例，對理論模型進行描述[6]，如圖1所示。

以行星架回轉中心為原點建立靜止坐標系OXY以及伴隨行星架等速轉動的運動坐標系Oxy，行星架、太陽輪、兩個內(nèi)齒圈、3組行星輪分別用c、s、r1與r2、an與bn（n=1、2、3）表示[7]，時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差用kj、ej（j=san、r1an、r2bn、anbn）描述，bj、cj、ki、kit（i=s、c、r1、r2、an、bn）分別為齒輪嚙合副的半齒側間隙、嚙合阻尼以及構件所具有的平移支撐剛度與扭轉支撐剛度。

圖1 雙齒圈復合行星輪系平移-扭轉耦合動力學模型Fig.1 Translation-Torsion Coupling Dynamics Model of Double Ring Gear Compound Planetary Gear Trains

2.1 綜合嚙合誤差

在輪系的生產(chǎn)與裝配實踐中，各構件的誤差必然無法完全消除。其中，偏心誤差包含各構件軸線偏差以及齒輪軸承孔尺寸偏差等；安裝誤差包括各構件中心的安裝誤差。輪齒實際嚙合過程中，這些誤差將導致實際相對位移與理論值存在偏差，其映射到對應嚙合線上的等效位移也將對嚙合線的變化產(chǎn)生影響。以太陽輪的誤差映射到嚙合副san上的等效位移為例。

偏心誤差的等效位移公式為：

安裝誤差的等效位移公式為：

2.2 齒側間隙

輪系運行中需滿足潤滑條件，且隨著運行時間累積將不可避免地產(chǎn)生構件磨損，因此在嚙合輪齒之間會有齒側間隙存在。用f（δ）表示存在間隙的齒輪副嚙合力對應的分段函數(shù)：

式中：δj—嚙合副在嚙合線上的相對嚙合位移。

2.3 行星輪系動力學方程組

以各構件的平移及扭轉自由度為系統(tǒng)廣義坐標q，并以xi與yi表征構件的平移振動自由度，θi為構件扭轉運動角位移，i意義同前。

由幾何關系，各嚙合線上的相對嚙合位移為：

式中：ψj—嚙合副兩嚙合構件的相對嚙合角。

由能量法得到輪系動勢后，根據(jù)第二類Lagrange方程，最終可得到復合行星輪系平移扭轉耦合動力學方程組，各構件非線性方程組形如：

式中：Fix、Fiy、Fij—與f（δ）、嚙合線上的相對嚙合位移和時變嚙合剛度有關的表達式；P—系數(shù)；mi—構件質量；Mi—構件當量質量；Ti—對應構件扭矩；ωd、bc—無量綱化角頻率與長度標稱尺度；μi—由于尺寸誤差引起的支撐力變化系數(shù)；aix、aiy—各構件在靜止坐標系下的加速度，若構件為行星輪，則上式中的 xi、yi調(diào)整為 δicx（xi-xc）與 δicy（yi-yc）。輪系模型矩陣形式為：

式中：M、K、C、F—質量、剛度、阻尼及力矩陣。

3 系統(tǒng)開發(fā)

3.1 系統(tǒng)架構設計

該仿真軟件基于.NET系統(tǒng)的C#語言進行開發(fā)[8]，可分為三層結構—交互層、信息層和處理層?？傮w架構，如圖2所示。交互層為系統(tǒng)架構的最內(nèi)層，提供用戶進行參數(shù)輸入與命令選擇的界面，用戶通過界面進行項目的建立、輪系模型的選擇、參數(shù)的輸入以及仿真結果輸出等命令；信息層傳遞交互層的參數(shù)與指令至處理層，并實現(xiàn)數(shù)據(jù)文件的讀取與保存；處理層含有文件調(diào)用類、圖形生成類、參數(shù)合理性檢測類以及軟件最核心的計算模塊等，信息層傳遞的參數(shù)或指令，將觸發(fā)該層的類或模塊，實現(xiàn)系統(tǒng)的功能。

圖2 仿真系統(tǒng)總體架構圖Fig.2 General Architecture Diagram of Simulation System

系統(tǒng)主要流程如下：

項目生成：打開系統(tǒng)，選取新建項目或導入原有項目。

模型建立：選取新建項目時，首先選擇輪系類型及模型種類，系統(tǒng)隨后將呈現(xiàn)相應模型的頁面，用戶輸入系統(tǒng)工況和各類構件參數(shù)，包括齒輪齒數(shù)、模數(shù)、質量、壓力角、轉動慣量、平移支撐剛度、扭轉支撐剛度、嚙合剛度、阻尼系數(shù)、齒側間隙、安裝誤差和偏心誤差等構件參數(shù)，以及系統(tǒng)運行中所需的扭矩和轉速等輸入輸出參數(shù)，系統(tǒng)進行參數(shù)的合理性檢測[9]后，將參數(shù)按統(tǒng)一格式存入txt文檔。導入原有項目時，系統(tǒng)后臺讀取原有模型參數(shù)文件中保存的輪系構件參數(shù)并將其傳遞至系統(tǒng)頁面，實現(xiàn)模型的復現(xiàn)。

仿真運算：獲取模型建立過程中產(chǎn)生的參數(shù)，對動力學模型在計算模塊中進行數(shù)值仿真計算，并將輪系模型各自由度及嚙合副的時域響應結果寫入文件中。

圖形輸出：讀取以上步驟中產(chǎn)生的結果文件，調(diào)用負責輸出動力學特性運算結果的類，在界面上根據(jù)用戶指令繪制出指定嚙合副的時間歷程曲線、相軌線、Poincare曲線、均載特性曲線，并可對圖形進行縮放、拖曳、添加消除數(shù)據(jù)源等操作以及實現(xiàn)曲線圖形的jpg保存。

3.2 仿真運算實現(xiàn)

該仿真系統(tǒng)核心部分為仿真運算時調(diào)用的計算模塊，該部分采用了MATLAB動態(tài)鏈接庫技術[10]，將包含輪系仿真模型及數(shù)值計算算法的m文件，通過MATLAB Compiler編譯，生成DLL，并通過IDE在C#中引用DLL文件，實現(xiàn)軟件計算功能。計算模塊框架，如圖3所示。

圖3 動態(tài)鏈接庫框架圖Fig.3 Frame Diagram of Dynamic Link Library

主要流程如下：

（1）輸入數(shù)據(jù)為統(tǒng)一格式后的模型參數(shù)txt文檔以及記錄模型類型的標識符變量，通過命令解釋程序，解析模型參數(shù)文件，從文件中提取參數(shù)值，并將參數(shù)臨時保存；

（2）由標識符變量判斷輪系類型，導入對應的輪系動力學模型（非線性動力學方程組），賦予參數(shù)值，建立變量為輪系構件自由度的方程組；

（3）采用Gill積分法，對步驟2中的方程組進行運算并對結果臨時保存；

（4）將計算結果寫入文檔中實現(xiàn)數(shù)據(jù)記錄，外部C#項目讀取文檔進行后續(xù)運算。

模塊式封裝的輪系動力學方程組以及MATLAB動態(tài)鏈接庫技術的應用，使每種行星輪系動力學方程組相對獨立，各個模型之間通過接口并聯(lián)，增加了新輪系類型添加與原有輪系類型維護的靈活性，彌補了.NET開發(fā)環(huán)境運算能力不足的缺點。

3.3 系統(tǒng)界面設計

所設計的系統(tǒng)采用Windows界面風格，保證了系統(tǒng)操作界面的友好性。用戶選擇輪系模型完畢后，將進入系統(tǒng)主頁面，頁面由四部分組成—菜單欄、模型樹、工作區(qū)以及狀態(tài)欄。功能界面入口匯總在模型樹中，點擊模型樹選項將在工作區(qū)呈現(xiàn)相應的操作界面。前處理界面包括工況和構件參數(shù)交互界面；求解界面實現(xiàn)求解時間、求解精度等參數(shù)設置；后處理界面包括時間歷程曲線、相軌線、Poincare曲線、均載特性曲線的顯示界面，如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)界面示意圖Fig.4 Schematic Diagram of System Interface

4 算例分析

某3組行星輪雙齒圈復合行星輪系，主要參數(shù)，如表1所示。

表1 復合行星輪系系統(tǒng)參數(shù)表Tab.1 Parameter Table of Compound Planetary Gear Train System

太陽輪連接輸入軸，內(nèi)齒圈r2連接輸出軸，輸入軸常用工作轉速為1600r/min，運用該仿真系統(tǒng)分析太陽輪及長行星輪安裝誤差對該行星輪系動力學特性的影響。數(shù)值仿真結果顯示，當太陽輪或行星輪具有定量的安裝誤差時，各嚙合副振動狀態(tài)與sa嚙合副振動狀態(tài)具有相似的變化規(guī)律，因此以sa嚙合副為例進行分析。當輪系不存在安裝誤差時，sa1嚙合副時間歷程曲線、相軌線、Poincare相圖，如圖5所示。

圖5 無安裝誤差結果Fig.5 Dynamic Characteristic Results without Installation Errors

由圖5可見，無誤差狀態(tài)下該輪系進行單周期運動。當太陽輪存在安裝誤差（20μm）時，如圖6所示。

圖6太陽輪具有安裝誤差結果Fig.6 Dynamic Characteristic Results with Installation Error of Solar Wheel

圖6 中，時間歷程曲線振動較圖5更大，相軌線纏繞多圈具有一定的規(guī)律性，Poincare截面近似為由離散點組成的一條封閉曲線，此時系統(tǒng)進行擬周期運動。當行星輪具有20μm安裝誤差時，仿真結果顯示該誤差對嚙合副振動狀態(tài)影響較小，不再列出。系統(tǒng)的均載系數(shù)結果，如圖7所示。由圖7可見，太陽輪存在安裝誤差時，系統(tǒng)嚙合副均載系數(shù)呈現(xiàn)周期變化規(guī)律；單個行星輪存在安裝誤差時，均載系數(shù)是定值，但輪系出現(xiàn)偏載；當3組行星輪具有相同的安裝誤差時，均載系數(shù)為1，各行星輪受載均勻。將安裝誤差設置為30μm與40μm，再次對該輪系進行分析，分析所得結論與安裝誤差為20μm時一致。由此可知，相比行星輪存在的安裝誤差，該行星輪系振動狀態(tài)受太陽輪安裝誤差影響更大；且當3組行星輪誤差相同時，輪系均載性能較好。因此，對于該行星輪系的太陽輪和行星輪，應盡量控制太陽輪安裝誤差，且行星輪安裝誤差以趨于一致為宜。以上運用該仿真系統(tǒng)所得分析結果符合前人理論研究結論，與運用通用的數(shù)學軟件MAPLE進行數(shù)值求解的結果一致性較高，限于篇幅，MAPLE運算結果未畫出。

圖7 均載特性結果Fig.7 Load Sharing Characteristic Curve

5 總結

以2K-H輪系以及復合行星輪系為對象，依據(jù)建立的非線性動力學模型，采用MATLAB動態(tài)鏈接庫技術，基于.NET系統(tǒng)C#語言編寫了行星輪系動力學特性仿真系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)核的設計考慮了安裝誤差、偏心誤差、時變嚙合剛度等非線性因素，并封裝數(shù)值計算算法對模型進行解算，能夠繪制出時間歷程曲線、相軌線、Poincare曲線、均載特性曲線等一系列重要的行星輪系動力學圖表。該系統(tǒng)簡便的輪系參數(shù)化建模以及快速、準確的數(shù)值仿真運算，極大地提升了行星齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性和均載特性分析效率，簡化了建模及分析流程，大大減小了工作量，為研究行星輪系非線性動力學特性提供了便捷的工具，能夠為輪系設計提供理論參考，并為其他動力學數(shù)值仿真軟件開發(fā)提供一種思路。