軟態(tài)TP2銅材室溫抗拉強(qiáng)度的概率分布

張紅衛(wèi)， 楊帆， 劉岑， 劉兵， 范有雄， 劉小寧

（1. 武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院，武漢430205；2. 湖北輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，武漢430070）

0 引 言

在食品、醫(yī)藥、衛(wèi)生、醫(yī)療領(lǐng)域及人們?nèi)粘Ｉ钪?，往往采用軟態(tài)TP2銅管輸送的氣體或者液體介質(zhì)有一定工作壓力的，為確保安全，工程上采用有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[1-2]規(guī)范軟態(tài)TP2銅管的強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

對(duì)于鋼制壓力容器或其他鋼制結(jié)構(gòu)，其制造材料抗拉強(qiáng)度與幾何尺寸等受到制造加工等因素的影響[3]，具有隨機(jī)不確定性，工程界與學(xué)術(shù)界對(duì)鋼制壓力容器或其他鋼制結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的可靠性設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了探索[4-7]。目前，對(duì)TP2銅管強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)方法的研究還不充分[8-9]，有待加強(qiáng)；由于軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度概率分布是建立銅管強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)工作，因此，軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度的概率分布是工程界與學(xué)術(shù)界值得研究的課題。

軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度的概率分布包括分布規(guī)律與分布參數(shù)兩個(gè)方面，文中基于24組軟態(tài)TP2銅管室溫實(shí)測(cè)爆破壓力[9]，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與方法[10-11]，研究了軟態(tài)TP2銅材室溫抗拉強(qiáng)度的概率分布。

1 建立方法

1.1 銅材抗拉強(qiáng)度與銅管爆破壓力

研究表明，若不考慮銅管端部對(duì)銅管爆破壓力的加強(qiáng)作用，TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力可用中徑公式計(jì)算[9]，若通過試驗(yàn)獲得銅管實(shí)測(cè)爆破壓力，則軟態(tài)TP2銅材的抗拉強(qiáng)度為

式中：Pbi為軟態(tài)TP2銅管的第i個(gè)實(shí)測(cè)爆破壓力的有效值，MPa；Rmi為軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度的第i個(gè)實(shí)測(cè)值，MPa；K為銅管的徑比。

1.2 銅材抗拉強(qiáng)度的平均值與精密度

對(duì)n組抗拉強(qiáng)度實(shí)測(cè)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到其平均值與精密度：

1.3 銅材抗拉強(qiáng)度實(shí)測(cè)值的同質(zhì)性判別

在相同條件時(shí)，如果抗拉強(qiáng)度實(shí)測(cè)值來(lái)源于不同測(cè)試單位，必須考慮這些數(shù)據(jù)是否存在系統(tǒng)誤差，即對(duì)這些數(shù)據(jù)必須進(jìn)行同質(zhì)性判別。

假設(shè)RmA與RmB基本符合正態(tài)分布，則RmA的分布參數(shù)分別為均值μA與標(biāo)準(zhǔn)差σA，RmB的分布參數(shù)分別為均值μB與標(biāo)準(zhǔn)差σB；RmA與RmB具有同質(zhì)性的條件為其均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別無(wú)顯著差異。

1.3.1 標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)顯著差異的判別

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，t分布是檢驗(yàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB是否存在差異的有效工具[14-20]，檢驗(yàn)依據(jù)為

當(dāng)檢驗(yàn)依據(jù)F滿足判據(jù)

取判別兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)顯著差異的顯著度α=0.01，文中所用的F分布系數(shù)如表1所示。

1.3.2 均值無(wú)顯著差異的判別

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，t分布是檢驗(yàn)兩個(gè)均值μA與μB是否存在差異的有效工具。假設(shè)σA=σB，均值μA與μB的比較依據(jù)為

當(dāng)t滿足判據(jù)

取判別兩個(gè)均值無(wú)顯著差異的顯著度α=0.01，文中所用的t分布系數(shù)如表1所示。

表1 有關(guān)系數(shù)

1.3.3 無(wú)顯著差異的評(píng)價(jià)

只有當(dāng)式（4）與式（6）同時(shí)滿足時(shí)，才能說(shuō)明在A與B單位測(cè)量得到的數(shù)據(jù)無(wú)系統(tǒng)誤差，即RmA與RmB具有同質(zhì)性，可以將兩個(gè)單位測(cè)得的數(shù)據(jù)合并作為抗拉強(qiáng)度實(shí)測(cè)值統(tǒng)計(jì)的基本數(shù)據(jù)。

1.4 分布規(guī)律的假設(shè)檢驗(yàn)

1.5 分布參數(shù)及取值范圍

當(dāng)軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度基本符合正態(tài)分布時(shí)，其分布參數(shù)包括均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與變異系數(shù)C。雙側(cè)置信度為（1-α）時(shí)，可通過有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析分布參數(shù)的取值范圍。

1.5.1 均值的取值范圍

均值μ的取值范圍為

其中：

式中：μmin與μmax分別為抗拉強(qiáng)度Rm均值μ的下限與上限；t0.5α,n－1為t分布系數(shù)。

本文取α=0.01，即在雙側(cè)置信度為99%時(shí)，分析均值的取值范圍，所用的t分布系數(shù)如表1所示。

1.5.2 標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍

標(biāo)準(zhǔn)差σ取值范圍為

其中：

取α=0.01，即雙側(cè)置信度為99%時(shí)，分析標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間，所用的χ2分布系數(shù)如表1所示。

1.5.3 變異系數(shù)的取值范圍

變異系數(shù)C 取值范圍為

其中：

式中，Cmin與Cmax分別為C 的下限與上限。

2 實(shí)測(cè)抗拉強(qiáng)度

對(duì)軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管進(jìn)行室溫液壓爆破試驗(yàn)，有關(guān)企業(yè)獲得了10組爆破壓力的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，筆者也獲得14組爆破壓力的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)將有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列入表2。

研究表明，在相同條件時(shí)，銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力無(wú)明顯差異。為了分析企業(yè)提供的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文測(cè)量得到有效數(shù)據(jù)是否存在明顯差異，將企業(yè)提供的10組有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文測(cè)量得到14組有效數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)值也列入表2中。

由于F與t同時(shí)滿足式（4）與式（6），因此，企業(yè)提供的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文測(cè)量得到有效數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性，可將其有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)合并計(jì)算，得到抗拉強(qiáng)度的實(shí)測(cè)值Rmi及其平均值與標(biāo)準(zhǔn)差，一并列入表2中。

3 分布規(guī)律

3.1 基于文獻(xiàn)［9］提供的數(shù)據(jù)（A）

基于文獻(xiàn)［9］提供的10組數(shù)據(jù)（表2序號(hào)1～10），假設(shè)軟態(tài)TP2銅材的室溫抗拉強(qiáng)度Rm基本符合正態(tài)分布。因1+3.3lg10=4.30，可將10組同質(zhì)性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為5個(gè)區(qū)間，由自由度為f= 5-1-2=2與顯著度δ=0.05查表1，可得皮爾遜的臨界值為5.991。表3上半部分是每個(gè)區(qū)間統(tǒng)計(jì)量實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量及其之和。

表3上半部分表明皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和為7.4348，大于臨界值5.991，似不能通過檢驗(yàn)；但是，造成這種情況的原因可能是數(shù)據(jù)比較少且分組不合理［16］；考察表3上半部分，發(fā)現(xiàn)第4與第5組數(shù)據(jù)的實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量差異大，若將第4與第5組數(shù)據(jù)合并，其皮爾遜統(tǒng)計(jì)量及其之和可大幅度減少。

因此，將表3上半部分第4與第5組合并為1個(gè)區(qū)間后，重新進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。表3下半部分是合并后實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量及其之和。因合并后的自由度為f=4-1-2=1，取顯著度δ=0.05，由表1得皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和的臨界值為3.841。由表3下半部分可知：參考文獻(xiàn)[9]提供數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和為1.3125，小于臨界值3.841，表明顯著度為0.05時(shí)，室溫抗拉強(qiáng)度Rm基本符合正態(tài)分布。

表2 室溫抗拉強(qiáng)度的實(shí)測(cè)值與統(tǒng)計(jì)

表3 參考文獻(xiàn)［9］提供數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

表3 參考文獻(xiàn)［9］提供數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

序號(hào)[aj，aj+1]Njpjn×pjχ2 σjχ2σ備注12345[195.3，199.5][199.5，203.6][203.6，207.8][207.8，211.9][211.9，216.1]13204 0.093 2 0.158 1 0.214 9 0.205 8 0.151 3 0.932 0 1.581 0 2.149 0 2.058 0 1.513 0 0.005 0 1.273 6 0.010 2 2.058 0 4.088 0 7.434 8nA=10 1234[195.3，199.5][199.5，203.6][203.6，207.8][207.8，216.1]1324 0.093 2 0.158 1 0.214 9 0.357 1 0.932 0 1.581 0 2.149 0 3.571 0 0.005 0 1.273 6 0.010 2 0.023 6 1.312 5nA=10

3.2 基于自測(cè)數(shù)據(jù)（B）

基于文中自測(cè)的14組數(shù)據(jù)（表2序號(hào)11～24），假設(shè)軟態(tài)TP2銅材的室溫抗拉強(qiáng)度Rm基本符合正態(tài)分布。因1+3.3lg14 =4.78，可將14組同質(zhì)性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為5個(gè)區(qū)間，由自由度為f=5-1-2=2與顯著度δ=0.05查表1，可得皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的臨界值為5.991。每個(gè)區(qū)間實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量及其之和如表4所示。

根據(jù)表4，自測(cè)數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和為1.096 8，小于臨界值5.991，表明顯著度為0.05時(shí)，室溫抗拉強(qiáng)度Rm是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

表4 自測(cè)數(shù)據(jù)皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

表4 自測(cè)數(shù)據(jù)皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

序號(hào)[aj，aj+1]Njpjn×pjχ2 σjχ2 σ備注12345[185.1，190.8][190.8，196.5][196.5，202.1][202.1，207.8][207.8，213.5]23522 0.120 0 0.222 5 0.258 1 0.206 0 0.102 2 1.673 7 3.115 0 3.613 4 2.884 0 1.431 4 0.063 6 0.004 2 0.532 1 0.271 0 0.225 9 1.096 8 nB=14

3.3 基于全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)（D）

基于全部24組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（表2序號(hào)1～24），假設(shè)軟態(tài)TP2銅材的室溫抗拉強(qiáng)度Rm是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。因1+3.3lg24 =5.55，可將24組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)分為6個(gè)區(qū)間，根據(jù)自由度f(wàn)=6-1-2=3與顯著度δ=0.05查表1，可得皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的臨界值為7.815。每個(gè)區(qū)間實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量及其之和為4.103 2（如表5），小于臨界值7.815，因此在顯著度為0.05時(shí)，室溫抗拉強(qiáng)度Rm基本符合正態(tài)分布。

表5 基于24組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

表5 基于24組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

序號(hào)[aj，aj+1]Njpjn×pjχ2 σjχ2 σ備注123456[185.1，190.3][190.3，195.4][195.4，200.6][200.6，205.8][205.8，210.9][210.9，216.1]237435 0.061 0 0.129 2 0.203 0 0.227 3 0.180 9 0.109 3 1.464 7 3.100 6 4.872 0 5.455 2 4.341 6 2.623 7 0.195 6 0.003 3 0.929 5 0.388 2 0.434 4 2.152 2 4.103 2 n=24

4 分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為99%時(shí)，根據(jù)表2提供的軟態(tài)TP2銅材室溫抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析分布參數(shù)取值范圍。

4.1 基于文獻(xiàn)［9］提供的數(shù)據(jù)（A）

將表2序號(hào)1～10的10組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度代入式（7）～式（13），分別得室溫抗拉強(qiáng)度Rm分布參數(shù)均值μA、標(biāo)準(zhǔn)差σA與變異系數(shù)CA取值范圍：

4.2 基于自測(cè)數(shù)據(jù)（B）

將表2序號(hào)11～24的14組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度代入式（7）～式（13），分別得室溫抗拉強(qiáng)度Rm分布參數(shù)均值μB、標(biāo)準(zhǔn)差σB與變異系數(shù)CB取值范圍：

4.3 基于全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)（D）

將表2中24組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度代入式（7）～式（13），分別得室溫抗拉強(qiáng)度Rm的分布參數(shù)均值μD、標(biāo)準(zhǔn)差σD與變異系數(shù)CD取值范圍：

顯然，用24組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度，確定軟態(tài)TP2銅材室溫抗拉強(qiáng)度Rm的分布參數(shù)及其取值范圍相對(duì)合理。

5 討 論

根據(jù)以上分析，基于文獻(xiàn)[9]提供的數(shù)據(jù)（A）、自測(cè)數(shù)據(jù)（B）及文中全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)（D），室溫軟態(tài)TP2銅材的抗拉強(qiáng)度Rm基本符合正態(tài)分布，其中由文獻(xiàn)[9]提供的數(shù)據(jù)與自測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，可知室溫抗拉強(qiáng)度Rm的分布參數(shù)無(wú)明顯差異，即軟態(tài)TP2銅材的室溫抗拉強(qiáng)度Rm在A與B時(shí)，基本是同一個(gè)隨機(jī)變量；將文中全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)稱為D（D為A與B的合并），討論室溫抗拉強(qiáng)度Rm的分布參數(shù)在D與A和B時(shí)的關(guān)系。

5.1 標(biāo)準(zhǔn)差比較

1）試驗(yàn)數(shù)據(jù)D與試驗(yàn)數(shù)據(jù)A。由式（3）可得比較統(tǒng)計(jì)值F=0.698，查表1得F0.005,9,23=3.750 與F0.995,9,23=0.169，F(xiàn)滿足式（4），即0.169≤F≤3.750；因此，顯著度為0.01時(shí)，D與A的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)顯著差異。

2）試驗(yàn)數(shù)據(jù)D與試驗(yàn)數(shù)據(jù)B。由式（3）得比較統(tǒng)計(jì)值F=0.878，查表1得F0.005,13,23=3.413與F0.995,13,23=0.240，F(xiàn)滿足式（4），即0.240≤F≤3.413；因此，顯著度α為0.01時(shí)，D與B的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差無(wú)顯著差異。

5.2 均值比較

5.3 評(píng) 價(jià)

由于D與A 、D與B和A與B的F分布系數(shù)與t分布系數(shù)分別同時(shí)滿足式（4）與式（6），因此，基于A、B與D的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，室溫軟態(tài)TP2銅材的抗拉強(qiáng)度Rm是同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

5.4 分布參數(shù)的優(yōu)化

由以上分析可知，室溫軟態(tài)TP2銅材的抗拉強(qiáng)度是同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其主要分布參數(shù)均值μ的取值范圍應(yīng)是μA、μB與μD的公共部分，標(biāo)準(zhǔn)差σ的取值范圍應(yīng)也是σA、σB與σD的公共部分，即

其中：

其中：

將式（14）與式（15）、式（17）與式（18）及式（20）與式（21）代入到式（23）～式（28），可得到優(yōu)化后主要分布參數(shù)均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與變異系數(shù)C的取值范圍：

比較式（29）與式（20）、式（31）與式（22）可知，優(yōu)化后軟態(tài)TP2銅材的室溫抗拉強(qiáng)度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差波動(dòng)范圍變小，精度得到提高。

6 結(jié) 語(yǔ)

基于24組軟態(tài)TP2銅管的實(shí)測(cè)爆破壓力，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與方法，分析了室溫軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度的分布規(guī)律與參數(shù)，得到如下結(jié)論：1）顯著度為0.05時(shí)，室溫軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量；2）雙側(cè)置信度為99%時(shí)，室溫軟態(tài)TP2銅材抗拉強(qiáng)度的均值不小于199.3 MPa且不大于205.8 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差不小于6.483 MPa且不大于14.16 MPa，變異系數(shù)位于0.031 50與0.071 05之間。