多體量子系統(tǒng)非定域性的量子模擬

丁 東,侯 通，何英秋，王 粲

(華北科技學(xué)院 理學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

量子糾纏[1]是量子系統(tǒng)特有的現(xiàn)象。一個(gè)多體糾纏態(tài)，無論各子系統(tǒng)間隔多遠(yuǎn)仍能保持彼此間的關(guān)聯(lián)，這種現(xiàn)象稱為多體量子系統(tǒng)的非定域性[2,3]。自從Bell[4]開創(chuàng)性地提出著名的Bell不等式以來，人們推廣Bell理論得到了各具特色的多體Bell不等式[5-9]。

相比于經(jīng)典計(jì)算，量子計(jì)算在處理一些特殊問題時(shí)具有明顯的優(yōu)越性[10,11]，比如谷歌2019年報(bào)道的“Sycamore”處理器對(duì)一個(gè)量子電路實(shí)例進(jìn)行100萬次的采樣大約需要200秒，而用現(xiàn)有最快的經(jīng)典超級(jí)計(jì)算機(jī)完成同樣的任務(wù)可能需要10000年。目前，量子計(jì)算優(yōu)越性的研究尚處于實(shí)驗(yàn)階段，無論是固態(tài)量子芯片的研發(fā)還是多光子干涉技術(shù)的應(yīng)用，都需要不斷地改進(jìn)和完善。在量子軟件[12-17]方面，1996年美國計(jì)算機(jī)科學(xué)家Knill[12]首次提出了量子編程的概念并給出了常用的量子代碼規(guī)則。隨后，人們先后設(shè)計(jì)了Quipper、LIQUi| >和Q#等量子編程語言，開發(fā)了IBM Q Experience、蘇黎世聯(lián)邦理工的ProjectQ、華為公司的HiQ等量子計(jì)算平臺(tái)。Q#是微軟公司于2017年推出的一種多范式量子編程語言[16]，在Visual Studio開發(fā)環(huán)境下用Q#編寫量子程序可運(yùn)行各種量子門操作和測(cè)量，同時(shí)結(jié)合C#經(jīng)典編程統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果能夠方便地模擬量子計(jì)算過程。隨著人們對(duì)量子計(jì)算研究的不斷深入，量子編程技術(shù)在量子物理基本問題的研究和實(shí)驗(yàn)?zāi)M等方面一定會(huì)發(fā)揮其重要作用。

本文研究多體量子系統(tǒng)非定域性的量子模擬?；诹孔泳幊陶Z言Q#，在Visual Studio平臺(tái)中模擬量子系統(tǒng)的演化和測(cè)量，驗(yàn)證三體和四體情況下廣義Greenberger-Home-Zeilinger(GHZ)態(tài)對(duì)多體Bell不等式的量子違背。

1 多體量子系統(tǒng)的量子非定域性

考慮多體量子系統(tǒng)Bell多項(xiàng)式[9]

(1)

和

(2)

|〈B〉|≤1

(3)

成立。

量子力學(xué)上，考慮廣義GHZ態(tài)

|G(α)〉=cosα|00…0〉+sinα|11…1〉，

(4)

2 基于量子編程的量子模擬

接下來，基于量子編程語言Q#及其相應(yīng)的量子開發(fā)工具包，我們研究多體量子系統(tǒng)非定域性的量子模擬。

量子模擬過程包括Q#量子程序設(shè)計(jì)和C#經(jīng)典控制編程。我們首先在Visual studio中創(chuàng)建Q# Application項(xiàng)目，基于Q#引入命名空間、定義Set( )操作、制備初態(tài)|0〉、分配量子比特?cái)?shù)組，應(yīng)用Ry(angles [ ],qubits[ ])、CNOT (qubits[ ],qubits[ ])和R1(angles [ ],qubits[ ])等操作演化量子系統(tǒng)，用M(qubits[ ])實(shí)現(xiàn)量子測(cè)量。同時(shí)，我們用C#編寫經(jīng)典控制程序，其任務(wù)是實(shí)現(xiàn)參數(shù)傳遞，輸入實(shí)驗(yàn)參數(shù)、輸出返回結(jié)果并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

(5)

和

(6)

其中，求和包含所有可能的不同的置換項(xiàng)。對(duì)于三量子比特和四量子比特廣義GHZ態(tài)，存在如下結(jié)果：當(dāng)|sin2α|>1/2時(shí)，Bell不等式被違背。特別地，在0≤α≤π/2范圍內(nèi)，當(dāng)α=π/12時(shí)，對(duì)應(yīng)量子違背臨界值1；當(dāng)α=π/4時(shí)，對(duì)應(yīng)最大的量子違背值2。

對(duì)于三量子比特廣義GHZ態(tài)，我們分別取α=π/12 和α=π/4兩種情況，通過統(tǒng)計(jì)八種測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的概率，計(jì)算算子期望值〈σxσxσx〉、〈σxσyσy〉、〈σyσxσy〉和〈σyσyσx〉并帶入(5)式，得到兩種情況下的量子統(tǒng)計(jì)值分別為1.002和1.997。以α=π/12為例，量子統(tǒng)計(jì)結(jié)果及其誤差如圖1所示。

圖1 三量子比特Bell多項(xiàng)式統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果

同理，對(duì)于四量子比特廣義GHZ態(tài)，在α=π/12和α=π/4兩種情況下，分別存在十六種統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果，根據(jù)測(cè)量結(jié)果我們計(jì)算(6)式中的八項(xiàng)期望值〈σxσxσxσx〉、〈σyσyσyσy〉、〈σxσxσyσy〉、〈σxσyσxσy〉、〈σxσyσyσx〉、〈σyσxσxσy〉、〈σyσxσyσx〉和〈σyσyσxσx〉，于是可以分別得到α=π/4和α=π/12兩種情況下對(duì)應(yīng)的量子統(tǒng)計(jì)值，如表1所示。

表1 四量子比特Bell不等式的量子統(tǒng)計(jì)值

3 結(jié)論

(1) 本文基于量子編程語言Q#，研究多量子比特系統(tǒng)非定域性的量子模擬?？紤]廣義GHZ態(tài)，完成了三量子比特和四量子比特系統(tǒng)對(duì)多體Bell不等式的最大違背值和臨界違背值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致，研究方法可直接推廣到任意的多量子比特系統(tǒng)。

(2) 相比于光學(xué)實(shí)驗(yàn)，基于量子編程的量子模擬，作為一種研究量子物理基本問題的工具和手段，其研究方法不受實(shí)驗(yàn)條件的約束更容易推廣到多體或高維量子系統(tǒng)。