數(shù)學計算從數(shù)數(shù)到法則創(chuàng)造

白延秋

在數(shù)學教學過程中，筆者常常思考數(shù)學是什么？也許有很多的答案，但筆者更崇尚數(shù)學是數(shù)數(shù)的一門學問，在數(shù)的過程中，數(shù)到十個，成為一捆，就是一個十，十個十就是一百……數(shù)著數(shù)著加法就產(chǎn)生了;當加數(shù)相同時，為了簡便運算，乘法就產(chǎn)生了;隨之減法、除法以及乘方、開方等運算相繼產(chǎn)生。整個從數(shù)數(shù)到法則的創(chuàng)造，就是從生活中出發(fā)到數(shù)學創(chuàng)造的過程。難怪，荷蘭數(shù)學教育家費萊登塔爾說：“數(shù)學學習唯一而又正確的方法，就是實行再創(chuàng)造。”

數(shù)學學習從數(shù)數(shù)開始

對于剛剛接觸數(shù)數(shù)的孩子來講，他們愿意數(shù)數(shù)的動力未必是實際的需要，更多的是好奇——怎樣才能不斷地數(shù)下去，進而愿意進行這種智力冒險活動。不妨設想這種情境：在成人的引領下，孩子開始數(shù)積木或別的什么玩具的個數(shù)。不斷的實踐經(jīng)驗，促使孩子能順利地數(shù)，數(shù)具體物品的經(jīng)歷多了，脫離具體事物，繼續(xù)數(shù)下去的欲望也就漸漸產(chǎn)生，遇到困難時，他就會問別人下一個數(shù)是幾？他的困難可能往往是在20、30……這些“拐彎兒”的地方，越過這個坎兒，他就能興致勃勃地數(shù)下去，到了下一個節(jié)點，可能又不行了……如此反反復復，不知什么時候，孩子會小心翼翼地、甘愿冒險地數(shù)下去——他既想著獨立邁過這個坎兒，又擔心出錯，一邊想，一邊看著成年人。如果他能成功越過險關(guān)，那種激動的心情是很強烈的。這確實是值得特別慶賀的事，因為孩子發(fā)現(xiàn)了數(shù)數(shù)（十進制）的重大規(guī)則。從此，數(shù)數(shù)的道路上基本沒有什么困難了，到了整百的地方也會很容易邁過去，他已經(jīng)擁有足夠多的經(jīng)驗來應對新情況了。

小學數(shù)學教材往往把數(shù)數(shù)的內(nèi)容分成幾段：10以內(nèi)，20以內(nèi)，100以內(nèi)……這種分段教學，好處是降低了難度，便于學生掌握相應的內(nèi)容，但其損失也是致命的：學生喪失了獨立獲得數(shù)數(shù)規(guī)則的機會。筆者想，能否把數(shù)數(shù)作為一個專門的教學活動來安排？能否以100為一個階段，100到200為一個階段？剛?cè)雽W的孩子，其數(shù)數(shù)的經(jīng)歷已有很大差別，有些孩子能自如地數(shù)數(shù)，有的就很困難。教師可以對不同水平的學生布置不同的任務：一個一個地數(shù)、兩個兩個地數(shù)。只要任務具有合適的挑戰(zhàn)性，就能發(fā)展個體的智慧。

實踐表明：大約一個月，大部分學生就能很流利地數(shù)偶數(shù)了;但數(shù)奇數(shù)較困難，要延續(xù)更長的時間來訓練。我們不妨從孩子的角度想想，之所以困難，是因為還沒有“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律，不斷地數(shù)，就要不斷地嘗試，用自己的經(jīng)驗和設想去分析、歸納，直到某一天，眼前一亮：“啊，我知道怎么數(shù)了！”這種數(shù)數(shù)的教學活動，對于學生的心智發(fā)展是很有好處的。最大的收獲是自己發(fā)現(xiàn)了規(guī)則。同時，學生對基數(shù)、序數(shù)的意義也在自然地發(fā)展著。加法的含義、減法的含義也會不斷地強化：往“里”數(shù)就是不斷地加，往“外”數(shù)就是不斷地減。課堂觀察表明，當學生能比較順利地小規(guī)模地群數(shù)（2個、3個）的時候，其運算水平也就沒有什么問題了。并且，群數(shù)還為乘法的引入奠定了基礎。

學生數(shù)數(shù)的時候，老師要適當?shù)赜媒叹呓o予直觀支持，北京特級教師馬芯蘭提出的“數(shù)位桶”方法就很好，數(shù)到十就捆成一捆兒，放到另一個桶里……十進制的規(guī)則就這樣清晰地建立起來了。倒著數(shù)的時候，就反方向演示。從目前的教材編排和課堂實際看，我們的數(shù)數(shù)活動分量太少了，數(shù)數(shù)的區(qū)間也小，這就阻礙了學生充分感知自然數(shù)列的機會。實踐表明：把數(shù)數(shù)作為一個重要的、長期的教學活動來進行，其綜合效益是令人欣慰的。

讓學生自己創(chuàng)建筆算加法規(guī)則

在孩提時代學習數(shù)學的過程中，我們經(jīng)常有這樣的疑問：為什么筆算加法、減法、乘法要從低位算起，而除法要從高位算起;為什么計算除數(shù)是小數(shù)的除法時，要先把除數(shù)變成整數(shù)，再移動被除數(shù)的小數(shù)點，反過來行不行？英語中有26個字母，方程中的未知數(shù)既不從A開始，也不從末尾的Z開始，偏偏從X開始表示，這是為什么？記得《光明日報》2002年9月3日第二版刊載：水稻專家袁隆平在學生時代也遇到過類似的問題，當他提出“在乘法運算中為什么負負得正”的問題時，得到的回答是：“你只要記住怎樣做即可，不必關(guān)心為什么這樣做?！庇辛藥状晤愃频慕?jīng)歷后，結(jié)局是袁隆平先生放棄了對數(shù)學的追求。這是一個多么可怕的現(xiàn)象：在數(shù)學學習生活中，學生的追根求源、決不放過任何疑問的欲望沒有得到鼓勵和加強，反而，天然的求知欲望被壓抑，我們在數(shù)學學習過程中習得了“不必問為什么”的觀念和習慣。久而久之，言聽計從，人云亦云，個性萎靡，思想麻木，就成為必然的“學習成果”之一。扭轉(zhuǎn)這種局面是課程改革的目的之一。作為教師，要從每一節(jié)課做起，把教材改造成有利于讓學生理解知識是怎樣產(chǎn)生的研究素材;把教學過程變成實踐研究、各抒己見、分享群體智慧的過程。

在具體實施過程中，教師要尊重和順應學生的思維方式，讓他們在潛移默化中形成筆算加法的規(guī)則。學生通過多思路所角度思考，形成自己的見解，并從多種解題思路中選出一種最簡單、最適合自己的計算方式。這是一個創(chuàng)建規(guī)則的過程。同時，在他們思考的過程中，這些規(guī)則和算法也不會再充滿秘密且需要生搬硬套。經(jīng)歷這個遴選過程，有利于增長智慧，強化情感體驗，深化對數(shù)學的理解。關(guān)于乘、除、乘方、開方等運算在此不再贅述。

結(jié)束語

數(shù)學學習從數(shù)數(shù)到法則的創(chuàng)造，以至于加減乘除、乘方、開方等形成運算法則，這正是數(shù)學創(chuàng)造的過程。今天的數(shù)學教育要沿著這條再創(chuàng)造的路線去生成和發(fā)展。

（作者單位：山東省濟南市上新街小學）