線性規(guī)劃在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用

魏云帆 青島五十八中學(xué)

引言：隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)變得越發(fā)激烈，當(dāng)工廠面臨這些挑戰(zhàn)的時(shí)候，在提升自身產(chǎn)品品質(zhì)的同時(shí)，也應(yīng)該注重科學(xué)管理的深入，可以將工廠生產(chǎn)的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，這便需要引入數(shù)學(xué)建模的方法。數(shù)學(xué)模型可將工廠中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，轉(zhuǎn)化為可以直接量化求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而有效地解決生產(chǎn)中的難題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)模型的典型代表，同時(shí)也是運(yùn)籌學(xué)的重要組成部分，被很好地利用在經(jīng)濟(jì)分析、工程管理甚至軍事作戰(zhàn)等多個(gè)方面。在企業(yè)決策層面，線性規(guī)劃可以協(xié)助企業(yè)科學(xué)合理利用物、財(cái)、人等多方面資源，也在幫助工廠提高生產(chǎn)效率、提高經(jīng)濟(jì)效益等方面發(fā)揮了重要作用。文是基于對(duì)線性規(guī)劃這類數(shù)學(xué)模型的深入探索，并通過(guò)對(duì)工廠生產(chǎn)中的相關(guān)原則進(jìn)行學(xué)習(xí)以及搭建工廠生產(chǎn)模型，來(lái)分析線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)中的具體應(yīng)用。

一、基本概念

（一）線性規(guī)劃理論

1.線性規(guī)劃概況

線性規(guī)劃是一種利于科學(xué)管理工廠生產(chǎn)的數(shù)學(xué)方法，主要應(yīng)用于存在線性約束關(guān)系的問(wèn)題，在生產(chǎn)中存在的物料儲(chǔ)備、人力數(shù)量等限制條件下求解選定的目標(biāo)值的最優(yōu)解[1]。常用于求解日常工廠生產(chǎn)中利潤(rùn)最大化、成本最小化等問(wèn)題，資源總是有限的，此時(shí)，如何達(dá)到最高的經(jīng)營(yíng)效率，從而實(shí)現(xiàn)利用有限的資源達(dá)到經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化的目的，就顯得特別重要[2]。線性規(guī)劃為工廠中日常的有效管理提供了十分科學(xué)的數(shù)據(jù)支持。而典型的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型可以總結(jié)成為以下形式[3]：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條

公式中，我們用x來(lái)表示目標(biāo)函數(shù)的自變量，z表示目標(biāo)函數(shù)的因變量，我們把資源限制轉(zhuǎn)化為由若干不等式表示的約束條件，在這些約束條件所構(gòu)成的線性關(guān)系范圍內(nèi)求解z的最大化或者最小化時(shí)x的取值。

2.線性規(guī)劃模型的搭建

第一步：了解相關(guān)企業(yè)的生產(chǎn)背景，明確進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的對(duì)象以及建模的目的：若目標(biāo)值為成本，則最小值即為最優(yōu)解；若目標(biāo)值為利潤(rùn)，則最大值即為最優(yōu)解。

第二步：在生產(chǎn)的基礎(chǔ)上，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)：由于工廠的時(shí)間、財(cái)力、人力、物力以及工人效率等均為有限的資源，因此在取約束條件的時(shí)候應(yīng)充分考慮這些方面的限制。

第三步：建立直角坐標(biāo)系，并確定X、Y軸所代表的量

第四步：根據(jù)約束條件的表達(dá)式，在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域

第五步：畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)線

第六步：在約束范圍內(nèi)，尋找目標(biāo)函數(shù)能夠取得的極大（小）值點(diǎn)，即為問(wèn)題的最優(yōu)解

式中,x為輸出向量,ε為加性噪聲污染。假設(shè)加性噪聲ε符合均值為0,方差為的正態(tài)分布,即則觀察值y的先驗(yàn)分布為

（二）工廠生產(chǎn)中的相關(guān)理論

1.成本

成本是企業(yè)發(fā)展過(guò)程中需要面臨的多種考慮因素中最關(guān)鍵的部分之一。企業(yè)想要實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，很大程度上需要從如何取得成本最小化入手，在價(jià)格上如果能首先占據(jù)優(yōu)勢(shì)地位，才能讓產(chǎn)品整體的發(fā)展有著更大的優(yōu)勢(shì)。而降低成本需要制定嚴(yán)格而且合理的相關(guān)生產(chǎn)制度，結(jié)合企業(yè)的人力、物力、財(cái)力等多方面實(shí)際情況的考慮，同時(shí)也需要保證產(chǎn)品的高質(zhì)量，進(jìn)而達(dá)到成本的最小化。

2.利潤(rùn)

在工廠的一切生產(chǎn)活動(dòng)中，獲利是其最終目的，而實(shí)現(xiàn)這一目的，需要綜合考慮材料、人力、效率等多方面，從而達(dá)到在最短的時(shí)間內(nèi)，以最少的人力，利用有限的物料以及保持最高的生產(chǎn)效率來(lái)獲得利益最大化的目標(biāo)。同時(shí)，在企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程中，還要注意邊際收益和邊際成本的關(guān)系。而想要實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)利潤(rùn)的最大化，其中必要的條件就是邊際收益要與邊際成本相等。

3.經(jīng)濟(jì)效益

在日常的生產(chǎn)生活中，如何實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益的最優(yōu)化是工廠的生產(chǎn)管理所面臨的最核心的問(wèn)題，也是企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)活動(dòng)的最終目標(biāo)。經(jīng)濟(jì)效益是代表生產(chǎn)總值與生產(chǎn)成本的相對(duì)比例，和利潤(rùn)的關(guān)注點(diǎn)不一樣，利潤(rùn)是生產(chǎn)總值減去生產(chǎn)成本得到的值，是絕對(duì)數(shù)額。所以，本質(zhì)上來(lái)看，企業(yè)利潤(rùn)的提高不一定能夠帶來(lái)經(jīng)濟(jì)效益的提升。而為了提升企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，只有當(dāng)成本盡量固定到某個(gè)較低值時(shí)去賺取更多利潤(rùn)，才是提高經(jīng)濟(jì)效益的關(guān)鍵[4]，對(duì)應(yīng)到數(shù)學(xué)問(wèn)題上就是本著“最優(yōu)化”的準(zhǔn)則，在客觀的實(shí)際條件下，尋找生產(chǎn)對(duì)象的“最優(yōu)解”。而找到“最優(yōu)解”必然需要進(jìn)行嚴(yán)密的分析，這便不能脫離數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。因此，應(yīng)在搭建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)量分析，從而實(shí)現(xiàn)效益最優(yōu)化的目標(biāo)。

二、模型搭建

假設(shè)有一家礦泉水生產(chǎn)工廠，生產(chǎn)A、B兩種類型的礦泉水，如果每天生產(chǎn)x瓶的A種礦泉水，y瓶的B種礦泉水，因?yàn)楣S的生產(chǎn)設(shè)備效率有限，且規(guī)定一臺(tái)機(jī)器一天只能生產(chǎn)一種類型的礦泉水（頻繁地更換生產(chǎn)模式會(huì)大大縮短設(shè)備的壽命），每臺(tái)機(jī)器每天只能生產(chǎn)A種礦泉水500瓶或B種礦泉水400瓶。且該工廠設(shè)備數(shù)量有限，每天最多能有20臺(tái)機(jī)器同時(shí)運(yùn)作。每瓶A種礦泉水可以盈利1.4元，每瓶B種礦泉水可以盈利1.7元。根據(jù)多年市場(chǎng)調(diào)查顯示，該廠每天生產(chǎn)的礦泉水總量不得超過(guò)9000瓶，否則會(huì)造成供大于需的狀況。在這種條件下，企業(yè)應(yīng)分別生產(chǎn)A、B種礦泉水多少瓶，才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？

1)生產(chǎn)背景：生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，且產(chǎn)量受設(shè)備效率、數(shù)量、壽命的限制，還受市場(chǎng)的限制；

2)明確自變量：生產(chǎn)x瓶的A種礦泉水，生產(chǎn)y瓶的B種礦泉水；

3)明確目標(biāo)函數(shù)：求利潤(rùn)的最大值，即求z=1.4x+1.7y的最大值；

4)列出所滿足的約束條件：

5)以x為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)次，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)的可行域，以及目標(biāo)函數(shù)線：

c.兩個(gè)可行域重疊的區(qū)域，即為此函數(shù)的可行域。

圖1 線性規(guī)劃求解圖

6)求出利潤(rùn)最大值：

由5)中所框定的范圍當(dāng)Z函數(shù)經(jīng)過(guò)兩條約束條件線的交點(diǎn)（5000，4000）時(shí)可以取得最大值Zmax =13800。

綜上所述，該礦泉水廠通過(guò)線性規(guī)劃模型，在機(jī)器和供給的約束條件下，每天可獲得的最大利潤(rùn)的狀態(tài)是生產(chǎn)5000瓶A種礦泉水和4000瓶B種礦泉水，利潤(rùn)為13800元。

四、實(shí)際意義

根據(jù)上述模型構(gòu)建可知，線性規(guī)劃在工廠的生產(chǎn)中，具有無(wú)可比擬的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。線性規(guī)劃模型具有很強(qiáng)的直觀性，可以通過(guò)圖像來(lái)形象地表示出生產(chǎn)約束和生產(chǎn)目標(biāo)，同時(shí)也可以通過(guò)函數(shù)的幾何意義來(lái)快速判斷最優(yōu)解的取值點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中條件極值點(diǎn)求解的一種思路。因?yàn)橐氆@得利潤(rùn)最大化，其實(shí)就是在求解除了獲得最大利潤(rùn)之外，它在提高經(jīng)濟(jì)效益、適當(dāng)降低成本的方面也能發(fā)揮重要作用。因?yàn)樵谶M(jìn)行線性規(guī)劃的計(jì)算過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)了如何合理地分配有限的資源、不能進(jìn)行極端生產(chǎn)對(duì)于工廠來(lái)說(shuō)十分重要，這是保持工廠可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵，有利于獲得長(zhǎng)期穩(wěn)定的最佳利潤(rùn)[5]。線性規(guī)劃將物資、設(shè)備、時(shí)間、人力等多方面必備的因素充分考慮，從而獲得生產(chǎn)中的最優(yōu)解，進(jìn)一步能使企業(yè)獲得長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展。因此，利用好線性規(guī)劃這個(gè)數(shù)學(xué)工具為促進(jìn)工廠的穩(wěn)定發(fā)展提供了一個(gè)十分有效的思路。