基于粒子群優(yōu)化的板球系統(tǒng)雙閉環(huán)滑模控制

趙聚樂，韓光信

(吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林 吉林 132022)

板球系統(tǒng)是一種典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)[1]，其多變量、非線性、開環(huán)不穩(wěn)定等特性為其控制器設(shè)計帶來了極大困難[2].對于包含伺服系統(tǒng)的板球系統(tǒng)模型，由于其階次較高，部分狀態(tài)變量不可測，直接以伺服系統(tǒng)的輸入電壓為控制量的單回路控制方案極難實行，相比之下，以伺服系統(tǒng)的角度控制為內(nèi)環(huán)和以小球的位置控制為外環(huán)的雙閉環(huán)控制方案更具有可行性，且受廣大研究者的青睞.板球系統(tǒng)的伺服系統(tǒng)可通過PI控制實現(xiàn)調(diào)速角度控制，對于板球系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定特性，可通過PD控制[3]、LQR控制等算法設(shè)計位置控制器[4]，但傳統(tǒng)PD控制控制精度有限且參數(shù)整定過程繁瑣，并且在板球系統(tǒng)受到摩擦、噪聲等外界干擾時不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；LQR的控制效果依賴于狀態(tài)反饋權(quán)值矩陣的選擇，不易實現(xiàn)精準(zhǔn)控制；自抗擾控制與控制能夠有效地克服系統(tǒng)擾動[5-6]，但前者需整定參數(shù)較多，后者需依靠精確線性模型推導(dǎo)，均不是最理想選擇.滑模變結(jié)構(gòu)控制可使系統(tǒng)沿特定軌跡小幅度運動，設(shè)計過程與系統(tǒng)參數(shù)變化和擾動無關(guān)，具有強(qiáng)魯棒性，且設(shè)計過程簡便，便于實際應(yīng)用.

針對上述問題，在板球系統(tǒng)簡化模型的基礎(chǔ)上，基于Lyapunov理論設(shè)計了滑?？刂破鳎岣吡税迩蛳到y(tǒng)的穩(wěn)定性與抗干擾能力，對于滑模控制可能出現(xiàn)的抖振問題，選用粒子群算法優(yōu)化滑模趨近律參數(shù)和滑模界面參數(shù)，有效地消減了滑模抖振，并且提高了系統(tǒng)的控制精度.

1 板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 運動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

圖1為加拿大Quanser公司生產(chǎn)的板球系統(tǒng).通過兩個直流伺服系統(tǒng)提供轉(zhuǎn)矩，推動平板轉(zhuǎn)動，使小球在平板上滾動.通過攝像頭采集小球位置，以光電編碼器、電位計為傳感器測量伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速與負(fù)載角度，將所測量的變量作為反饋，調(diào)整小球位置.板球系統(tǒng)實驗臺如圖1所示.

圖1 板球系統(tǒng)實驗臺

板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可由拉格朗日方程推導(dǎo)得出，以平板角度為輸入的模型如式(1)所示[7].

(1)

(2)

其中，B=m/(m+Ibr2)，Ib=2mr2/5.f1=f2=Bfx/m，為系統(tǒng)x、y兩方向所受的綜合擾動.

1.2 伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

伺服系統(tǒng)由直流電機(jī)與齒輪傳動部分組成，通過直流運動方程與齒輪傳動關(guān)系建立伺服系統(tǒng)運動方程組，聯(lián)立可以得到負(fù)載轉(zhuǎn)速與電壓方程關(guān)系為[9]：

J1(dωl/dt)+B1ωt=Av，

(3)

其中，J1為伺服系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)動慣量，ω1為伺服系統(tǒng)負(fù)載轉(zhuǎn)速，B1為伺服系統(tǒng)阻尼系數(shù)，A為等電壓系數(shù)，v輸入電壓.負(fù)載轉(zhuǎn)速與負(fù)載角度為θ導(dǎo)數(shù)關(guān)系，負(fù)載角度與平板角度之間可以近似為比例關(guān)系，比例系數(shù)為l，以x方向為例，伺服系統(tǒng)以電壓為輸入，平板輸入角度為輸出的模型如式(4)所示.

(4)

2 位置控制器設(shè)計

2.1 控制方案

由于板球系統(tǒng)關(guān)于平板中心對稱，因此可對系統(tǒng)在x、y兩方向上單獨設(shè)計控制器控制.首先，根據(jù)測量得到的小球位置x、y和目標(biāo)位置xd、yd設(shè)計位置控制器，產(chǎn)生理想的平板旋轉(zhuǎn)角度αd與βd，根據(jù)αd、βd和實際平板旋轉(zhuǎn)角度α與β設(shè)計角度控制器，產(chǎn)生控制電壓V1與V2，調(diào)節(jié)伺服系統(tǒng)的輸出角度α與β，作為板球系統(tǒng)的輸入，實現(xiàn)小球位置控制.綜上所述，確定了板球系統(tǒng)的“分布式-雙閉環(huán)”控制方案，如圖2所示.

圖2 “分布式-雙閉環(huán)”控制方案

2.2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器

滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定狀態(tài)軌跡上下做小幅度、高頻率運動的一種控制，滑模控制的規(guī)定狀態(tài)軌跡被稱為滑模界面，可以人為設(shè)定，與被控對象參數(shù)及外部擾動無關(guān).因此，滑?？刂凭哂锌焖夙憫?yīng)、魯棒性強(qiáng)的特點.

以板球系統(tǒng)x方向子系統(tǒng)為例，設(shè)定小球控制目標(biāo)為xd，則系統(tǒng)誤差為如下：

e=x-xd

(5)

則滑模面為：

(6)

(7)

(8)

在控制過程中，由于系統(tǒng)狀態(tài)軌跡沿滑模界面不斷切換，會造成抖振，因此選擇滑模指數(shù)趨近律，通過調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)減消抖振[11].滑模切換控制律為：

usw=(-ks-ηsgn(s))/(-Bg)

(9)

則滑?？偪刂坡蔀椋?/p>

u=ueq+usw

(10)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

V=s2/2

(11)

(12)

2.3 粒子群算法優(yōu)化參數(shù)

滑模界面參數(shù)c跟控制器的響應(yīng)速度有關(guān)，趨近律參數(shù)中k與趨近速度有關(guān)，較大的η會引起滑模抖振.因此需要綜合整定3個參數(shù)使控制效果達(dá)到最佳.粒子群算法具有在全局范圍內(nèi)的尋優(yōu)能力，因此可以用來優(yōu)化控制器參數(shù).為使系統(tǒng)偏差與控制輸入同時收斂為零，選取由誤差e與控制輸入u構(gòu)成的積分型性能指標(biāo)，如式(13)所示，通過求其極小值來優(yōu)化滑模控制器參數(shù).

(13)

粒子群優(yōu)化參數(shù)算法流程如圖3所示，其步驟如下：

(1)初始化粒子的位置與速度；

(2)將粒子群中的粒子賦值給控制器參數(shù)c、k和η，通過Simulink模型與式(13)計算性能指標(biāo)值，性能指標(biāo)值即為粒子適應(yīng)值；

(3)將每個粒子適應(yīng)值與其最優(yōu)位置適應(yīng)值比較，若較好，將其作為當(dāng)前適應(yīng)值；

(4)每個粒子當(dāng)前適應(yīng)值與種群最優(yōu)位置適應(yīng)值比較，若較好，將其當(dāng)前群體適應(yīng)值；

(5)判斷是否滿足最大迭代次數(shù)與適應(yīng)值下限，若是，退出算法，否則更新每個粒子速度與位置，返回步驟(2)并重復(fù)算法.

圖3 粒子群優(yōu)化參數(shù)流程圖

3 仿真分析

根據(jù)實驗裝置指導(dǎo)書，板球系統(tǒng)參數(shù)B=0.715、g=9.81 N/kg，平板傾斜角度最大范圍為±0.088arc，伺服系統(tǒng)參數(shù)J1=0.002 13 kg/m-2，B1=0.084 4 N·m/(rad/s)，A=0.129 N·m/v，干擾f1、f2上限選為0.5.伺服系統(tǒng)控制器選擇PI控制，經(jīng)過粒子群優(yōu)化，其參數(shù)為Kp=800，Ki=0.1；位置控制器選擇滑?？刂?，粒子群算法最大迭代次數(shù)為25，種群規(guī)模為30；設(shè)小球初始位置為[0.15,0.15]，跟蹤如式(14)所示的倒“8”字型曲線.并與通過粒子群優(yōu)化得到參數(shù)為Kp=3，Kd=0.5的PD位置控制器作比較，粒子群適應(yīng)值變化如圖4所示，軌跡跟蹤比較如圖5所示，滑?？刂婆cPD控制的控制輸入如圖6所示.

x=0.1sin0.5t

y=0.1sint

(14)

迭代次數(shù)/次圖4 適應(yīng)值變化曲線

x方向位置/m圖5 倒“8”字軌跡跟蹤曲線

時間/s圖6 位置控制器控制輸入

跟蹤倒“8”字形曲線過程中，在t=10 s時刻，分別在小球運動x方向與y方向施加0.03 m的位置干擾，通過觀察在干擾處的曲線變化來測試滑?？刂破鞯聂敯粜?，并與傳統(tǒng)PD控制作比較，仿真結(jié)果如圖7所示.

x方向位置/m圖7 位置干擾下的曲線

由圖4可知，粒子群適應(yīng)值隨著迭代次數(shù)增加，穩(wěn)定收斂到一極小值.圖5顯示，滑模控制下的曲線與目標(biāo)曲線基本重合，與PD控制相比，其能更快速準(zhǔn)確地跟蹤上目標(biāo)曲線，并趨于穩(wěn)定.圖6顯示，與PD控制相比，滑?？刂祈憫?yīng)速度更快，達(dá)到穩(wěn)定的時間更短，且控制輸入快速趨近于零，幾乎無抖動.由圖7可知，在系統(tǒng)受擾動時，相較于PD控制，滑?？刂葡碌能壽E波動較小，具有更強(qiáng)的抗干擾能力.

4 結(jié) 論

本文主要使用滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計了板球系統(tǒng)位置控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制，提高了系統(tǒng)的魯棒性.仿真實驗表明，對于滑模控制常見的抖振問題，選用指數(shù)趨近律效果明顯，使用粒子群算法優(yōu)化趨近律能更好地調(diào)和滑?？刂浦休^快趨近速度與產(chǎn)生滑模抖振二者之間的矛盾，產(chǎn)生最優(yōu)的控制效果.