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    梯度下降算法研究綜述

    2020-03-23 05:56李興怡岳洋
    軟件工程 2020年2期
    關(guān)鍵詞:優(yōu)化算法機(jī)器學(xué)習(xí)

    李興怡 岳洋

    摘 ?要:在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中,梯度下降算法是一種廣泛用于求解線性和非線性模型最優(yōu)解的迭代算法,它的中心思想在于通過(guò)迭代次數(shù)的遞增,調(diào)整使得損失函數(shù)最小化的權(quán)重。本文首先概述了基于多元線性模型的梯度下降算法;其次介紹了梯度下降算法三種框架,使用Python實(shí)現(xiàn)了自主停止訓(xùn)練的BGD算法;針對(duì)梯度下降算法存在的不足,綜述了近三年算法優(yōu)化的研究成果。最后,總結(jié)了本文的主要研究工作,對(duì)梯度下降優(yōu)化算法的研究趨勢(shì)進(jìn)行了展望。

    關(guān)鍵詞:機(jī)器學(xué)習(xí);多元線性模型;梯度下降算法;算法實(shí)現(xiàn);優(yōu)化算法

    中圖分類(lèi)號(hào):TP181 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    1 ? 引言(Introduction)

    在求解機(jī)器學(xué)習(xí)中無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的方法中,優(yōu)化方法是必不可少的一環(huán)。傳統(tǒng)的方法是使用最小二乘法計(jì)算解析解,但有時(shí)面臨著模型更復(fù)雜且樣本量龐大的問(wèn)題,當(dāng)樣本個(gè)數(shù)大于特征個(gè)數(shù)時(shí),問(wèn)題便轉(zhuǎn)換為求解超定方程組的問(wèn)題,相比使用最小二乘法求解大維數(shù)逆矩陣的方法,采用梯度迭代的梯度下降算法[1]更具備優(yōu)勢(shì)。本文闡述了梯度下降算法在步進(jìn)迭代過(guò)程中,梯度下降方向與學(xué)習(xí)率對(duì)算法的收斂起著至關(guān)重要的作用,前者確定了尋找最優(yōu)解的方向,后者它決定了算法達(dá)到最優(yōu)解所采取的每一步的大小。

    考慮到存在非線性數(shù)據(jù)的可能,因此采用多項(xiàng)式模型更具備泛化能力。在實(shí)際應(yīng)用中,可以將多項(xiàng)式中每個(gè)特征的冪次方定義為新特征,轉(zhuǎn)換為多元線性模型。為了簡(jiǎn)化模型,本文將基于多元線性模型對(duì)梯度下降算法進(jìn)行展開(kāi)。

    2 ?梯度下降算法原理與實(shí)現(xiàn)(Basic theory and implementation of gradient descent algorithm)

    2.1 ? 梯度下降算法概念

    假設(shè)多元線性回歸模型:

    其中,是因變量(預(yù)測(cè)值),是特征的數(shù)量,是第個(gè)自變量(特征值),是第個(gè)模型參數(shù)(包括偏置與特征參數(shù)),是組合的轉(zhuǎn)置向量,是由()組成的特征列向量。

    針對(duì)實(shí)例,訓(xùn)練模型(1)的過(guò)程就是求解直至模型(1)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合程度最佳的過(guò)程,每一次訓(xùn)練都會(huì)得到擬合值和真實(shí)值的差值,即損失值,這個(gè)值用于評(píng)估模型擬合程度,值越小表示擬合程度越好。

    在多元線性回歸中,將均方誤差(Mean Square Error,MSE)作為損失函數(shù):

    其中,為學(xué)習(xí)率,也稱為尋優(yōu)步長(zhǎng)。通過(guò)公式(4)求得下一次迭代的模型參數(shù),將結(jié)果帶入公式(1)求得下一次的預(yù)測(cè)值,這就是梯度下降算法的迭代過(guò)程。

    2.2 ? 梯度下降算法框架

    根據(jù)每次更新模型參數(shù)使用的樣本數(shù)量大小,梯度下降算法有三種實(shí)現(xiàn)框架:批量梯度下降算法、隨機(jī)梯度下降算法和小批量梯度下降算法。

    批量梯度下降算法(Batch Gradient Descent, BGD)基于整批訓(xùn)練數(shù)據(jù)計(jì)算每一步損失函數(shù),相當(dāng)于對(duì)公式(3)做一次性計(jì)算,記作:

    相比于BGD的損失函數(shù)總是緩慢降低至最小值,SGD的梯度方向是反復(fù)振蕩的,從全局上看,隨著迭代次數(shù)的增加,它還是會(huì)接近最小值。

    小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent, MBGD)既不是基于完整的訓(xùn)練集也不是基于單個(gè)實(shí)例,它則是折中于BGD和SGD,對(duì)于每一次迭代基于小部分隨機(jī)的實(shí)例來(lái)計(jì)算梯度:

    公式(7)表示每一次迭代隨機(jī)從第個(gè)樣本開(kāi)始,選取個(gè)小批量樣本計(jì)算梯度。

    BGD盡管會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間來(lái)計(jì)算每一步,但是在模型參數(shù)空間里,它最終會(huì)停在最小值上。與之相反的是SGD,訓(xùn)練速度極快,并且能迅速到達(dá)最小值附近,但卻不是最優(yōu)解。如果不設(shè)置迭代次數(shù),SGD會(huì)不停游走于最小值附近。正因?yàn)镾GD隨機(jī)的性質(zhì),因此它可用于海量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)且有利于跳出局部最優(yōu),搜索全局最優(yōu)。MBGD則綜合了BGD和SGD的優(yōu)點(diǎn),當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)較大時(shí),它不像SGD那么不穩(wěn)定,會(huì)比SGD更接近最小值。

    2.3 ? 梯度下降算法實(shí)現(xiàn)

    要實(shí)現(xiàn)梯度下降算法,迭代次數(shù)往往很難把握,對(duì)此解決的方法是:暫且不設(shè)置迭代次數(shù),當(dāng)損失函數(shù)的改變量(即梯度的模)小于容差時(shí)中斷算法,這時(shí)梯度下降幾乎到達(dá)了最小值。相應(yīng)算法流程如下:

    (1)初始化模型參數(shù),步長(zhǎng),容差;

    (2)計(jì)算當(dāng)前位置的損失函數(shù)的梯度,

    (3)若,算法終止,當(dāng)前為最終結(jié)果。否則轉(zhuǎn)4);

    (4)根據(jù)更新模型參數(shù),轉(zhuǎn)(2)。

    根據(jù)算法流程,使用Python編寫(xiě)B(tài)GD算法如圖1所示。

    為了證明所設(shè)計(jì)的算法能夠在正確的維度關(guān)系基礎(chǔ)上任意初始化模型特征個(gè)數(shù)、參數(shù)個(gè)數(shù)和訓(xùn)練數(shù)據(jù)的維度,算法開(kāi)始前導(dǎo)入了numpy,用于初始化模型參數(shù)theta和訓(xùn)練集(x,y_real),步長(zhǎng)alpha和容差e可根據(jù)情況自行設(shè)置。算法最后五次迭代結(jié)果如圖2所示。

    3 ?梯度下降算法研究進(jìn)展(Research advances of gradient descent algorithm)

    確定學(xué)習(xí)率和選擇尋優(yōu)方向是梯度下降算法研究的核心。經(jīng)過(guò)近三年的相關(guān)研究,國(guó)內(nèi)外已經(jīng)取得大量研究成果,研究主要涵蓋以下兩個(gè)方面:(1)梯度下降算法的學(xué)習(xí)率相關(guān)研究提高了算法的收斂速度,解決了非凸目標(biāo)函數(shù)陷入局部次優(yōu)的問(wèn)題;(2)基于動(dòng)量和方差縮減的SGD相關(guān)研究解決了SGD的不穩(wěn)定性。

    3.1 ? 模型的目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題

    由于多元線性模型的損失函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù),不存在波峰與波谷,意味著只存在一個(gè)全局最小值,不存在局部最小值,雖然這可以解決算法容易陷入局部最小值的問(wèn)題,但是機(jī)器學(xué)習(xí)中的模型種類(lèi)繁多,目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜,使用梯度下降法的效果并不是很好。

    在目標(biāo)函數(shù)非凸的情況下,Huo,Z.等[2]首次基于非凸優(yōu)化方差約簡(jiǎn)的異步小批量梯度下降算法的收斂速度進(jìn)行了理論分析。異步隨機(jī)梯度下降法(AsySGD)已廣泛應(yīng)用于深度學(xué)習(xí)優(yōu)化問(wèn)題,并證明了其在非凸優(yōu)化問(wèn)題中的收斂速度為。結(jié)果表明,當(dāng)問(wèn)題為強(qiáng)凸時(shí),采用變約簡(jiǎn)技術(shù)的異步SGD方法具有線性收斂速度。但是,對(duì)于非凸問(wèn)題,近年來(lái)對(duì)該方法的收斂速度還沒(méi)有進(jìn)行分析。Huo,Z.等考慮了兩種具有變異減少的小批量梯度下降法的異步并行實(shí)現(xiàn):一種是分布式內(nèi)存架構(gòu),另一種是共享內(nèi)存架構(gòu),并且證明了對(duì)于非凸優(yōu)化問(wèn)題,兩種方法均能以的速度收斂。

    在模型非線性的情況下,Simon S.Du等[3]證明了訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠得到全局最小值。研究表明了對(duì)于具有殘差關(guān)聯(lián)的超參數(shù)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),梯度下降在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)達(dá)到零訓(xùn)練損失,這依賴于由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所誘導(dǎo)出的Gram矩陣的特殊結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)證明Gram矩陣在整個(gè)訓(xùn)練過(guò)程中是穩(wěn)定的,這種穩(wěn)定性意味著梯度下降算法的全局最優(yōu)性。研究進(jìn)一步將分析擴(kuò)展到殘差深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并且得到了相似的收斂結(jié)果。

    此外,J.Flieg等[4]提出了一些一階光滑多目標(biāo)優(yōu)化方法,并證明了這些方法在某種形式上具有一階臨界全局收斂性。分析了光滑無(wú)約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的梯度下降收斂速度,并用于非凸、凸、強(qiáng)凸向量函數(shù)。這些全局速率與單目標(biāo)優(yōu)化中的梯度下降率相同,并且適用于最壞復(fù)雜度界限的情況。

    3.2 ? 學(xué)習(xí)率問(wèn)題

    從前面算法的介紹可以得知:如果學(xué)習(xí)率太低,算法需要經(jīng)過(guò)大量的迭代后才能收斂,這將會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間;反之,算法可能會(huì)陷入局部而無(wú)法搜索到全局最小值,甚至搜索結(jié)果會(huì)大于初始值,必然導(dǎo)致算法發(fā)散。另外,模型參數(shù)的每個(gè)更新都設(shè)置同一個(gè)學(xué)習(xí)率也不利于搜索全局最優(yōu)。當(dāng)前的解決思路之一通過(guò)制定學(xué)習(xí)率規(guī)劃(Learning Rate Schedules):算法開(kāi)始的學(xué)習(xí)率較大,這有助于跳出局部最優(yōu),后來(lái)在每次迭代中逐漸減小,慢慢搜索全局最小值。但是更多的研究聚焦在學(xué)習(xí)率自適應(yīng)性的問(wèn)題上。

    王功鵬等[5]在解決CNN中學(xué)習(xí)率設(shè)置不恰當(dāng)對(duì)SGD算法的影響,提出了一種學(xué)習(xí)率自適應(yīng)SGD的優(yōu)化算法,該算法隨著迭代使得學(xué)習(xí)率呈現(xiàn)周期性的改變。研究結(jié)果表明,通過(guò)將這種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率優(yōu)化算法與所選擇的激活函數(shù)相結(jié)合,可以加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型收斂速度,提升CNN的學(xué)習(xí)準(zhǔn)確率。

    嚴(yán)曉明[6]在使用梯度下降解決logistic回歸模型分類(lèi)問(wèn)題時(shí),提出一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的調(diào)整方法:在不引入新模型參數(shù)的同時(shí),根據(jù)樣本數(shù)據(jù)集分類(lèi)準(zhǔn)確率的變化對(duì)學(xué)習(xí)率進(jìn)行更新。在梯度下降稍快時(shí),增大學(xué)習(xí)率以加快收斂速率,反之則減小學(xué)習(xí)率以減少算法最優(yōu)解附近的振蕩。

    相比于使用固定學(xué)習(xí)率的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),朱振國(guó)等[7]提出基于權(quán)重變化的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率更新方法,改進(jìn)了傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受人為因素限制的缺陷,證明了改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更快的收斂速度和更高的誤差精度。

    3.3 ? 基于動(dòng)量和方差縮減的SGD優(yōu)化

    由于SGD的振蕩性,因此目標(biāo)參數(shù)會(huì)在目標(biāo)函數(shù)的最小值附近游走,這樣的情況下,動(dòng)量(Momentum)在隨機(jī)梯度下降距離中加入上一次迭代動(dòng)量更新項(xiàng),將它作為更新模型參數(shù)的下降距離,即:

    其中,為動(dòng)量超參數(shù)。這意味著在更新模型參數(shù)累積了前面所有的動(dòng)量,對(duì)于當(dāng)前梯度方向與上一次梯度方向一致的參數(shù),下降速度越來(lái)越快,反之則速度減慢,因此動(dòng)量可以加快收斂速度并減少振蕩。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)非光滑優(yōu)化問(wèn)題,程禹嘉等[8]通過(guò)靈活設(shè)置步長(zhǎng),證明了由Polyak提出的Heavy-ball型動(dòng)量方法具有最優(yōu)的單個(gè)收斂速率,從而證明了Heavy-ball型動(dòng)量方法可以將投影子梯度方法的個(gè)體收斂速率提高至最優(yōu)。

    由于每一次迭代的梯度下降非???,在損失函數(shù)由凸轉(zhuǎn)為凹時(shí)會(huì)迅速選擇凹的路段,因此涅斯捷羅夫梯度加速(Nesterov Accelerated Gradient,NAG)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了優(yōu)化,它在計(jì)算模型參數(shù)梯度時(shí),在損失函數(shù)中減去了動(dòng)量項(xiàng),估計(jì)了下一次參數(shù)的所在位置:

    針對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在的問(wèn)題,景立森等[9]在NAG動(dòng)量更新的基礎(chǔ)上,建立了一種基于黃金比例動(dòng)量確定隱層神經(jīng)元的加速梯度策略,并應(yīng)用于MNIST手寫(xiě)字體識(shí)別,取得了較好的收斂速度和預(yù)測(cè)評(píng)估結(jié)果。

    改進(jìn)的隨機(jī)方差消減梯度法(Stochastic Variance Reduction Gradient,SVRG)可以解決SGD因受到噪聲干擾只能達(dá)到次線性收斂率問(wèn)題,王建飛等[10]設(shè)計(jì)了一種基于SVRG算法思想的分布式實(shí)現(xiàn)算法topkSVRG:在每次迭代時(shí),收斂速率隨著參數(shù)k的遞增而增加,k的減小可以保證算法收斂。研究理論分析了算法的線性收斂性,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)相關(guān)算法的進(jìn)行比較,證明topkSVRG算法有良好的高精度收斂性。張晉晶[11]提出了移動(dòng)隨機(jī)方差消減算法,將梯度移動(dòng)的平均值作為平均梯度,該算法在學(xué)習(xí)率很大的情況下,依然能夠保證分類(lèi)的準(zhǔn)確率。

    4 ? 結(jié)論(Conclusion)

    本文采用多元線性模型對(duì)梯度下降算法的原理進(jìn)行了簡(jiǎn)要的概括,對(duì)三種不同的框架設(shè)計(jì)了算法實(shí)現(xiàn)流程,使用Python實(shí)現(xiàn)了可以自主停止訓(xùn)練的BGD算法。本文的重點(diǎn)在于分別從梯度下降算法的非凸目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題、學(xué)習(xí)率問(wèn)題、SGD的游走問(wèn)題三個(gè)方面對(duì)梯度下降算法近三年的研究進(jìn)行了綜述。最后總結(jié)了SGD優(yōu)化算法的特點(diǎn),可以根據(jù)模型特點(diǎn)參考對(duì)應(yīng)的算法。由于SGD的訓(xùn)練速度非常快,因此SGD改進(jìn)算法是當(dāng)前十分熱門(mén)的梯度下降算法優(yōu)化方向,具有廣闊的研究前景。

    參考文獻(xiàn)(References)

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    作者簡(jiǎn)介:

    李興怡(1993-),男,碩士生.研究領(lǐng)域:機(jī)器學(xué)習(xí).

    岳 ? ?洋(1992-),女,碩士生.研究領(lǐng)域:優(yōu)化方法.

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