基于輔助數(shù)據(jù)的OFDM 時間同步算法①

汪 瑩, 張珮明, 施 展, 王 勁, 李家樑, 王潮雄

1(廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司 電力調(diào)度控制中心, 廣州 510600)

2(廣東省電信規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司, 廣州 510630)

3(華南理工大學(xué), 廣州 510641)

引言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)是一種應(yīng)用十分廣泛的高速無線通信技術(shù), 已經(jīng)寫入多個無線通信標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中, 例如: WiFi、WiMax 和LTE 等.OFDM 將寬帶系統(tǒng)劃分成多個相互正交的窄帶子信道, 只需要在每個子信道上進(jìn)行簡單的單抽頭均衡就可克服信道的頻率選擇性問題, 實(shí)現(xiàn)高譜效的通信.OFDM 系統(tǒng)的對時間同步誤差非常敏感, 必須為其設(shè)計(jì)可靠的同步方法[1].通常, OFDM 系統(tǒng)中的定時方法分為兩類: 盲方法和基于輔助數(shù)據(jù)的方法.考慮到基于輔助數(shù)據(jù)方法在可靠性和計(jì)算復(fù)雜度方面都均優(yōu)于盲同步算法, 本文研究基于輔助數(shù)據(jù)的定時同步算法.

在文獻(xiàn)[2]中, Schmidl 等提出了一種基于二段重復(fù)前導(dǎo)的定時和頻率估計(jì)方法, 算法計(jì)算復(fù)雜度低且魯棒性好.然而, 其定時測度函數(shù)中存在一個平臺, 使定時均方誤差較大.為了提高定時準(zhǔn)確性, Minn 等在文獻(xiàn)[3]中通過將長度等于循環(huán)前綴的矩形與Schmidl的定時測度作卷積消除了測度函數(shù)中的平臺.Shi 等[4]擴(kuò)展了Minn 的方法并利用所有可能的自相關(guān)乘積項(xiàng)來獲得更高的精度.然而, 由于定時測度函數(shù)存在旁瓣,文獻(xiàn)[3]和[4]所提方法的估計(jì)精度仍然受限.在文獻(xiàn)[5]中, Park 等提出了一種由兩個對稱部分組成的輔助數(shù)據(jù)前導(dǎo), 通過對稱自相關(guān)操作, 得到一個非常尖銳的定時測度.文獻(xiàn)[2-5]所提算法都是基于自相操作運(yùn)算, 這些算法對接收機(jī)的載波偏移不敏感且實(shí)現(xiàn)簡單.

在文獻(xiàn)[6-8]中, 幾種基于本地輔助數(shù)據(jù)與接收信號互相關(guān)操作的同步算法被提出, 這些算法的定時測度函數(shù)都具呈脈沖狀.文獻(xiàn)[6,7]的方法容易受到載波頻偏的影響.文獻(xiàn)[8]所提出的定時算法具備對抗微小頻偏的能力, 但當(dāng)頻偏絕對值大于子載波間隔時, 算法不能穩(wěn)健工作.

繼自相關(guān)類算法與互相關(guān)類算法之后, 多個基于自相關(guān)和互相關(guān)相結(jié)合的算法被提出[9-11].文獻(xiàn)[9]提出了一種偽噪聲序列加權(quán)的輔助序列, 利用輔助序列特定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)定時算法, 顯著提高了定時偏移估計(jì)的準(zhǔn)確性.在文獻(xiàn)[10,11]中, Abdzadeh-Ziabari 等和Liu 等提出了一種與輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)無關(guān)的定時算法, 相關(guān)操作中所采用的乘積項(xiàng)數(shù)大大超過了其之前的算法, 使得定時精度大大增強(qiáng).值得說明的是, 文獻(xiàn)[11]的算法與文獻(xiàn)[10]中的算法基本思想相同, 定時精度也一樣, 但前者計(jì)算復(fù)雜度更低.

為了進(jìn)一步提高定時同步的性能, 本文研究基于最大似然 (Maximum-Likelihood, ML)準(zhǔn)則的定時算法.在文獻(xiàn)[12-14]中, 已經(jīng)提出了幾種ML 定時算法, 文獻(xiàn)[12,13]中的ML 估計(jì)器利用了輔助數(shù)據(jù)循環(huán)前綴中包含的冗余信息, 因而它們不適用于沒有循環(huán)前綴的OFDM 系統(tǒng), 例如零前綴OFDM.文獻(xiàn)[14]中的ML 估計(jì)器則依賴于具有多段重復(fù)結(jié)構(gòu)的輔助數(shù)據(jù).與現(xiàn)有的ML 定時算法不同, 本文研究獨(dú)立于輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定時算法, 在無線通信工程中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

1 信號模型

在OFDM 系統(tǒng)中, 發(fā)射機(jī)基帶輸出端的復(fù)值抽樣信號可以表示為:

其中, n 是時域抽樣索引, N是子載波總數(shù), Nuse是活動的子載波數(shù), Xk表示第k 個子載波上的調(diào)制數(shù)據(jù)符號.在實(shí)際應(yīng)用中, x(n)是通過逆快速傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transformation, IFFT)計(jì)算的.為了避免多徑信道中的 符號間干擾(Inter-Symbol Interference,ISI)和載波間干擾(Inter-Carrier Interference, ICI), x(n)前面附加長度為G 的循環(huán)前綴, 如下所示:

其中, 循環(huán)前綴的長度應(yīng)長于信道脈沖響應(yīng)的可能長度.

參考文獻(xiàn)[12,14]的做法, 本文在平坦衰落信道下推導(dǎo)ML 定時算法.所得算法在頻率選擇性信道下的性能將在算法仿真環(huán)節(jié)進(jìn)行充分評估.經(jīng)過平坦衰落信道后的接收信號可以表示為:

其中, τ是時間偏移量, ε是被子載波間隔歸一化后的載波頻偏, θ是相位偏移, ω (n) 是均值為零, 方差為的加性高斯白噪聲.

假設(shè)一個機(jī)基于幀傳輸?shù)腛FDM 系統(tǒng), 每個信號幀由輔助數(shù)據(jù)和M-1 個OFDM 符號組成.輔助數(shù)據(jù)位于幀的起始處, 用向量表示為 S= [s0,s1,···,sN-1], 其中sk是S 的第k 個元素.

2 同步算法

2.1 ML 同步

不失一般性, 將接收到的與數(shù)據(jù)幀等長的抽樣序列表示為:

其中, r(0) 和 r(τ)分別表示接收信號的第一個抽樣和輔助數(shù)據(jù)的起始點(diǎn).考慮到循環(huán)前綴對互相關(guān)類算法性能影響不大, 為了使理論分析更為直觀, 下面的推導(dǎo)過程將忽略循環(huán)前綴.然后, 接收信號抽樣可以看作由(M-1)N 個數(shù)據(jù)抽樣點(diǎn)和 N輔助數(shù)據(jù)抽樣構(gòu)成, 其索引分 別 為 Ip={n|τ ≤n ＜τ+N} 和Id={n|0 ≤n ＜τ}∪{n|τ+N ≤n ＜MN}. 當(dāng) N足夠大時, 這些數(shù)據(jù)抽樣可以視為隨機(jī)過程, 具體來說, 抽樣點(diǎn)間相互獨(dú)立, 且同服從復(fù)高斯分布, 方差為零, 方差為其中是x(n)的方差).因此, 在給定τ、ε和θ 的情況下, r (n)的條件概率密度函數(shù)可以表示為:

因而, τ、ε和θ 3 個參數(shù)的最佳估計(jì)能夠通過最大化自然對獲得, 現(xiàn)定義:

通過將式(5)和式(6)代入式(7)中, 忽略其中的常數(shù)項(xiàng)并乘以一個復(fù)常數(shù)得到如下簡化的似然函數(shù):

不難發(fā)現(xiàn), 對于任意給定的 τ 和ε, 式(9)的右邊可以最大化為:

其條件是:

其中, ∠表示對復(fù)數(shù)取復(fù)角操作.因此, 可以忽略式(11)中的常數(shù)c 來獲得參數(shù) (τ,ε)的最佳估計(jì):

在載波頻偏可以被忽略的OFDM 應(yīng)用中, 例如數(shù)字用戶線(Digital Subscriber Line, DSL), 此時式(14)給出的時偏和頻偏的聯(lián)合估計(jì) (τo,εo)可簡化為時間偏移估計(jì).該時偏的估計(jì)可以通過搜索使[r(τ),r(τ+1),···,r(τ+N-1)]達(dá) 到峰值的τ 獲得.當(dāng)CFO 不確定的時候,式(14)中的(τo,εo)估計(jì)值需通過二維聯(lián)合搜索來獲得,由于ε 是連續(xù)變量, 該聯(lián)合搜索的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度很高.

2.2 簡化的同步算法

可以發(fā)現(xiàn), 式(14)右邊絕對值符號內(nèi)的操作在本質(zhì)上是對信號在頻率 2πε /N上做時間離散傅里葉變換(Discrete-Time Fourier Transformation, DTFT).另一方面, 離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)是DTT 在頻域的等距采樣.同時注意到, 對于一個具有 N個采樣點(diǎn)的時域信號, 其N 點(diǎn)DFT 與其DTFT所包含的信息完全相同.基于上述事實(shí), 本文提出了如下近似最優(yōu)的定時算法:

其中,

是定時測度函數(shù).

2.3 算法復(fù)雜度分析

除了定時精度, 算法的計(jì)算復(fù)雜度也具有重要的工程意義.這里通過比較不同時偏估計(jì)器的定時測度函數(shù)所需的乘法和加法的數(shù)量來評估同步算法的復(fù)雜性.在OFDM 系統(tǒng)中, 子載波數(shù)總是設(shè)置為2 的整數(shù)次冪, 以便于使用FFT/IFFT 操作來實(shí)現(xiàn)信號的調(diào)制與解調(diào).因此, 式(16)中的DFT 也可以通過FFT 來實(shí)現(xiàn),這極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度.

為了使分析更為直觀, 重寫式(16)給出的定時測度函數(shù)如下:

其中,

其中, ?表示矩陣的哈達(dá)瑪乘積, 即對兩個矩陣中相同位置的元素相乘, ( ·)H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置操作.

接下來評估對于給定的考察點(diǎn) d獲得其對應(yīng)的定時測度 M( d)(見式(17)所需要的計(jì)算復(fù)雜度.首先是接收信號與本地導(dǎo)言的互相關(guān)操作, 通過對接收信號向量 Rd與 本地輔助數(shù)據(jù) S作哈達(dá)瑪乘實(shí)現(xiàn), 該操作需要運(yùn)用 N次復(fù)數(shù)乘法; 然后是將得到的序列從時域變換到頻域, 通過 N 點(diǎn)FFT 實(shí)現(xiàn), 需要 0.5 Nlog2N次復(fù)數(shù)乘法和 Nl og2N 次復(fù)數(shù)加法; 最后, N 次復(fù)數(shù)乘法和 N- 1復(fù)數(shù)加法用來從得到的頻域向量中搜索最大元素.因此, 對于任意給定的 d , 計(jì)算 M( d)所需要的復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法的總數(shù)分別為 N( 0.5log2N+2)和 (lo g2N+1)N-1.法通過設(shè)置矩陣 F= [F1,F2,···,Fi,···,Fls] 和G=[G1,G2,···,Gi,···,Gls]來實(shí)現(xiàn)精度與復(fù)雜度的折衷.需注意矩陣F 和G 中的Fi和Gi是它們各自的子向量.集合F 或G 中的元素總數(shù)為L, 如果有必要, 該值最大可以達(dá)到 (N -1)(N/2).選取的乘積項(xiàng)數(shù)L 越多, 算法的定

表1 給出了本文提出算法與其他算法計(jì)算復(fù)雜的對比.應(yīng)該注意到, 盡管新算法的計(jì)算復(fù)雜度高于文獻(xiàn)[2,6,9]中提出的算法, 但新算法的定時精確性遠(yuǎn)高于這些算法, 詳細(xì)比較將在后文給出.對于文獻(xiàn)[10]中的算法, 該算法允許接收機(jī)根據(jù)接收信號的信噪比決定采用多少乘積項(xiàng)來構(gòu)建定時測度函數(shù), 具體來說, 該算時精度越高.從后續(xù)仿真結(jié)果可見, 即使該算法用盡了全部乘積項(xiàng), 其定時精度也弱于本文算法.

表1 不同算法計(jì)算復(fù)雜度比較

3 仿真及結(jié)果

這里采用蒙特卡羅仿真對所提出的算法與現(xiàn)有算法進(jìn)行對比.在仿真中, OFDM 系統(tǒng)的子載波數(shù)設(shè)置為64、循環(huán)前綴長度為符號長度的1/8 ( G= 8), 在每個信噪比下都進(jìn)行10 萬次隨機(jī)信道仿真, 再對結(jié)果求平均.被子載波間隔歸一化的的CFO 設(shè)置為 ε= 3.1.考慮到OFDM 系統(tǒng)總是在多徑信道下工作, 這里采用兩個不同的多徑信道進(jìn)行仿真.第一個是斯坦福大學(xué)臨時(Stanford University Interim, SUI)信道模型, 采樣率為5 MHz; 第二個是5 條抽頭多徑瑞利衰落信道.考慮到均方誤差(Mean Square Error, MSE)均方誤差同時反映了估計(jì)的偏差和方差, 這里采用MSE 來評價(jià)所提出的定時方法的性能.

圖1 繪出了本文所提方法與幾種現(xiàn)有方法在SUI-1信道下的定時估計(jì)MSE 的比較.可以看出, 新提出的方法比以前的方法具有明顯更好的性能.值得一提的是, 即使HM 算法將所有的相關(guān)乘積項(xiàng)都采用(算法復(fù)雜度達(dá)到最大), 其定時精度也弱于本文提出的算法.此外可以看到, 受CFO 的影響, 文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]的定時估計(jì)均方誤差很大.

圖1 在SUI 信道下不同定時算法的MSE 對比

圖2 繪出了在一個具有5 個抽頭的頻率選擇性瑞利衰落信道中不同估計(jì)器的MSE, 抽頭序號記為?=0,1,···,4 抽頭平均功率衰減系數(shù)設(shè)置為e?/5.在這里, 子載波個數(shù)和循環(huán)前綴分別設(shè)置為 N= 64和G = 12.對于HM 的方法[10], 為了使它達(dá)到最好的性能, 其所有相關(guān)乘積項(xiàng)都被運(yùn)用到測度函數(shù)中.由圖2 可見, 本文所提出的方法具有比其他方法明顯更好的性能.

圖2 在一個5 抽頭多徑信道下不同算法的MSE

4 結(jié)語

本文中先推導(dǎo)了OFDM 系統(tǒng)的定時偏移和載波頻偏的ML 聯(lián)合估計(jì), 然后, 基于ML 估計(jì)器提出了簡化的定時同步方法.所提出的定時方法對輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)沒有特殊要求, 并且對子載波頻偏不敏感, 可以在任何數(shù)值的載波頻偏下實(shí)現(xiàn)定時同步.仿真結(jié)果表明, 本同步算法優(yōu)于現(xiàn)有算法.