高階思維教學(xué)的“三重門”
——芻議核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)思維教學(xué)

洪 玲 林 風(fēng)

（福州第三中學(xué)，福建 福州 350025）

數(shù)學(xué)是思維的體操，但是教學(xué)中常常有些教師自覺或不自覺地把“思維的體操”窄化為“解題的體操”.把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)停留在思維的低層次上，使得活躍的思維不斷地萎縮、鈍化，常常被異化為玩弄技巧和套路，成為應(yīng)對考試的一種技術(shù).窄化或淺表化數(shù)學(xué)思維的原因有種種，其中對低階思維和高階思維的概念、價(jià)值和意義的認(rèn)知缺失無疑是一個(gè)重要原因.

當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)常常受限于現(xiàn)成性、實(shí)體性的知識(shí)信念，強(qiáng)化和強(qiáng)調(diào)陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的記憶和訓(xùn)練，大量的死記硬背、套題刷題，題海戰(zhàn)術(shù)，加課加時(shí)的做法，數(shù)學(xué)教學(xué)停滯于低階思維的“圍城”里，增量不提質(zhì)，缺乏真正意義上思維教學(xué)，陷入越教越困惑、越教越沉重的“死循環(huán)”，難以構(gòu)成促進(jìn)學(xué)生自覺運(yùn)用、遷移的知識(shí)的能力和意愿.當(dāng)前課程改革強(qiáng)調(diào)要著眼于培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，其中思維教學(xué)無疑是數(shù)學(xué)育人最具學(xué)科性、特質(zhì)性的要素之一.教學(xué)實(shí)踐表明思維的含金量和高低層次決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和品質(zhì)，高中學(xué)生思維比較活躍，樂于思考、喜歡挑戰(zhàn)，思維具有很強(qiáng)的可塑性，是培養(yǎng)高階思維的最佳時(shí)期.要突破應(yīng)試教育的“窠臼”，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升，必須從低階思維走向高階思維，讓高階思維成為具有超越課堂和知識(shí)之外的持久價(jià)值和遷移效應(yīng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)型和變革時(shí)期數(shù)學(xué)教學(xué)貫穿高階思維的培養(yǎng)符合新課程標(biāo)準(zhǔn)理念和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和水平，是適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的應(yīng)有之舉.

高階思維教學(xué)著眼于將知識(shí)視為現(xiàn)成概念或客觀實(shí)體的知識(shí)信念，把知識(shí)從客觀符號(hào)、規(guī)律定理轉(zhuǎn)化為具備資源活力、能夠遷移與運(yùn)用的工具、資源，通過個(gè)體情境性、問題性的知識(shí)遷移、靈活運(yùn)用解決復(fù)雜問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的價(jià)值.［1］高階思維不是一個(gè)時(shí)尚的概念新詞，也不是一種新瓶裝舊酒的炒作，而是觀念的一次更新和重構(gòu)，要讓它落地開花必須開啟教學(xué)“三重門”——問題教學(xué)、核心素養(yǎng)和深度學(xué)習(xí).

一、問題教學(xué)：開啟高階思維的動(dòng)力

無須諱言，問題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)思維的底色，沒有問題便沒有數(shù)學(xué).當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)受制于應(yīng)試需求，囿于各種考核指標(biāo)，把數(shù)學(xué)習(xí)題等同于問題解決，數(shù)學(xué)課程三年并作兩年，以教輔頂替教材，重解法輕概念，重結(jié)果輕過程，忽視學(xué)習(xí)情境的作用，忽視數(shù)學(xué)自身的學(xué)科特性，課堂缺乏真實(shí)、復(fù)雜和生動(dòng)的學(xué)習(xí)情境，知識(shí)的活力與思維的張力受制于課時(shí)、考試的羈絆，生吞硬咽、囫圇吞杏.記憶、累積、模仿、重復(fù)的低階思維的學(xué)習(xí)方式成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“不二法門”，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性被異化為試題的挖坑設(shè)陷，思維的靈活性異化為解法的作秀魔法，思維的創(chuàng)新性異化為解題的奇技淫巧.

思維大師杜威認(rèn)為：高階思維不是自然發(fā)生的，它是由“難題和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的.思維起于問題、貫穿于求解于探究之中，問題教學(xué)無疑是開啟高階思維的最大動(dòng)力.［2］沒有問題思維就難起波瀾，要引爆學(xué)生思維的燃點(diǎn)，就必須做好“四立”，立足學(xué)生，立足課堂，立足教材，立足問題.概念、公式、性質(zhì)、問題都是激活思維的素材和燃點(diǎn)，面對新的情境、新的知識(shí)、新的視角、新的思維，學(xué)生必然產(chǎn)生許多新的思考，新的挑戰(zhàn)，新的困惑，新的問題，似是而非的問題必然引發(fā)許多“為什么”“是什么”“怎么辦”的糾結(jié)與追問.數(shù)學(xué)教學(xué)表明，大量概念變式、公式變化、性質(zhì)應(yīng)用以及課堂上發(fā)生的種種意外問題“事故”等的最能引發(fā)學(xué)生探究的興趣和思維的挑戰(zhàn)，充分利用典型知識(shí)、核心內(nèi)容、困惑問題的可以提升課堂思維的“熱度”，問題的“挑戰(zhàn)性”能吸引眼球，問題的“開放性”能大開腦洞，問題的“層次性”讓思維“跳起來夠得著”.教學(xué)中需要讀懂讀透教材，讓問題來自教材高于教材，在教材字里行間揭示問題的切入點(diǎn)和思維連接點(diǎn).以人教社（選修2-1 橢圓）為例，教材沒有簡單地羅列知識(shí)“清單”和解題的“降龍十八掌”，沒有簡單地呈現(xiàn)橢圓定義、方程、解題要點(diǎn)，更沒有大量的題型和解法范式，而是通過設(shè)計(jì)一系列圍繞知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)的引導(dǎo)性材料，一段導(dǎo)言、一個(gè)提示、一個(gè)場景和一個(gè)思考，問、探、思、行，漸行漸遠(yuǎn)，讓學(xué)生在體驗(yàn)中學(xué)習(xí)、在探究中實(shí)踐、在思考中辨析：（1）通過《探究》讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐，并說出移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件，強(qiáng)調(diào)知識(shí)始于實(shí)踐、重于體驗(yàn)，思考的起點(diǎn)因體驗(yàn)實(shí)踐而生發(fā).（2）《思考》觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系才能使得橢圓的方程簡單，引發(fā)學(xué)生思考如何從具象的橢圓走向抽象的橢圓方程表示以及坐標(biāo)系的選擇與優(yōu)化，分析、綜合、評價(jià)和創(chuàng)新等高階思維方式穿插其間，潛移默化.（3）《思考》觀察橢圓圖形，從中找出表示的線段，數(shù)形結(jié)合思想方法逐漸滲透.（4）《思考》已知焦點(diǎn)在y 軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，-c），（0，c），那么橢圓的方程是什么？數(shù)學(xué)的多元表征，形式多樣促進(jìn)思維的多樣性和嚴(yán)謹(jǐn)性的自然合理地生成.（5）《思考》你還能用其他方法求它的方程么？哪種方法簡單？你有什么體會(huì)？在知識(shí)的遞進(jìn)過程中，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)優(yōu)化，提升思維的品質(zhì).（6）你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系？?新舊聯(lián)系，比較中深化思維的廣度.（7）《探究與發(fā)現(xiàn)》為什么截口曲線是橢圓？欣賞數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin 巧妙、極具創(chuàng)造性的證明方法，品鑒思維的深刻性和創(chuàng)新性.生發(fā)于問題、生長于求解、升華于思考，每個(gè)新知識(shí)、新概念、新知識(shí)、新方法都會(huì)激發(fā)從“0 到1”的追問，點(diǎn)燃從“1 到∞”的聯(lián)想，在教材旁注的字里行間進(jìn)行“補(bǔ)白”“填空”“稀釋”“鉛華”的知識(shí)被“活化”為思想的種子，碎片化的內(nèi)容被律動(dòng)成思維的彩練，知識(shí)鏈、問題鏈、思維鏈明暗交錯(cuò)，三線并行，彼此滲透，相互推進(jìn).課堂變成充滿對話互動(dòng)，你問我辯，思維碰撞的“課本劇”，處處激蕩著思考的火花，時(shí)時(shí)洋溢著思維的波浪.

當(dāng)然，更多的問題需要教師在“用教材教”的過程中細(xì)心鉆研，深入挖掘，讓固化的知識(shí)“解凍”為思維的因子.例如在等差數(shù)列教學(xué)中，從定義出發(fā)，形如an+1-and（d為常數(shù)），抓住數(shù)列問題的“結(jié)點(diǎn)”和思維的“盲點(diǎn)”，“項(xiàng)、相鄰項(xiàng)、差、常數(shù)、遞推關(guān)系、幾何背景”等雖是只言片語，深入其間就會(huì)撩起思維之火.例如，（1）d> 0,d=0,d< 0 表明數(shù)列具有怎樣的性質(zhì)；（2）把遞推關(guān)系an+1-and(d為參數(shù)）的任意前后兩項(xiàng)差轉(zhuǎn)化為任意一項(xiàng)與首項(xiàng)的關(guān)系（即an=a1+(n-1)d）；（3）任意兩項(xiàng)之間是什么關(guān)系，即an-am(n-m)d，（4）an f(n)即通項(xiàng)視為n 的函數(shù)，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)的幾何意義是什么（一條直線上的離散點(diǎn)；d 的幾何意義為點(diǎn)列所在直線的斜率）；它的表達(dá)形式是什么，……從橫的拓展看，（1）an-an+1=d（常數(shù)）與等差數(shù)列定義有何差別；（4）若把下標(biāo)從相鄰n+1,n 改為n+2,n,即an+2-an=d(d為常數(shù)），這時(shí){an}與等差數(shù)列有何區(qū)別和聯(lián)系；（3）把相鄰兩項(xiàng)an+1+an做數(shù)學(xué)化處理，由相鄰兩項(xiàng)的“差”改為“和，積、商”等，會(huì)得到怎樣的數(shù)列，即an+1+an=d（等和數(shù)列），an+1·an=d(d≠0)（等積數(shù)列）；=q(q≠0）（等比數(shù)列）；（4）如果把a(bǔ)n+1-an=d(d為常數(shù))中的d 改為變量n，如an+1-an=n，則{an} 具有怎樣的特征（二階等差數(shù)列）……從常數(shù)到常數(shù)的符號(hào)；從常量到變量；從前后兩項(xiàng)關(guān)系到任意兩項(xiàng)關(guān)系；從“等差”到“等和”“等商”“等積”……這些問題不是作為一種題型、一個(gè)知識(shí)、一種技法，簡單地、碎片化地羅列和疊加，而是從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、深化的邏輯順序自然合理地進(jìn)行問題化、數(shù)學(xué)化的鏈接和推進(jìn).對知識(shí)的特性和規(guī)律不斷進(jìn)行比較、歸納、抽象、變式和概括，從“表象特征”走向“內(nèi)在價(jià)值”，知識(shí)與問題情境相生相融，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)合理對接，內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯與學(xué)生認(rèn)知感覺相融相合，各種思維活動(dòng)，發(fā)散思維、聚合思維、形象思維、抽象思維等在問題的發(fā)生、轉(zhuǎn)化、解決和拓展中慢慢滋生和孵化，數(shù)學(xué)課堂便會(huì)充滿勃勃生機(jī).

二、核心素養(yǎng)：夯實(shí)高階思維的落點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)新課程六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出“三會(huì)”，即“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)成為高階思維教學(xué)的落腳點(diǎn).對數(shù)學(xué)知識(shí)（問題）的本質(zhì)的理解程度決定了數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)、深度和高度，思維的品質(zhì)不只局限于知識(shí)的容量、技能的高低和刷題的速率，更需要關(guān)注的是要超越表層的文本解讀、符號(hào)推演和解題套路，深入理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的邏輯和意義自然、有序、逐步深入剖析問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，將知識(shí)內(nèi)隱的、微觀和特質(zhì)的挖掘出來，發(fā)揮知識(shí)內(nèi)容的核心價(jià)值發(fā)揮其“核裂變”作用.教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)不少學(xué)霸可以秒殺難題，笑傲題海，但深究其因卻常常閃爍其詞，“數(shù)競做過”“感覺應(yīng)該如此”“憑直覺靈感”等都是常見的說辭，雖知數(shù)學(xué)“器”之用，卻不知數(shù)學(xué)“道”之理，雖有高超的解題技法，卻無高階思維的素養(yǎng)，知其然不知其所以然者為數(shù)不少.沒有高階思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難以抵達(dá)思考的深度，就難有思想的縱深感和靈動(dòng)感.

從概念的生成、公式的引入、模型的建構(gòu)到問題的解決、知識(shí)的應(yīng)用，從潛意識(shí)到顯意識(shí)，從無序到有序，從經(jīng)驗(yàn)到理性，無一不伴隨著思維從低階走向高階，從具象—形象—抽象—心象映射出認(rèn)知深化的趨勢，核心知識(shí)—核心問題—核心能力—核心素養(yǎng)詮釋著內(nèi)隱其間的學(xué)科教育價(jià)值和思維品質(zhì)，通過比較、聯(lián)想、歸類、遷移、創(chuàng)新可以促進(jìn)高階思維的形成和培養(yǎng).以《基本不等式》解題教學(xué)為例，如果止步于講考題類型、公式變形、應(yīng)用技巧，什么拼湊法、常量代換法、多次應(yīng)用法、一正二定三等，積要最大和要定值，積要最小和要定值等等，可以有益于短時(shí)提分，有助于一時(shí)之用，而疏于從數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義在詮釋和展開，弱化蘊(yùn)含的思想內(nèi)涵，難免“以其昏昏使人昭昭”，知識(shí)只會(huì)“雁過無痕”，思維只是“鏡中觀花”.事實(shí)上(a> 0,b> 0)，看似簡單，內(nèi)涵雋永，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)意蘊(yùn).事實(shí)上（1）借助圓中的直角三角形射影定理的“無字證明”，數(shù)形結(jié)合，彰顯的是跨界思維（見教材人教版必修5）；（2）基本不等式公式是齊次式的一種放縮關(guān)系，是透過表象直達(dá)本質(zhì)的一種深刻性思維的表現(xiàn)，由此產(chǎn)生“等冪轉(zhuǎn)化”求最值，如，設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是_______（解法：通過平方(2x+y)2=…達(dá)到齊次的目的，即等次冪轉(zhuǎn)化法）；（3）要從兩數(shù)之和的算術(shù)均值大等于這兩個(gè)數(shù)的幾何均值，從兩數(shù)到兩式是公式的一種升華，生發(fā)于發(fā)散思維，如，設(shè)x>0，函數(shù)y=x+的最小值是_____，通過換元t=x+是一種轉(zhuǎn)化思維的應(yīng)用，起到四兩撥千斤的作用；（4）從二元到n 元，即b+的最小值的求解就會(huì)舉步維艱，不易想到b+=(b-a) -a+≥3…在解題過程中的變式教學(xué)，一題多變、一題多解、多解同質(zhì)等不只是一種簡單的記憶喚醒和強(qiáng)化、一種技能的“肌肉”訓(xùn)練、一種題型的范式再現(xiàn)，而是充滿觀察、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、聯(lián)想等一系列豐富的和高層次的心智活動(dòng)和思考能力的過程，應(yīng)當(dāng)是一次次思維拔節(jié)成長的歷練，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)熏陶和數(shù)學(xué)意識(shí)自覺自醒的提升過程.

三、深度學(xué)習(xí)：彰顯高階思維的張力

高中數(shù)學(xué)新課程提出要通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步形成有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念，促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神，促進(jìn)人的智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用.蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處.都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.從“記憶”“理解”與“應(yīng)用”的低階思維的累積與發(fā)展必然呼喚和催生“分析”“評價(jià)”和“創(chuàng)造”的高階思維，從知識(shí)教學(xué)、解題教學(xué)、應(yīng)試教學(xué)走向問題教學(xué)，走向核心素養(yǎng)，進(jìn)而走向深度學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和價(jià)值觀真正與學(xué)生內(nèi)部心理認(rèn)知體驗(yàn)有機(jī)結(jié)合起來.近年來，應(yīng)試教育廣受詬病，大量重復(fù)訓(xùn)練、機(jī)械灌輸?shù)慕虒W(xué)方式造成的慣性思維、定勢思維、惰性思維的弊端比比皆是，考場上是學(xué)霸，能力卻很低，缺乏發(fā)現(xiàn)思維、創(chuàng)新思維和批判精神和思考能力，缺乏可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)力，缺乏適應(yīng)未來發(fā)展所需要的學(xué)習(xí)力和創(chuàng)新力.

“教育的本質(zhì)是成長和解放”“人因思想而偉大”，深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)“以人為本”，關(guān)注高中生對理性精神、自主探究的心智訴求，將教育目標(biāo)中的學(xué)生個(gè)體意義凸顯出來，通過思維的高度參與和批判性思辨來激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的思維能量，打破從教材到教輔，從解題到考題的邊界，追求學(xué)生對知識(shí)的深度體驗(yàn)、深度理解、深度探究，從而促進(jìn)高階思維在學(xué)生內(nèi)心深處“扎根”“生長”，讓學(xué)習(xí)上升為學(xué)習(xí)成長和發(fā)現(xiàn)探索的過程.

近年來，高考試題設(shè)置新穎的問題情境（如：維納斯、金字塔，太極圖，新冠病毒防治等），到數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生諸多的新概念、新問題（如準(zhǔn)周期、等和數(shù)列、部分奇函數(shù)等），以及開設(shè)的高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，等等，著眼于讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再是簡單的知識(shí)積累和遞進(jìn)，更強(qiáng)化的是知識(shí)的轉(zhuǎn)化和思維的裂變與升華，從傳統(tǒng)簡單的知識(shí)“復(fù)制”走向思辨和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新，走向探究與發(fā)現(xiàn)，從單一的“窄化”知識(shí)走向“寬度”的自主探究和學(xué)以致用.在教學(xué)中要有意識(shí)地留出時(shí)間讓學(xué)生思考，體驗(yàn)和探究，以慢時(shí)間換取思維的“大空間”.例如，有一次在復(fù)習(xí)基本不等式時(shí)，筆者講評問題：已知曲線=1 上任意一點(diǎn)P(x,y)，則點(diǎn)P 到原點(diǎn)的最小距離為____，從到x+y再到x2+y2是“基本不等式鏈”求解的一條明晰的“路線圖”，也是熟悉的解題套路……講評完畢，突然有位學(xué)生換個(gè)角度思考，提出二元變量關(guān)系本質(zhì)是曲線性質(zhì)的一種表征，可以在同一坐標(biāo)系觀察、想象曲線簇x2+y2=1,x+=1 的演變過程，合情推理它們的規(guī)律應(yīng)該從凸到平再到凹的漸變過程，根據(jù)圖象特征只要求出y=x與=1 的交點(diǎn)為，因 此“一花引來萬花開”，話音剛落，另一位學(xué)生提出，根據(jù)對這簇曲線的漸變趨勢觀察，是否可以合情推理出得出圓角正方形的方程為x20+y20=1(n∈N*)，它的一般形式為x2n+y2n=1(n∈N*)，……此類“節(jié)外生枝”的案例在教學(xué)中比比皆是.在課外開展的校本研究性學(xué)習(xí)更是學(xué)以致用、深度學(xué)習(xí)和自主探索的新型學(xué)習(xí)方式，學(xué)生研修了的諸多小微課題（如：《窗戶的面積與采光量的問題》《數(shù)列在銀行利率計(jì)算中的應(yīng)用》《病毒檢測中逐份檢驗(yàn)與混合檢驗(yàn)的選擇及其概率原理》等，表明這種學(xué)習(xí)方式是倡導(dǎo)學(xué)生自我深度學(xué)習(xí)的一種新模式，學(xué)生學(xué)在當(dāng)下，自主探究，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新，是促進(jìn)思維生發(fā)、生長和發(fā)展的有效途徑，也是一個(gè)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)遷移、學(xué)會(huì)創(chuàng)新的自主發(fā)展的有效方式.

高階思維不是高難度、高技巧、快進(jìn)度的“高大上”代名詞，也不是簡單地追求某種“達(dá)標(biāo)”的一時(shí)之舉，也不是一種應(yīng)景的時(shí)尚熱詞，它不局限于一種知識(shí)、技巧和方法的獲得，更專注培養(yǎng)一種“自成長”的思維方法和學(xué)習(xí)智慧，同時(shí)它不能一蹴而就，而應(yīng)該像“熏鍋底”一樣是一個(gè)慢成長的過程.同時(shí)，高階思維不是一成不變的，低階思維到高階思維是一個(gè)不斷更迭換代的變遷過程，學(xué)習(xí)中的每一次的挑戰(zhàn)、每一種探索和每一次的跨越都需要思維的不斷解法、不斷更新、不斷超越，這樣才有思維的生命力和生長力，真正實(shí)現(xiàn)“知而獲智，智而遠(yuǎn)達(dá)”，登臨學(xué)習(xí)的“智”高點(diǎn).