觸類旁通 融會貫通
——以《省刻度尺》教學(xué)為例

○蔣守成

數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)有三個基本要素：主題、拓展、思維。主題是思維的起跑線，拓展是思維的發(fā)動機，目標是促進學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的思維方式。在這樣的教學(xué)范式下，學(xué)生的思維方式有了很大的變化，特別是在結(jié)構(gòu)化的思維方式上有了很大的提升，能夠?qū)囊徽n習(xí)得的思想方法運用到相類似或者緊密聯(lián)系的某一類數(shù)學(xué)問題中，學(xué)會舉一反三、觸類旁通，從而達到融會貫通。

課前思考

選擇以《省刻度尺》為主題進行拓展教學(xué)，主要是基于以下四個方面的思考：一是省刻度尺問題既是“以少表示多”的典型問題，也是華羅庚統(tǒng)籌優(yōu)化思想的具體表現(xiàn)；二是省刻度尺的研究適合學(xué)生去自我探究和發(fā)現(xiàn)，可以為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)服務(wù)，為解讀生活中的優(yōu)化現(xiàn)象提供經(jīng)驗；三是省刻度尺的教學(xué)是對人教版教材四年級上冊數(shù)學(xué)廣角“統(tǒng)籌、優(yōu)化”學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓展；四是通過省刻度尺的學(xué)習(xí)，學(xué)生對生活中相關(guān)聯(lián)的一類問題形成結(jié)構(gòu)化的思考。

教學(xué)過程

一、聚焦主題，經(jīng)歷過程，發(fā)展思維

（一）經(jīng)歷數(shù)學(xué)家一樣的探究過程，明晰什么是省刻度尺。

1.共同探究省一個刻度的情況。

師：今天的數(shù)學(xué)研究從一把5厘米長的直尺開始。

0 1 cm 2 3 4 5提問：用這把直尺量出3厘米，可以怎么量？生：從0量到3就可以量出3厘米。提問：刻度3被老師省掉了（如下圖），你還能用這把直尺一下子量出3厘米嗎？說說你是怎么想的。0 1 cm 2 4 5

生1：先從刻度0量到刻度2，量出2厘米，然后再量出1厘米。

生（評價）：這樣量不符合用這把直尺一下子量出3厘米的要求。

生2：我們可以從刻度1量到刻度4，因為1到4之間是3厘米。

生3：我們也可以從刻度2量到刻度5，因為2到5之間也是3厘米。

師：雖然沒有刻度3，但我們改變了測量方法，由一直從刻度0開始量改成從刻度1或2開始量，打破了固有的習(xí)慣。同學(xué)們，我們有的時候解決問題也要打破常規(guī)，換一個角度思考就會找到解決問題的新路徑?，F(xiàn)在我們將測量3厘米的方法記錄下來：3（1～4）（2～5）。請同學(xué)們將其他刻度也用這種方式表示出來。

2．自主探究省兩個刻度和省三個刻度的情況。

師：省掉一個刻度，我們照樣能一次量出所有刻度對應(yīng)的長度。如果這把5厘米的尺子省掉兩個刻度或三個刻度，你覺得還能不能一次量出所有刻度對應(yīng)的長度呢？我們一起來研究：

（1）問題：下面這兩把直尺一次能量出哪些長度？先想一想，然后把你能量出的所有長度清楚地記錄在作業(yè)紙上。

（2）比較：我們分別研究了5厘米的刻度尺省掉一個刻度、省掉兩個刻度都能夠一次量出所有刻度對應(yīng)的長度，而省掉三個刻度就不能全部量出來。你覺得哪把直尺上的刻度省得恰到好處？說說你的想法。

（3）分享：省一個刻度雖然可以一次量出1到5厘米之間任意一個整厘米的長度，但是用到的刻度還是多了一個，不是最省刻度的；省三個刻度，1到5厘米之間有些整厘米的長度無法一次量出來，顯然是刻度省得太多了；省兩個刻度不僅能夠一次度量出1到5厘米之間任意一個整厘米的長度，而且用到的刻度也是最省的，所以這把直尺上的刻度省得恰到好處，是最神奇的。

3.明晰什么是省刻度尺。

（1）命名：如果給這把最省刻度的直尺起個名字，你會把它叫什么呢？

生1：神奇的尺子。

生2：奇妙尺。

生3：少刻度的尺。

（2）由來：其實早在100多年前英國數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼就發(fā)現(xiàn)了這種特殊的刻度尺，并命名為“省刻度尺”，我們一起來看一段微視頻。

一根23厘米長的尺子，通過最省、最優(yōu)的辦法只需六個刻度（頭尾不用刻），就能夠度量出1到23之間任何整厘米長的物品。如果減少一個刻度就不能量出所有整厘米的長度，如果增加一個刻度就不是最省，我們把這種尺稱為“省刻度尺”。

（3）標準：什么樣的刻度尺才是省刻度尺？標準是什么？

學(xué)生通過討論得到：不僅能一次量出所有長度中的任意一個，而且刻度最省。

（4）判斷：下面的刻度尺是不是省刻度尺？

下面是一把7厘米長的直尺，0和7之間只有兩個刻度，它是不是一把省刻度尺呢？先把能量出的長度有序地記錄在作業(yè)紙上，然后再想一想它是不是省刻度尺。

生：不能量出3厘米，所以不是省刻度尺。

師：根據(jù)老師的研究，0和7之間至少要有三個刻度才能成為省刻度尺，那么再添一個刻度使它成為一把省刻度尺，請你添一個并把記錄補充完整。

生：添3，就可量出3厘米，（0，2，3，6，7）。

生：添4，4到7是3，（0，2，4，6，7）。

生：添5，2到5是3，（0，2，5，6，7）。

師：同樣是缺3厘米，添的數(shù)不同，得到的省刻度尺也不同?？磥斫鉀Q這個問題的答案不止一種，我們不能把“之一”當“唯一”。其實，這把直尺添上三個刻度成為一把省刻度尺還有更多的方法：除了從1開始想，（0，1，2，5，7）、（0，1，3，5，7）、（0，1，4，5，7）；還可以從2開始想，（0，2，3，6，7）、（0，2，4，6，7）、（0，2，5，6，7）；也可以從3、4開始想，（0，3，5，6，7）、（0，4，5，6，7）……這樣有序的思考可以幫助我們找到更多解決問題的辦法。帶著這樣的思考我們一起來創(chuàng)造一把省刻度尺。

（二）引導(dǎo)學(xué)生嘗試創(chuàng)造一把省刻度尺。

問題：這是一把6厘米長的刻度尺，請你添上最少的刻度，設(shè)計成一把省刻度尺。

學(xué)生嘗試添一添，教師巡視，展示、評價學(xué)生的作業(yè)，最后同時呈現(xiàn)多種不同的添加刻度的方法。

展示：學(xué)生展示自己創(chuàng)造的省刻度尺——（0，1，4，6），（0，2，5，6）。

提問：仔細觀察同學(xué)添加的這些刻度，你覺得我們在添加這些刻度時有什么方法可循嗎？

分享總結(jié)：不管添加哪兩個數(shù)，四個數(shù)中至少要有兩個數(shù)是相鄰的，然后我們可以再進行比較和調(diào)整，達到最省的標準。

讓學(xué)生自己設(shè)計一把省刻度尺，在設(shè)計的過程中體驗省的方法和策略，為進一步研究省刻度尺是否存在一般規(guī)律的問題提供經(jīng)驗。

二、觸類旁通，全面體悟省的學(xué)問和省的智慧

問題一：量角器上的省刻度。

師：直尺上的刻度省了照樣可以量出所有的刻度，那量角器上的刻度可不可以省呢？（出示：一個不完整的量角器）利用這個量角器可以一次量出哪些度數(shù)的角？同學(xué)們先獨立思考，然后同桌交流，形成共識后向全班展示。

追問：除了可以量出以上這些度數(shù)外，還可以量出哪些度數(shù)？

學(xué)生討論得出:還可以從右邊180度考慮，例如量出170°（10°～180°），150°（30°～180°）……

問題二：人民幣中的省面額。

師：我們在研究直尺、量角器的過程中發(fā)現(xiàn)，雖然刻度省了，但照樣能量出更多的長度或角度。省不僅是一種學(xué)問，省也是一種智慧。除了省刻度，我們經(jīng)常用的人民幣中也用到了省的智慧。

同學(xué)們，你知道嗎？為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元，而沒有3元、6元等其他面值呢？

生1：用1元、2元、5元進行加減運算就可以得到另外一些數(shù)，如1+2=3，2+2=4，1+5=6，2+5=7，10-2=8，10-1=9等。

生2：現(xiàn)在2元的人民幣都省掉了，只是運算次數(shù)多了而已。

微視頻介紹：為什么常見的小額面值的人民幣只有1元、2元、5元和10元這四種？

抓住“省刻度尺”的本質(zhì)，同時結(jié)合生活實際進行拓展，延伸到同類問題，進行觸類旁通的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進一步體會到省的智慧、省的學(xué)問。

課后思考

這節(jié)課是以省刻度為主題，培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考和自由探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)。學(xué)生感受到了以少表示多的神奇之處，習(xí)得了省的學(xué)問，同時拓展了對統(tǒng)籌和優(yōu)化思想的認識，為后續(xù)學(xué)習(xí)優(yōu)選法和統(tǒng)籌法中最優(yōu)化等問題打下基礎(chǔ)。例如，學(xué)生學(xué)完省刻度就能理解和解釋其他相鄰的兩個面積單位的進率都是100、而公頃和平方米的進率卻是10000的道理，原來中間省了一個面積單位公畝。關(guān)于人民幣的面值，學(xué)生還會思考：中國古代貨幣的面值是怎樣設(shè)計的？外國貨幣的面值是怎樣設(shè)計的？未來的貨幣又會是什么樣呢？