關(guān)于Hermite矩陣的若干不等式*

宋 園

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 滁州 239000)

眾所周知，矩陣不等式是矩陣論中的一個(gè)重要分支，在自然科學(xué)研究、工業(yè)生產(chǎn)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.由于矩陣的乘法不滿足交換性，因此實(shí)數(shù)不等式能推廣到矩陣中的很少.而矩陣的跡要好得多，最為經(jīng)典的實(shí)數(shù)不等式如Young不等式、H?lder不等式、Minkowski不等式及它們的推廣形式，都被應(yīng)用到矩陣和算子的不等式中.筆者擬利用Neumann不等式和已知的實(shí)數(shù)不等式，將2個(gè)簡單的實(shí)數(shù)不等式推廣到矩陣跡和范數(shù)領(lǐng)域.

1 預(yù)備知識(shí)

注1矩陣跡滿足線性，即tr(αA+βB)=αtrA+βtrB.

引理1對于任意大于等于0的實(shí)數(shù)x，不等式x3+27≥3x2+9x成立.

證明因?yàn)?/p>

(x3+27)-(3x2+9x)=(x3-3x2)-9(x-3)=x2(x-3)-9(x-3)=

(x2-9)(x-3)=(x-3)2(x+3),

又因?yàn)閤≥0，所以(x-3)2(x+3)≥0，即(x3+27)-(3x2+9x)≥0.

引理2設(shè)a>0,b>0，則a3+b3≥a2b+ab2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

證明因?yàn)閍>0,b>0，a3+b3>0,a2b+ab2>0,所以

當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，于是a3+b3≥a2b+ab2.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)A為n階半正定Hermite矩陣，則有tr(A3+27In)≥3trA2+9trA.

定理2設(shè)A為n階半正定Hermite矩陣，則有‖A3+27I‖2>‖3A2+9A‖2.

又因?yàn)?/p>

由引理1，得

所以‖A3+27I‖2>‖3A2+9A‖2.

定理3設(shè)A為n階半正定Hermite矩陣，X為任意n階復(fù)方陣，則有‖A3X+27X‖2>‖3A2X+9XA‖2.

證明設(shè)存在酉矩陣U使得A=U*ΛU,Λ=diag(λ1,λ2,…，λn).令Y=UΛU*,則有

由引理1，得

因此‖A3X+27X‖2>‖3A2X+9XA‖2.

定理4設(shè)A，B為n階正定Hermite矩陣，則有trA3+trB3≥trA2B+trAB2，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立.

定理5設(shè)A，B為n階正定Hermite矩陣，X為任意n階復(fù)方陣，則‖A3X+XB3‖2≥‖A2XB+AXB2‖2，當(dāng)且僅當(dāng)AX=XB時(shí)等號(hào)成立.

證明設(shè)存在酉陣U和V使得A=U*ΛU,Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，B=V*MV,M=diag(μ1,μ2,…,μn)，且A3=U*Λ3U，B3=V*M3V.設(shè)Y=UXV*,由引理2，得

又因?yàn)?/p>

所以‖A3X+XB3‖2≥‖A2XB+AXB2‖2.

由引理2可知，等號(hào)成立?(λi-μj)yij=0?ΛY=YM?ΛUXV*=UXV*M?U*ΛUXV*V=U*UXV*MV?AX=XB,所以當(dāng)且僅當(dāng)AX=XB時(shí)等號(hào)成立.

定理5中，當(dāng)X為單位矩陣時(shí)，有如下結(jié)論：

推論1設(shè)A，B為n階正定Hermite矩陣，則‖A3+B3‖2≥‖A2B+AB2‖2，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立.