從穩(wěn)定平衡系統(tǒng)的能量最小原則推導(dǎo)幾例物理實(shí)驗(yàn)定律

馬文東

(江蘇省淮北中學(xué) 江蘇宿遷 223900)

物理實(shí)驗(yàn)定律一般都是根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)歸納而來的。然而，根據(jù)相關(guān)理論，我們也可以推導(dǎo)出部分的物理實(shí)驗(yàn)定律。根據(jù)哈密頓原理，保守的、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一位形轉(zhuǎn)移到另一已知位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值[1]。也就是說，物體真實(shí)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是使作用穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于只有一個(gè)自由度的保守系統(tǒng)，作為運(yùn)動(dòng)最終結(jié)果的平衡態(tài)，如果系統(tǒng)是處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)各部分能量占比以總能量最小為原則[2-3].本文從穩(wěn)定平衡系統(tǒng)的能量最小原則推導(dǎo)了幾例物理實(shí)驗(yàn)定律。

一、推導(dǎo)杠桿平衡方程

如圖1所示，輕質(zhì)杠桿在重力m1g和m2g的作用下，在圖示位置平衡(靜止)。由于系統(tǒng)自由度為1[4]，取θ為自變量，則系統(tǒng)總能量(重力勢(shì)能)為

取總能量的一階導(dǎo)數(shù)E'=0，易知

式(2)就是我們熟知的杠桿平衡方程。

圖1

二、推導(dǎo)并聯(lián)電路電流分配規(guī)則

在并聯(lián)電路中，電流在各支路中的流動(dòng)也是一種穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。如圖2所示，對(duì)于純電阻電路，電流I是如何分配給電阻R1和R2的呢？

圖2

我們看電路的總熱功率(能量從有序到無序功率)

由熱功率一階導(dǎo)數(shù)為零(即熱功率取得極值)，可解得

問題討論：單獨(dú)測(cè)量任一支路電流I1，另一支路電流I2不受影響，無論相距多遠(yuǎn)，表現(xiàn)為低維度不相關(guān)性。但從干路測(cè)量電流，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，電流的分配是和電阻成反比的，支路電流I1和I2的表現(xiàn)具有相關(guān)性，完全由相關(guān)電阻的大小決定，表現(xiàn)為高一維度的相關(guān)性。

電流是如何瞬間知道電阻大小，并完成按比例分配的？由于干路電流是由兩支路電流相加的，如果把電流大小看作相關(guān)信息，則知干路信息是由支路信息耦合的。低維度的支路信息是否只是在更高的一個(gè)維度上才表現(xiàn)為相關(guān)性呢？

三、推導(dǎo)胡克定律

如圖3所示，原長為l0的彈簧，當(dāng)其在物重mg的作用下，自由伸長，以重物開始時(shí)的高度為0勢(shì)能面，則當(dāng)系統(tǒng)靜止時(shí)，系統(tǒng)總能量可表示為

(6)式就是胡克定律的表達(dá)式。

圖3

四、從穩(wěn)定平衡態(tài)能量最小原則推導(dǎo)阿基米德浮力定律

如圖4甲所示，一個(gè)邊長為a，密度為ρ1的正方形物體在密度為ρ2的液體上方。已知容器底面積為s，液體高為h，設(shè)物體在液體中靜止時(shí)如圖4乙所示，此時(shí)物體在液體中的深度為y，液面高為x，易知xs=sh+a2y，所以有

圖4

取容器底為0勢(shì)能面，則

得到物體靜止時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能為

把(7)(8)(9)式代入(10)式，并對(duì)y求導(dǎo)后，令E'=0

根據(jù)阿基米德浮力定律[6]寫出的表達(dá)式為

容易看出(11)式和(12)式是一致的。

由以上諸例可以看出，對(duì)于穩(wěn)定平衡系統(tǒng)而言，其平衡態(tài)下的總能量遵從最小原則，推導(dǎo)出的物理實(shí)驗(yàn)定律和我們熟知的物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合。