點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率模型研究

(西安建筑科技大學(xué)管理學(xué)院，陜西 西安 710055)

1 前言

碳素鋼管是油氣輸送的主要工具，管道破損不僅影響油氣正常輸送，還會(huì)帶來環(huán)境污染等問題[1，2]。根據(jù)管道事故統(tǒng)計(jì)可知，腐蝕是造成碳素鋼管結(jié)構(gòu)失效的主要因素之一，它嚴(yán)重影響了鋼管的使用壽命[3，4]。因此，合理預(yù)測腐蝕鋼管的失效概率，為碳素鋼管系統(tǒng)提供最優(yōu)的維修策略，對保障碳素鋼管系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有深遠(yuǎn)的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。

碳素鋼管腐蝕損傷主要指由均勻腐蝕、局部腐蝕(點(diǎn)腐蝕)和腐蝕疲勞引起的管道壁變薄和開裂，從而對系統(tǒng)的安全運(yùn)行造成影響[5，6]。對于發(fā)生均勻腐蝕的碳素鋼管，面對鋼管表面相同的腐蝕損耗厚度，只需要依據(jù)鋼管的剩余壁厚就可以評估其剩余強(qiáng)度[7]。由于點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的不同腐蝕位置厚度減少不同，其剩余強(qiáng)度的求解相對較難，目前尚未針對鋼管點(diǎn)腐蝕損傷問題形成工程適用的可靠的評定方法。傳統(tǒng)的做法是通過等截面損失將點(diǎn)腐蝕等效為均勻腐蝕，該方法評價(jià)結(jié)果偏于保守[8-10]。因此，針對碳素鋼管系統(tǒng)中普遍存在的點(diǎn)腐蝕威脅，對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的隨機(jī)失效概率計(jì)算方法進(jìn)行研究是非常必要和迫切的。

本文根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠性原理，在合理計(jì)算點(diǎn)腐蝕碳素鋼管剩余強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，基于首次穿越概率理論，構(gòu)建點(diǎn)腐蝕損傷碳素鋼管隨時(shí)間變化的隨機(jī)失效概率模型，研究了不同因素對預(yù)測的安全運(yùn)行時(shí)間影響，為管理者開展腐蝕防護(hù)工作提供依據(jù)。

2 點(diǎn)腐蝕碳素鋼管剩余強(qiáng)度隨機(jī)模型

2.1 腐蝕點(diǎn)剩余強(qiáng)度

碳素鋼管局部腐蝕缺陷會(huì)造成鋼管薄膜應(yīng)力集中現(xiàn)象，集中應(yīng)力達(dá)到管材強(qiáng)度極值時(shí)鋼管結(jié)構(gòu)將會(huì)失效[11]。由文獻(xiàn)[12]可知，當(dāng)前國內(nèi)外腐蝕管道剩余強(qiáng)度評價(jià)主流標(biāo)準(zhǔn)有ASME B31G 和SY/T6151，而采用SY/T6151 預(yù)測的剩余強(qiáng)度比ASME B31G 更保守，所以采用標(biāo)準(zhǔn)ASME B31G 對局部腐蝕鋼管的剩余強(qiáng)度Q進(jìn)行計(jì)算更適用，剩余強(qiáng)度Q求解公式如式(1)～(3):

其中，D為鋼管外徑，mm；b為鋼管壁厚，mm；h為局部腐蝕的深度，mm；L為局部腐蝕缺陷的長度，mm；σf為管材流變應(yīng)力，MPa；σs為管材最小屈服強(qiáng)度，MPa；mf為流變系數(shù)，一般取值1.1；M為膨脹系數(shù)。

雖然上述公式給出了局部腐蝕碳素管道剩余強(qiáng)度的計(jì)算方法，但是根據(jù)碳素鋼管點(diǎn)腐蝕缺陷軸向剖面示意圖(圖1)所示，在忽略相鄰蝕坑間完整厚度材料強(qiáng)度的條件下，采用上述公式直接計(jì)算點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的剩余強(qiáng)度，其結(jié)果偏于保守[13]。

圖1 碳素鋼管點(diǎn)腐蝕缺陷軸向剖面Fig.1 Axial profile of pitting corrosion defects on carbon steel pipe

在文獻(xiàn)[13]中，通過引入一項(xiàng)強(qiáng)度補(bǔ)償量(腐蝕層厚度完整材料強(qiáng)度的一半)來彌補(bǔ)上述公式的計(jì)算缺陷，所以點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的實(shí)際剩余強(qiáng)度估算公式如式(4):

點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的剩余強(qiáng)度隨腐蝕點(diǎn)的增長而降低，若已知鋼管的點(diǎn)腐蝕增長率，可對碳素鋼管t時(shí)刻的剩余強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，假設(shè)點(diǎn)腐蝕的腐蝕增長率符合線性模型，具體表示如式(5)和式(6)[4]:

其中，h0和L0分別表示局部腐蝕點(diǎn)初始的深度和長度，v1和v2分別表示局部腐蝕點(diǎn)深度和長度方向的腐蝕速率。

綜上所述，點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的剩余強(qiáng)度表達(dá)式如式(7):

2.2 隨機(jī)過程模型

碳素鋼管系統(tǒng)運(yùn)行過程中，點(diǎn)腐蝕鋼管的剩余強(qiáng)度發(fā)生隨機(jī)變化，根據(jù)點(diǎn)腐蝕相關(guān)的基本變量可構(gòu)建碳素鋼管剩余強(qiáng)度隨機(jī)變化過程模型，所以公式(7)可以表示為式(8)[14，15]:

其中:h0，L0，σs，v1，v2，b，D為基本隨機(jī)變量，在已知各變量概率分布條件下，結(jié)合蒙特卡洛(Monte-Carlo)模擬分析可以獲取Q(t)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

通過引入隨機(jī)變量ω來描述Q(t)的隨機(jī)變化過程，ω的均值具有統(tǒng)一性(E(ω)=1)，其變化系數(shù)λ是一個(gè)常量(λ=0.15～0.25)，所以公式(8)中的隨機(jī)過程模型可表示如式(9):

其中:Q1(t)是公式(7)中的純時(shí)間函數(shù)。由公式(9)可求出Q(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)如式(10)和式(11)所示[16]:

其中:ρ1是Q(t)在ti和tj時(shí)刻的相關(guān)系數(shù)。

3 點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率模型

3.1 結(jié)構(gòu)可靠性原理

針對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，首先要建立鋼管結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，表示如式(12)[17]:

其中:G稱為安全裕度，xi(i=1，2，…，n)為處于極限狀態(tài)的變量。

若安全裕度僅與鋼管結(jié)構(gòu)承載能力Q和荷載效應(yīng)P兩個(gè)隨機(jī)變量有關(guān)，則公式(12)可表示為式(13):

其中:當(dāng)G＞1 時(shí)，管道結(jié)構(gòu)可靠；當(dāng)G=1 時(shí)，管道結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)；當(dāng)0＜G＜1 時(shí)，管道結(jié)構(gòu)失效。在點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)中，系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)可用故障函數(shù)如式(14):

其中:Q(t)是點(diǎn)腐蝕碳素鋼管在t時(shí)刻的剩余強(qiáng)度，P0是系統(tǒng)正常運(yùn)行的操作壓力。在鋼管結(jié)構(gòu)可靠性問題中，通常采用失效概率Pf衡量鋼管結(jié)構(gòu)的安全性，表示如式(15):

其中:P是事情發(fā)生的概率。

碳素鋼管系統(tǒng)在點(diǎn)腐蝕影響下的失效概率Pf(t)大于系統(tǒng)的故障概率閾值Pa時(shí)，系統(tǒng)安全運(yùn)行存在風(fēng)險(xiǎn)，具體表示如式(16):

其中:TL是特定評估準(zhǔn)則下點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的使用壽命。

3.2 首次穿越概率理論

公式(15)是標(biāo)準(zhǔn)不等式，可以用時(shí)變可靠性方法對其中隨機(jī)變量進(jìn)行分析求解。在點(diǎn)腐蝕碳素鋼管剩余強(qiáng)度Q(t)隨機(jī)變化過程中，鋼管結(jié)構(gòu)的可靠性大小與系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間緊密相關(guān)，由結(jié)構(gòu)可靠性理論中的首次穿越概率可知，在特定的時(shí)間段內(nèi)Q(t)初次小于系統(tǒng)操作壓力P0的概率就是系統(tǒng)的失效概率P(t)，具體表示如式(17)[18]:

其中，Pf(0)是系統(tǒng)初始時(shí)刻的失效概率，v是Q(t)不斷降低的平均速率。由于v在很多實(shí)際問題中取值較小，所以公式(17)可以表示如式(18):

根據(jù)賴斯準(zhǔn)則可以對v進(jìn)行求解，具體如式(19)[19]:

其中:v0是Q(t)逐漸小于P0的上通速率，分別是時(shí)間t時(shí)P0和Q(t)的導(dǎo)數(shù)，是Z 和的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由文獻(xiàn)[19]可知，v0可以表示如式(20):

其中:μ和σ是關(guān)于Q和的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，φ和Φ是關(guān)于Q和的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由隨機(jī)過程理論可知，公式(20)中的變量根據(jù)函數(shù)μQ(t)和CQQ(ti，tj)的取值可按式(21a)和式(21b)求解[20]:

其中，Q和的互協(xié)方差函數(shù)如式(21f):

由隨機(jī)過程理論可知，通過對式(10)和式(11)進(jìn)行求解，式(21a)～式(21f)可以得到解答。

3.3 系統(tǒng)隨機(jī)失效概率模型

依據(jù)系統(tǒng)可靠性分析理論，結(jié)合公式(14)可求出點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率。在點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)中各腐蝕點(diǎn)是一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)，該系統(tǒng)中任一單元出現(xiàn)故障都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失效，所以在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)的失效概率Pf，s(t)表示如式(22)[21]:

其中，Pf，i(t)是系統(tǒng)中第i個(gè)腐蝕點(diǎn)t時(shí)刻引起的失效概率，結(jié)合公式(15)求解；n是腐蝕點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4 結(jié)果與討論

4.1 研究對象

本研究以某原油輸送管道為對象，對所構(gòu)建隨機(jī)失效模型進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。該管道工程于1997 年完成，管道全長3 km，鋼材等級(jí)為X52，管材最小屈服強(qiáng)度σs為359 MPa，鋼管外徑D為355 mm，鋼管壁厚b為11.9 mm，系統(tǒng)正常運(yùn)行的操作壓力P0為10 MPa。通過對一段碳素鋼管觀察共發(fā)現(xiàn)3 處腐蝕點(diǎn)，各腐蝕點(diǎn)在深度方向的平均腐蝕速率v1為0.12 mm/a，在長度方向的平均腐蝕速率v2為4.5 mm/a，各腐蝕點(diǎn)的初始尺寸如表1 所示。

表1 各腐蝕點(diǎn)初始尺寸Table 1 Initial dimensions of corrosion points

4.2 構(gòu)建模型的驗(yàn)證分析

結(jié)合文中構(gòu)建的隨機(jī)失效概率模型，可求出系統(tǒng)的隨機(jī)失效概率變化曲線，該曲線與公式(15)通過蒙特卡洛模擬方法求解的系統(tǒng)失效概率曲線對比結(jié)果如圖2 所示，兩種方法求解的系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到20 和25 a 時(shí)，基于上文構(gòu)建的時(shí)變可靠性分析方法求取的系統(tǒng)失效概率分別為0.06 和0.56，基于蒙特卡洛仿模擬方法求解的系統(tǒng)失效概率分別為0.18 和0.99，系統(tǒng)在低故障率下采用兩種方法求解的失效概率相差較小，可見系統(tǒng)的故障率越低，采用文中構(gòu)建的模型對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率進(jìn)行預(yù)測，其結(jié)果可靠性越高。

圖2 不同方法下的系統(tǒng)失效概率曲線Fig.2 System failure probability curves calculated by different methods

4.3 不同因素對系統(tǒng)失效概率的影響

(1)不同的時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)可求出不同相關(guān)系數(shù)ρ1下的點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率，具體的求解結(jié)果如圖3 所示，不同時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時(shí)，不同的時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)ρ1下的運(yùn)行時(shí)間分別為17.5，21和23.5 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.6 時(shí)，不同的時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)ρ1下的運(yùn)行時(shí)間分別為23.5，25.5和27.5 a。在系統(tǒng)失效概率確定時(shí)，不同時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)下的運(yùn)行年限相差不大，所以在點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)失效的研究中，可以忽略不同時(shí)間點(diǎn)的相關(guān)性大小對系統(tǒng)失效概率的影響，由隨機(jī)過程理論可知，該方法保守估計(jì)了點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率，提前預(yù)防管道安全事故的發(fā)生。

圖3 不同的時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)ρ1對系統(tǒng)失效概率影響Fig.3 Effect of different time-point correlation coefficient (ρ1) on system failure probability

(2)不同的操作壓力對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)可求出不同操作壓力P0下的點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率，具體的求解結(jié)果如圖4 所示，不同操作壓力下系統(tǒng)失效概率曲線變化明顯不同。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時(shí)，不同的系統(tǒng)操作壓力P0下的運(yùn)行時(shí)間分別為16，21 和28 a；當(dāng)系統(tǒng)的失效概率為0.7 時(shí)，不同的系統(tǒng)操作壓力P0下可允許的最大運(yùn)行時(shí)間分別為18，27 和38 a。在系統(tǒng)失效概率確定時(shí)，不同操作壓力下的安全運(yùn)行年限相差較大，隨著系統(tǒng)運(yùn)行年限的增長，年限差距的大小也在增加，可見系統(tǒng)操作壓力的變化對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管的安全壽命有明顯影響。當(dāng)已知特定失效概率下的系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間時(shí)，可以幫助管理者在系統(tǒng)可接受的操作壓力下明確碳素鋼管實(shí)施維修的時(shí)間。

(3)不同的腐蝕速率對系統(tǒng)失效概率的影響

圖4 不同的操作壓力P0對系統(tǒng)失效概率影響Fig.4 Effect of different operating pressure (P0) on system failure probability

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同點(diǎn)腐蝕速率條件下的系統(tǒng)失效概率變化曲線如圖5 所示，不同腐蝕速率的系統(tǒng)失效概率曲線變化明顯不同。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時(shí)，不同腐蝕速率下的系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間分別為11，21 和40 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.6 時(shí)，不同腐蝕速率下的系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間分別為13，25.5 和70 a。當(dāng)系統(tǒng)的可接受失效概率確定時(shí)，腐蝕速率對系統(tǒng)的安全運(yùn)行年限影響較大；系統(tǒng)可允許的失效概率越大，不同的腐蝕速率造成的安全運(yùn)行時(shí)間差距越明顯。結(jié)合研究對象的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，求出系統(tǒng)失效概率為0.1 時(shí)的安全運(yùn)行時(shí)間TL為21 年，若資產(chǎn)管理者在21 年中沒有對鋼管進(jìn)行過維修和更換，TL代表特定評估準(zhǔn)則下點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間，它有助于資產(chǎn)管理者制定合理的維修策略，由此可見，準(zhǔn)確地測量點(diǎn)腐蝕的腐蝕速率有助于提高碳素鋼管系統(tǒng)的可靠性預(yù)測。

圖5 不同的腐蝕速率(v1和v2)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.5 Effect of different corrosion rates (v1and v2) on system failure probability

(4)不同的鋼管尺寸對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同鋼管尺寸條件下系統(tǒng)的失效概率變化曲線如圖6 所示。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時(shí)，不同鋼管尺寸下的運(yùn)行時(shí)間分別為14，21 和24 a。當(dāng)系統(tǒng)的失效概率確定時(shí)，依據(jù)圖6 中的鋼管尺寸變化引起的安全運(yùn)行時(shí)間差距大小可知，鋼管尺寸的變小相對會(huì)加快系統(tǒng)失效的進(jìn)程。隨著鋼管尺寸的變大，點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的安全運(yùn)行時(shí)間也在增加，由此可見，在系統(tǒng)其他參數(shù)不變的條件下，大直徑鋼管的管道壁越厚，系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率越低。

圖6 不同的鋼管尺寸(D 和b)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.6 Effect of different steel pipe sizes (D and b) on system failure probability

(5)不同的管材屈服強(qiáng)度對系統(tǒng)失效概率的影響

圖7 不同的管材屈服強(qiáng)度(σs)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.7 Effect of different pipe yield strength (σs) on system failure probability

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同管材屈服強(qiáng)度條件下系統(tǒng)的失效概率變化曲線如圖7 所示，不同管材屈服強(qiáng)度下系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時(shí)，不同的管材屈服強(qiáng)度下的運(yùn)行時(shí)間分別為18，21 和23 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.8 時(shí)，不同管材屈服強(qiáng)度下的運(yùn)行時(shí)間分別為23.5，28 和33.5 a。由圖7 可見，系統(tǒng)在特定失效概率下不同屈服強(qiáng)度條件下的安全運(yùn)行時(shí)間的差值，伴隨失效概率的增大而變大。系統(tǒng)可允許的失效概率越低，失效概率變化曲線相似度越高，這說明低風(fēng)險(xiǎn)條件下，管材屈服強(qiáng)度對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率影響較小。

5 結(jié)論

針對點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)失效評估問題，運(yùn)用時(shí)變可靠性分析方法，結(jié)合首次穿越概率理論，在線性腐蝕速率模型的基礎(chǔ)上，通過引入隨機(jī)變量建立了點(diǎn)腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機(jī)失效概率模型。借助蒙特卡洛仿真方法驗(yàn)證了所構(gòu)建模型的可行性，管理者依據(jù)模型可求出系統(tǒng)隨時(shí)間變化的失效概率，為制定合理的管道維修策略提供指導(dǎo)。

運(yùn)用文中構(gòu)建的模型對影響系統(tǒng)故障概率的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)操作壓力和點(diǎn)腐蝕速率是影響碳素鋼管系統(tǒng)失效的關(guān)鍵因素，相比可以忽略時(shí)間點(diǎn)相關(guān)系數(shù)和管材屈服強(qiáng)度兩者在系統(tǒng)低故障率下對失效概率的影響，同時(shí)證實(shí)了點(diǎn)腐蝕影響下的大直徑鋼管管壁越厚，破壞其結(jié)構(gòu)完整性需要的時(shí)間越長。