通過數(shù)學(xué)模型分析大流行病的特征并建立預(yù)警方案

陳加英 鄧浩 龍杰

西華大學(xué)，四川 成都

摘 要 通過建立數(shù)學(xué)模型，找出對流行與大流行的定量條件，設(shè)計抽樣病毒檢測方案、分布預(yù)測模型和應(yīng)對方案。針對問題一：把指數(shù)模型與SIR模型相結(jié)合，利用回歸思想，求出界定條件。針對問題二：通過數(shù)學(xué)統(tǒng)計思想，給出了分布預(yù)測模型和應(yīng)對方案。針對問題三：在問題一模型和問題模型二的基礎(chǔ)上，提出了防控建議和降低風(fēng)險的方案。

關(guān)鍵詞 指數(shù)模型 SIR模型 回歸思想

中圖分類號：R18 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0745（2020）03-0029-04

1 問題重述

問題一建立數(shù)學(xué)模型，綜合考慮人口數(shù)、感染數(shù)量、病死人數(shù)、疫情持續(xù)時間、經(jīng)濟(jì)狀況、醫(yī)療條件、人口密度、防疫政策等因素，給出一個合理的界定“流行”（Epidemic）和“大流行”（Pandemic）病的定量條件。

問題二考慮到無癥狀感染者具有一定的傳染性，且不容易發(fā)現(xiàn)，但全民進(jìn)行病毒檢測又成本太高，且時間過長，不利于復(fù)工復(fù)產(chǎn)，我們試圖尋找一種更為有效的方法來最大限度地降低無癥狀感染者的傳播風(fēng)險，比如對一個地區(qū)進(jìn)行抽樣病毒檢測來評估該地區(qū)的無癥狀感染者的分布情況，再制定不同的隔離和檢測措施。請結(jié)合問題一的模型，針對一兩個國家（或地區(qū)），給出切實可行的病毒檢測抽樣方案，并給出無癥狀感染者分布預(yù)測模型和針對相應(yīng)預(yù)測結(jié)果的應(yīng)對方案。

問題三給世界衛(wèi)生組織寫一封信，闡述你的團(tuán)隊對于疫情情況的判斷，并給出一些防控建議和降低風(fēng)險的思路。

2 問題分析

2.1 問題1的分析

（1）問題1的實質(zhì)是結(jié)合各種人口指標(biāo)和治理水平來找到界定流行病與大流行病的相關(guān)定量條件以此來真實反映出病毒的傳播情況，并能夠?qū)τ谝咔榍闆r給出有效的量化指標(biāo)，使得疫情能在最佳時間得到良好的控制。為什么要找出這個量化指標(biāo)呢？首先是為了避免造成不必要的恐慌，因此必須在公布疫情定性標(biāo)準(zhǔn)前，需要對疫情的傳播范圍、傳播速率進(jìn)行合理的分析。其次量化指標(biāo)的建立有利于各個國家加強(qiáng)對本國的防護(hù)意識，以免疫情的控制大于某個給定的閾值，而發(fā)展到不可控或難控的階段。

（2）各影響因素之間的關(guān)系分析?？?cè)丝跀?shù)，其包含了：感染者、易感染者、排出者（因得病死亡或被治愈）。對于感染者的數(shù)量，在疫情初期，由于防疫意識沒有完全建立，防疫政策沒有迅速頒布，其會隨著疫情的持續(xù)時間迅速上升并達(dá)到一個峰值?！敖?jīng)濟(jì)狀況、醫(yī)療條件、人口密度、防疫政策”這些因素從客觀來講共同決定了疫情的感染率，因此可利用現(xiàn)有的統(tǒng)計資料和回歸方程得出感染率的變化數(shù)據(jù)依次來找出最佳控制時間段。

（3）流行與大流行的分析。大流行是指某疾病的發(fā)病蔓延迅速，涉及地域廣，人口比例大，在短時間內(nèi)可以越過省界甚至洲界形成世界性流行疾病。因此我們在界定大流行和流行的定量條件，可將以上因素作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，利用微分方程和相頻線的分析進(jìn)行進(jìn)一步判別。

3 模型假設(shè)

在病毒傳播期內(nèi)該地區(qū)不考慮人口的變化即總?cè)丝跀?shù)不變;得病后被治愈的人或身亡的人不影響病毒的感染率;假設(shè)初期，被感染人數(shù)隨疫情的發(fā)展成指數(shù)形式上升;處于潛伏期的患者在一定時間后會出現(xiàn)患病特征成為患病者;新冠肺炎對不同年齡組的感染率略有不同，對健康人的感染率一樣;問題二的模型在問題一的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以問題一的模型假設(shè)，問題二的模型都滿足;以中國為研究國家，在疫情得到控制這段時間內(nèi)，某地感染者流向其他地區(qū)的比例不變，之后近似為與時間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;無癥狀患者和所有的患者的傳染率是一樣的;境外輸入病歷人員的傳染率和國內(nèi)感染者傳染率相同;由于每天境外輸入人數(shù)沒有太多規(guī)律，每天境外輸入病歷人數(shù)按平均值計算;境外輸入病歷流向某地的比例也按總體數(shù)據(jù)計算;我國的境外輸入病歷是從2月26號開始的，為了方便，我們以下計算都以2月26號為起點計算;各個省份日均治愈率相同。

4 定義與符號說明

5 模型的建立與求解

5.1 問題一的模型

以我國為例，從1月28號開始，第一例病人出現(xiàn)到2月20達(dá)到了峰值，這里我們?nèi)=0.5960，來帶入i（t）=i0（1+K）?——①（n為t次方）進(jìn)行計算，算出累計的確診人數(shù)與實際的患者人數(shù)進(jìn)行比較如圖1所示。

從圖形中，我們可以看出從1月28日起到2月20日，前22天病人的累計數(shù)和我們所用的K=0.5960來代入的數(shù)學(xué)模型基本上是穩(wěn)合的，因此我們認(rèn)為i（t）=i0（1+K）?（n為t次方）是合理的。

在此基礎(chǔ)上因為在疫情初期政策的頒布還未下達(dá)，人民對疫情的防范意識還不夠，因此使得疫情的傳播速率極其的快。而后期政府采取了有力的措施，人民的防患意識增強(qiáng)，疫情便會過渡到緩和，其感染率也會逐漸下降，這個時候確診人數(shù)會呈下降趨勢，然而一個新的問題便出現(xiàn)了，那就是處于潛伏期的患者可能會造成二次波峰。因此我們采取微分方程的模型對該疫情做出更進(jìn)一部的分析。

在前一個模型的基礎(chǔ)上我們可以令出K=0.5960，u= 0.4，i（0）=0.001，s（0）=0.999，代入方程2利用matlab編程軟件得出“病人、康復(fù)者、處潛伏期的人”的變化情況。

若> ，則（）>0，因此i（t）會逐漸減少并趨近于0，若 ≤，則（）<0，也會逐漸減小直到，如圖示感染者與健康者的相關(guān)軌跡線可以看出，如果當(dāng)疫情持續(xù)了一定的時間后才開始進(jìn)行整治的話，其便成為了一個閾值，當(dāng)易感染者的初使比例如果與相比，如果超過了那么產(chǎn)染病將會蔓延下去，此時已經(jīng)過了最佳的管控時間，需要付出更高力度去處理。因為最初可認(rèn)為健康者所占比例近似為=1。并且由作圖分析，假如當(dāng)>，隨著我們的衛(wèi)生水平的提高以及政府的管理制度的加強(qiáng)等……各種有利因素的介入我們可根據(jù)已確診病例累計進(jìn)行分析計算，得出感染率K是一個與時間有關(guān)的函數(shù)，我們可以通過回歸方程法計算出K=7.1E13t6-4.2E10t5+8.1E08t4-1.2E05t3+0.0016t2-0.0391t+0.2525——⑥均方差R?≈0.7012?？芍S著時間的增加，傳染率K值為減少，因為σ=Ku，K與u成反比，因此日治愈率u會逐漸提高。最終疫情會得到控制。令H=K*u*——⑦[1]

但是如果K*u*的值>1，那么疫情將會持續(xù)下去，傳播范圍也就越來越大。因此可分析H隨時間的關(guān)系圖，最終確定疫情傳播范圍的廣泛程度。

5.2 問題二的模型

5.2.1 模型建立

以中國為例，本國的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發(fā)現(xiàn)。根據(jù)資料顯示，境外輸入病歷超過百分之七十在隔離期發(fā)現(xiàn)，固這部分人中最多只有百分之三十會流向國內(nèi)。

再根據(jù)資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數(shù)a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計算結(jié)果，境外輸入總?cè)藬?shù)參考高校疫情防控平臺發(fā)布數(shù)據(jù)），由問題1的模型得u約為0.02。當(dāng)k值取0.15時與問題一模型得出的結(jié)果基本相同。當(dāng)j值取0.012時，得出的無癥狀感染者與實際無癥狀感染者數(shù)量基本相同，以此類推，再計算出其他省份的無癥狀感染者人數(shù)。

5.2.2 與實際分布對比分析

模型得到的分布圖大題上與實際的數(shù)據(jù)分布圖相同，證明了該模型具有一定的預(yù)測能力，并可以預(yù)測未來一段時間無癥狀感染者的數(shù)量走向，可以為決策者采取措施提供一些參考。

5.2.3 針對相應(yīng)預(yù)測結(jié)果的應(yīng)對方案

政府要求發(fā)現(xiàn)無癥狀陽性檢測者時，在2小時內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報告，并進(jìn)行獎勵。各級疾控部門接到轄區(qū)內(nèi)無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續(xù)開展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個入境關(guān)道設(shè)置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強(qiáng)對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時進(jìn)行核酸檢測。

政府要求發(fā)現(xiàn)無癥狀陽性檢測者時，在2小時內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報告，并進(jìn)行獎勵。各級疾控部門接到轄區(qū)內(nèi)無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續(xù)開展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個入境關(guān)道設(shè)置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強(qiáng)對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時進(jìn)行核酸檢測。

6 結(jié)果分析

6.1 問題一的結(jié)果以及模型檢驗

新冠狀病毒在2020年1月中下旬開始在我國爆發(fā)，之后在3月4號其它國家如美國、英國、意大利等地也出現(xiàn)了新冠患者，并瘋狂的增加，在4月1號達(dá)到了一個峰值，并后續(xù)在峰值上下波動著。目前已累計確診215萬人，現(xiàn)有確診人數(shù)還有151萬人，死亡人數(shù)達(dá)到了49萬人已經(jīng)遠(yuǎn)超2009年的新型流感所造成的危害。根有關(guān)部門的記錄，把疫情期間人流量的登記（并假設(shè)境外輸入病例算入一個國家最開始的已有患病人數(shù)i0）。因此可利用SIR模型：

根據(jù)H=K*u*s0與1之比找出界定流行與大流行的定量條件。并可算出最佳的處理時間。通過計算出新冠病毒從2月17號（全球正式開始嚴(yán)肅對待）開始（計為0）也是外國病例的初有時期，傳染范圍指數(shù)在不同醫(yī)療情況、社會重視程度等……經(jīng)濟(jì)條件，隨時間的變化趨勢如下：與世界到達(dá)的到達(dá)時間基本相符，且擴(kuò)大范圍H超過了1，因此確立為大流行病，模型驗證完畢。

6.2 問題二的結(jié)果及模型分析

6.2.1 抽樣方案

（1）是對新型冠狀病毒肺炎病例的密切接觸者開展醫(yī)學(xué)觀察期間的主動檢測;

（2）是在聚集性疫情調(diào)查中開展的主動檢測;

（3）是在新型冠狀病毒肺炎病例的傳染源追蹤過程中對暴露人群主動檢測;

（4）是對部分有境內(nèi)外新型冠狀病毒肺炎病例持續(xù)傳播地區(qū)的旅行史和居住史人員開展主動檢測。

無癥狀感染者主要是來自于境外輸入病例，所以在抽樣調(diào)查時著重以對輸入人員進(jìn)行檢測。

6.2.2 分布預(yù)測模型

以中國為例，本國的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發(fā)現(xiàn)。根據(jù)資料顯示，境外輸入病歷超過百分之七十在隔離期發(fā)現(xiàn)，固這部分人中最多只有百分之三十會流向國內(nèi)。則湖北的感染人數(shù)：

再根據(jù)資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數(shù)a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計算結(jié)果，境外輸入總?cè)藬?shù)參考高校疫情防控平臺發(fā)布數(shù)據(jù)），由問題1的模型得u約為0.02。當(dāng)k值取時0.15，與問題一模型得出的結(jié)果基本相同。當(dāng)j值取0.012時，得出的無癥狀感染者與實際無癥狀感染者數(shù)量基本相同，以此類推，再計算出其他省份的無癥狀感染者人數(shù)。[2]

6.2.3 應(yīng)對方案

政府要求發(fā)現(xiàn)無癥狀陽性檢測者時，在2小時內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報告，并進(jìn)行獎勵。各級疾控部門接到轄區(qū)內(nèi)無癥狀感染者報告時，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時，國內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類的工作人員和取得通行證并報備的人員可以放行，其他無特殊情況不予以通行。對境外人員，持續(xù)開展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個入境關(guān)道設(shè)置檢測點，對排查出的境外人員一律開展核酸檢測。特殊的，加強(qiáng)對湖北入境人員的健康管理，對湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時進(jìn)行核酸檢測。

7 模型評價與推廣

7.1 模型的優(yōu)點

（1）在建模過程中，模型一巧妙的運用了指數(shù)模型和SIR模型及回歸思想，簡便的給出了流行與大流行的界定條件;

（2）模型二通過簡單的數(shù)學(xué)模型成功預(yù)測了無癥狀患者在全國的分布情況;

（3）兩個模型在建立上，充分結(jié)合疫情的發(fā)展趨勢，結(jié)果都十分接近真實數(shù)據(jù);

（4）對問題中的影響因素進(jìn)行了深入探討，考慮了各種因素的相互關(guān)系;

（5）模型二充分利用模型一的結(jié)論，并且與模型一相結(jié)合，結(jié)構(gòu)緊湊，邏輯清晰。

7.2 模型的缺點

（1）模型一的數(shù)據(jù)是主要是以國內(nèi)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)推測全國，國外數(shù)據(jù)難以獲得，使得模型一有一定的局限性。

（2）模型二的結(jié)果是通過平均值來計算的，因為無癥狀患者的數(shù)據(jù)無法得到，所以數(shù)據(jù)不太準(zhǔn)確，擬合的結(jié)果不夠精確。

7.3 模型的改進(jìn)

（1）根據(jù)國家的經(jīng)濟(jì)狀況，醫(yī)療條件，政治思想，多去結(jié)合國外疫情的發(fā)展情況，使得結(jié)果具有普遍性，適用性更強(qiáng)。

（2）利用無癥狀患者的準(zhǔn)確輸入人數(shù)，繪制無癥狀患者分布圖，得到準(zhǔn)確的輸入率，使結(jié)果更加準(zhǔn)確。

（3）可對模型一和模型二進(jìn)行優(yōu)化，使擬合精度更高。

參考文獻(xiàn)：

[1] 商榷之戰(zhàn).數(shù)學(xué)建模_SIR數(shù)學(xué)模型的建立[DB/OL]. https：//wenku.baidu.com/view/dd78803a376baf1ffc4fadb3.html.

[2] 日光傾城xi. 數(shù)學(xué)建模——傳染病模型[DB/OL]. https：//wenku.baidu.com/view/55fc0466b9d528ea80c7799f.html .