二次疫情到來的預(yù)測(cè)模型

龍杰 鄧浩 陳加英

西華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都

摘 要 通過建立幾個(gè)數(shù)學(xué)模型，評(píng)估第二次疫情高峰到來的隱患大小，并給出合理的復(fù)工復(fù)產(chǎn)時(shí)間點(diǎn)以及討論哪些參數(shù)是最重要的，而這些參數(shù)如果不準(zhǔn)確，會(huì)對(duì)防疫工作和疾病傳播的過程帶來怎樣的影響。最后，結(jié)合對(duì)無癥狀感染者的預(yù)測(cè)模型，然后再引入SIR模型對(duì)日治愈率和日接觸率進(jìn)行分析，推出被傳染比例的影響因素，再通過相應(yīng)措施來降低被傳染的概率，從而來對(duì)重大賽事能否重啟進(jìn)行合理評(píng)估。

關(guān)鍵詞 SEIR倉室模型 再生數(shù)的閾值 網(wǎng)絡(luò)流動(dòng)結(jié)構(gòu) SIR模型

中圖分類號(hào)：R-3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0745（2020）02-0028-07

1 問題重述

問題一：建立數(shù)學(xué)模型，選擇三個(gè)國家進(jìn)行研究，評(píng)估它們出[1]現(xiàn)第二次高峰的風(fēng)險(xiǎn)大小，并給出復(fù)工復(fù)產(chǎn)的政策性建議，以避免第二次高峰的出現(xiàn);

問題二：建立合理的數(shù)學(xué)模型并討論哪些參數(shù)是最重要的，而這些參數(shù)如果不準(zhǔn)確，會(huì)對(duì)防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響;

問題三：我國的無癥狀感染者的數(shù)量持續(xù)降低，但是并未清零，也有一些無癥狀感染者未被發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)結(jié)合第一階段的模型，充分考慮我國的疫情現(xiàn)狀，評(píng)估重啟大型體育賽事（比如中超足球聯(lián)賽或者 CBA 籃球聯(lián)賽）的可能性，并給出分階段（無觀眾賽事、部分觀眾賽事、全部觀眾但要求戴口罩賽事、全面放開賽事）重啟的時(shí)間表;

問題四：為了能夠順利重啟一些大型體育賽事，給有關(guān)部門寫一份有關(guān)于疫情防控的備忘錄。

2 問題分析

2.1 問題1分析

2.1.1 總體分析

首先問題1是一個(gè)非常值得深度關(guān)注的問題，因?yàn)椤岸胃叻濉钡挠绊懥蛟S會(huì)遠(yuǎn)超第一次疫情爆發(fā)所帶來的影響并可能會(huì)隨著病毒的變異以及各類指標(biāo)的失效而更難以控制[2]這樣顯然是對(duì)整個(gè)國家乃至全球都是相當(dāng)不利的，因此需要給定一個(gè)閾值，針對(duì)不同的國家來評(píng)估其“二次高峰”的風(fēng)險(xiǎn)大小，結(jié)合各個(gè)國家的醫(yī)療水平以及社會(huì)形勢(shì)然后做出相應(yīng)的措施以及復(fù)工復(fù)產(chǎn)規(guī)劃來避免二次高峰的到來。

2.1.2 影響因素分析與聯(lián)系

在第一次疫情得到有效緩解后，各個(gè)國家各個(gè)地區(qū)便會(huì)陸續(xù)開展復(fù)工復(fù)產(chǎn)。因此隨著人流量的逐步上升，個(gè)體的日平均接觸率也會(huì)有所上升，各地區(qū)的無癥狀感[3]染者此時(shí)便會(huì)穿插在人群中，感染率不由的有所增長，而此時(shí)隔離率卻并沒有迅速跟進(jìn)，病人的恢復(fù)率也沒有大幅度上升。這些因素與第“二次高峰”到來的隱患大小密切相關(guān)。雖然此時(shí)醫(yī)療條件相比于疫情初期會(huì)有很大提升，但是如果未能正確把控復(fù)工復(fù)產(chǎn)的時(shí)間，那么第二次高峰的到來或許是必然的。因此在上一階段模型的分析基礎(chǔ)上，需要著重考慮在疫情期間各國人流量的移入移出，然后做出相應(yīng)的措施。

2.2 問題2的分析

2.2.1 總體分析

建立了加入個(gè)人防護(hù)因素的SEIR模型，對(duì)基本再生數(shù)、潛伏期時(shí)間、代間隔等幾個(gè)重要的參數(shù)進(jìn)行變量控制，討論出最重要的參數(shù)以及會(huì)對(duì)防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響。

2.2.2 影響因素分析與聯(lián)系

通過建立模型考慮重要的參數(shù)，對(duì)防疫工作和疾病流行的過程給出了具體的預(yù)測(cè)，對(duì)后面的疫情防控工作起了重要的預(yù)防工作。

2.3 問題3的分析

當(dāng)前我國疫情還存在無癥狀感染者，這些無癥狀感染者的存在嚴(yán)重影響了我們的生活，使得整個(gè)社會(huì)的管控不確定性越來越大，并且這個(gè)因素不僅僅會(huì)造成感染人數(shù)急劇增加和疫情的二次爆發(fā)，也影響著一些重大賽事是否能重啟。重啟的時(shí)間，重啟后怎么制定觀眾的觀看方式等等，因此引入SIR模型來對(duì)被傳染率的影響因素進(jìn)行研究，從而可以分析得出重啟重大賽事的時(shí)間和防護(hù)措施。

無癥狀感染者的概念：根據(jù)國家衛(wèi)生健康委發(fā)布的《新型冠狀病毒肺炎防控方案（第六版）》，無癥狀感染者是指無相關(guān)臨床癥狀（如發(fā)熱、咳嗽、咽痛等可自我感知或可臨床識(shí)別的癥狀與體征），呼吸道等標(biāo)本新冠病毒病原學(xué)（通常指核酸檢測(cè)）或血清特異性免疫球蛋白M（IgM）抗體檢測(cè)陽性者。無癥狀感染者不是確診病例，因此不算新增感染病人。2020年3月4日國家衛(wèi)生健康委公布的第七版中，對(duì)這一規(guī)定沒有[4]改變（參考于百度百科）。

3 模型假設(shè)

（1）假設(shè)地區(qū)和國家的總?cè)丝跀?shù)不變。

（2）將境外輸入病例作為該國家的初始患病人數(shù)。

（3）與感染者密切接觸的人群若被感染則其定位為易感染內(nèi)（Sk）或者潛伏內(nèi)（Ek）。

（4）復(fù)工之前本國人口流動(dòng)為0。

（5）新冠肺炎對(duì)不同年齡組的感染率略有不同，對(duì)健康人的感染率一樣。

（6）處于潛伏期的患者在一定時(shí)間后會(huì)出現(xiàn)患病特征成為患病者。

（7）SI服從均值的指數(shù)分布。

（8）人群中所有人都有被感染的概率，康復(fù)人群不會(huì)再被感染。

（9）真實(shí)的感染者=感染者I-假陽性患者I2+假陰性患者I1。

（10）假設(shè)假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測(cè)的患者中，真實(shí)的新冠病毒感染者占20%，而檢測(cè)的靈敏度為70%，特異度為90%所計(jì)算出來）。

（11）潛伏期患者與以表現(xiàn)出癥狀的的傳染能力是相同的。

（12）隔離的患者都是住院患者。

（13）假設(shè)武漢的患者人數(shù)接觸率的額影響曲線等于中國的患者接觸率的影響。

（14）附件中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)有效。

（15）不會(huì)出現(xiàn)超級(jí)感染者，如果出現(xiàn)，會(huì)被第一時(shí)間隔離，不會(huì)造成大范圍傳播。

（16）新型肺炎病毒在此階段不會(huì)出現(xiàn)變異。

（17）確診者被完全完全隔離，不再具有傳染性。

（18）境外輸入病歷已基本得到控制，不再是影響我國疫情的主要因素。

4 定義與符號(hào)說明

5 模型的建立與求解

5.1 問題一的模型建立

從新冠病毒疫情爆發(fā)開始，世界全球各個(gè)國家都陸續(xù)在積極整合疫情實(shí)時(shí)大數(shù)據(jù)報(bào)告，主要針對(duì)了各國疫情的新增趨勢(shì)、確診疑似趨勢(shì)、累計(jì)死亡和治愈人數(shù)、治愈率和死亡率、境外輸入輸出比例和累計(jì)趨勢(shì)等。我們主要收集了我國和美國還有意大利的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，并且進(jìn)行了數(shù)據(jù)整理與選擇。由于我國是首先發(fā)現(xiàn)該病例，因此我們以我國為中心，并考慮境外輸入輸出的影響來研究各國的疫情的發(fā)展趨勢(shì)。我們從微信公眾號(hào)青檸疫服上收集到[5]了我國境外輸入新增趨勢(shì)和境外輸入累計(jì)趨勢(shì)（參考微信程公眾號(hào)青檸疫服）。為了估計(jì)各個(gè)國家的初期患病人數(shù)，我們從“世界人口網(wǎng)”（https：//www.renkou.org.cn/）上收集了三個(gè)國家截止到2020年4月11日的總?cè)丝跀?shù)量（見表格一所示）。

依據(jù)目前疫情的發(fā)展情況，以及各國政府采取的控制措施，我們建立了一個(gè)SEIR倉室模型。針對(duì)于各個(gè)國家的隔離措施，如果有近似k比率與感染者接觸的人被隔離了且被感染，則其自動(dòng)轉(zhuǎn)為Ek，反之不變。對(duì)于被隔離的個(gè)體，如果被感染則會(huì)以A*B*O的速度被送到Ek內(nèi)，如果沒有被感染則會(huì)以A*（1-B）*O的速度轉(zhuǎn)移到Sk內(nèi)。同時(shí)感染者從被確診（確診速率E1參數(shù)估計(jì)為0.133）到恢復(fù)到健康水平，其恢復(fù)率為F3（參數(shù)估計(jì)為0.1022），考慮到遷入遷出其SEIR具體模型如下所示：

其中下標(biāo)i可取值分別為1、2、3分別代表中國、美國、意大利。人口的流動(dòng)用表示，其中j表示人的狀態(tài)（分別包含易感染者、潛伏期者、有感染癥狀者和無癥狀感染者）。由于疫情從1月28日在中國發(fā)生，并在之后的一段時(shí)間內(nèi)美國和意大利并沒有報(bào)告病例數(shù)。所以我們只考慮我國人口的境外輸入量和輸出量（參考微信程公眾號(hào)青檸疫服），則表示人口從我國流向第i個(gè)國家。我國在3月28日正式宣布封國，因此，可以假設(shè)在3月28日以后沒有人口流動(dòng)了。此時(shí)=0?？紤]到復(fù)工復(fù)產(chǎn)時(shí)人口重新開始流動(dòng)了。此時(shí)有境外的輸入輸[6]出比例又呈上升趨勢(shì)，大約有700人出入中國，其中黑龍江、上海等地所占比例最大，大約占了52%。由此根據(jù)人口的流動(dòng)趨勢(shì)和分布可以計(jì)算出函數(shù)矩陣，這里矩陣表示人口流動(dòng)的鄰接矩陣，一共分為三段（1月28-3月28）。由我國的遷入遷出趨勢(shì)圖，以及人口數(shù)量表可以計(jì)算出不同國家的控制數(shù)，并假設(shè)在中間階段人口沒有流動(dòng)，取值為0。

根據(jù)所給模型，利用再生矩陣的方法，我們可以計(jì)算出控制措施實(shí)施過程中再生數(shù)的取值。其公式如下：Rc=[（BAp（1-k））/（E1+g+F1） ...+（BA（1-p）（1-k）τ）/F2...+（BAω（1-k））/C]S（0）

5.2 模型一的求解

其中S（0）表示易感染者的初值，然而考慮到前期社會(huì)整體對(duì)這種新型病毒的認(rèn)識(shí)不足（此時(shí)重視程度較低）， 再加上醫(yī)療資源緊張， 因此導(dǎo)致前期我國的報(bào)告病例數(shù)相對(duì)較低， 而其它國家疫情暴發(fā)比我國晚， 報(bào)告病例數(shù)據(jù)相比我國較為模糊。因此，我們基于除我國外的其他國家的累計(jì)病例數(shù)（參考微信程公眾號(hào)青檸疫服）， 采用最小二乘法來估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)。由于大部分國家的報(bào)告病例數(shù)基本都是從2月 15 日開始，并且前幾天的數(shù)據(jù)也不太準(zhǔn)確， 所以我們采用從2月15 日至 4 月 30 日 的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。我們將數(shù)據(jù)分為三個(gè)階段以期評(píng)估各國逐步加強(qiáng)的控制措施的影響， 第一階段為 2 月 15日至 3 月 5 日， 第二階段為 3 月 6 日至 4 月 12 日，第三階段為 4 月 13日至 4 月30日。首先，根據(jù)所建模型我們先分析第一階段包含數(shù)據(jù)的所有參數(shù)。為了考慮各地不斷加強(qiáng)的控制措施對(duì)疫情的影響， 而控制措施的影響主要體現(xiàn)在接觸數(shù)A和隔離率k的變化， 假設(shè)各國家間的參數(shù)A和k的取值不同，固定其他參數(shù)不變， 分別利用這三段數(shù)據(jù)重新估計(jì)每個(gè)國家的參數(shù)A和k. 模擬的起始時(shí)間 為 2 月 15 日， 我國的模型初值見表2 ， 其他國家易感者的初值假設(shè)為當(dāng)?shù)乜側(cè)丝跀?shù)， 其余初值為 0 （見表3）. 具體參數(shù)估計(jì)值和三個(gè)時(shí)間段期間的控制再生數(shù)的估計(jì)值見表2和3， 利用Matlab仿真軟件進(jìn)行模型擬合。表3中的數(shù)字下標(biāo)1、2、3分別代表3個(gè)不同的階段。

在疫情初期，由于需要花大量的時(shí)間在病毒的研究上，因此統(tǒng)計(jì)出來的病例數(shù)是明顯低于實(shí)際的病例數(shù)的。并且由于我國是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)病例的國家，因此從其它國家的病例數(shù)來估計(jì)我國的實(shí)際病例數(shù)也是很重要的[7]，根據(jù)模型可以知道在我國在3月28日封國以后，我國疫情已經(jīng)得到了較好的控制。根據(jù)估計(jì)的參數(shù)值，我們得到了中國、意大利、美國三個(gè)國家的三個(gè)階段的再生數(shù)（表三）[8]。從表中可以看出，在全球疫情初期美國的再生數(shù)為5.15，明顯大于我國和意大利，因此美國的疫情惡化趨勢(shì)有著很大的潛伏性。而我國的再生數(shù)較小，一方面由于一部分病例流入了其它的國家（占很小的比例），另一方面可能為核酸檢測(cè)試劑并沒有完全檢查出所有的病例（與社區(qū)宣傳效果、檢查范圍等因素密切相關(guān)）[9]。而對(duì)于之后的階段，我國再生數(shù)已經(jīng)有了明顯的下降，意大利也是如此，但是美國還在上升（由于各國的疫情防治的重視程度不同以及醫(yī)療體系的因素）。對(duì)于再生數(shù)小于1表明：目前新發(fā)感染率比較低，疫情已經(jīng)得到了有效的控制。

5.3 問題二的模型建立

SEIR模型，將人群分為：（如圖4）

基礎(chǔ)的SEIR模型沒有考慮到防控隔離、假陽性、假陰性對(duì)防疫工作和疾病流行過程的影響，因此在原有的基礎(chǔ)上新增了幾類人群，如圖4所示。

在疫情初期，基本再生數(shù)R0的均值由公式⑧和第一階段計(jì)算所得指數(shù)增長K指，計(jì)算的出初期的基本再生數(shù)均值為3.4，即為在初期指數(shù)增長階段，一個(gè)典型的患者可以傳染大約3.4個(gè)人。

疫情爆發(fā)期由建立的模型可得，基本再生數(shù)R0=2.8，即為一個(gè)典型的新冠患者可以傳染2.8個(gè)易感人，代間隔均值約為5.0d。

5.4 問題三的模型建立

結(jié)合一階段問題2對(duì)無癥狀感染者預(yù)測(cè)的模型來分析無癥狀感染者的人數(shù)的范圍。由第一階段的模型可知，無癥狀感染者的人數(shù)在四月份基本得到控制，現(xiàn)在每日新增人數(shù)基本控制在個(gè)位數(shù)，整體疫情基本得到控制[10]。

當(dāng)病毒高度適應(yīng)人群后，無癥狀感染者是否更難發(fā)現(xiàn)，是否會(huì)造成疫情的二次爆發(fā)這些種種的問題都值得去勘測(cè)。為了更好預(yù)估賽事重啟時(shí)間，我們決定研究被傳染比例的重要影響因素，如何來降低被傳染的比例是最賽事能否重啟的重[11]要參考。以CBA籃球聯(lián)賽是否能重啟為例，如果要重啟該賽事，我們需要對(duì)有足夠的應(yīng)對(duì)能力來降低感染者的日接觸率，足夠的醫(yī)療能力來提高日治愈率，只有這樣，才能為重啟賽事提供切實(shí)可行的保障。由此我們引入SIR模型[12]。

6 結(jié)果分析

6.1 問題一的結(jié)果以及模型檢驗(yàn)

為了研究復(fù)工對(duì)各個(gè)國家的疫情的影響，我們基于我國在疫情期間的流動(dòng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和流動(dòng)量的模擬模型，并且考慮了不同的復(fù)工時(shí)間以及控制強(qiáng)度的影響分別采用第一階段和第二階段的人均接觸數(shù)A和隔離率k在模擬時(shí)只考慮其它國家對(duì)我國的境外輸入量得到，在復(fù)工時(shí)間分為3個(gè)時(shí)間段，分別為2月3日、3月15日、4月3日對(duì)各個(gè)國家疫情的影響用Matlab軟件進(jìn)行預(yù)測(cè)分析[13]。

可得，在前兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)復(fù)工的話，只有我國的疫情擴(kuò)大趨勢(shì)沒有過大的增幅，其它兩個(gè)國家都有明顯的上升，因此如果控制措施不嚴(yán)格的話[14]，病情將會(huì)在20天內(nèi)再次爆發(fā)。對(duì)于在最后一個(gè)時(shí)間段內(nèi)復(fù)工的話，我國和意大利的疫情并不會(huì)嚴(yán)重化，但是對(duì)于美國來講，這段時(shí)間復(fù)工仍然是非常的不樂觀。

因此由于各個(gè)國家從2月15日才相繼給出疫情發(fā)展情況（我國較為提前），為了不斷加強(qiáng)防控措施的有效性，我們分階段的給出了三個(gè)國家的控制再生數(shù)。并有數(shù)據(jù)分析，模型仿真可以知道，在前兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)里開展復(fù)工復(fù)業(yè)的話，再生數(shù)除了我國在第二個(gè)階段比較低以外，其它國家都比較大。有很大的傳播風(fēng)險(xiǎn)，然而對(duì)于第三個(gè)時(shí)間點(diǎn)即4月3日復(fù)工，我國和意大利的再生數(shù)均小于1，則新發(fā)感染率明顯降低。因此模型仿真完畢，與實(shí)際情況近似相符[15]。

6.2 問題二的結(jié)果及模型分析

哪些參數(shù)是最重要的：

時(shí)間段不變，根據(jù)各個(gè)參數(shù)的變化值，控制變量法可以得出最重要的參數(shù)有：基本再生數(shù)、感染規(guī)模加倍時(shí)間、個(gè)人防護(hù)。

對(duì)防疫工作和疾病流行程度帶來了什么影響：

假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測(cè)的患者中，真實(shí)的新冠病毒感染者占20%，而檢測(cè)的靈敏度為70%，特異度為90%所計(jì)算出來），這部分假陰性患者不能被檢測(cè)計(jì)檢測(cè)出來，所以可能會(huì)造成的危害較大。個(gè)人防護(hù)和隔離措施一定要做好。

假陽性率雖然也是檢測(cè)計(jì)的故障，容易造成感染患者統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)上的夸大，但是假陽性的危害沒有假陰性的危害嚴(yán)重。

時(shí)刻關(guān)注潛伏期時(shí)間，有特殊患者的潛伏期時(shí)間超過了14天。對(duì)于無癥狀患者的分布要時(shí)刻采取注意。

6.3 問題三的結(jié)果

由于每只球隊(duì)都會(huì)有自己的主場地，并且現(xiàn)在每個(gè)地方的疫情情況不太一樣，有感染率相對(duì)高一些的地方，這個(gè)時(shí)候就需要每個(gè)地方的球隊(duì)董事會(huì)根據(jù)當(dāng)?shù)厍闆r來設(shè)置一個(gè)閾值k0，當(dāng)計(jì)算所得的值高于這個(gè)閾值時(shí)，就可以考慮開賽。由問題一的模型我們可知，我國疫情可能在二次爆發(fā)，這個(gè)時(shí)間段應(yīng)該尤為注意防護(hù)措施。滿足什么條件時(shí)能不帶口罩呢？一是在無人員聚集的地方可以不帶口罩，二是在通風(fēng)條件良好地方可以不帶口罩。顯然，對(duì)于CBA的舉報(bào)地就不滿足第一點(diǎn)，如果由模型3評(píng)估可以重啟賽事時(shí)，那么每個(gè)觀眾席之間的距離需要間隔一米以上。僅僅如此還不夠，也需要滿足良好的通風(fēng)條件以及相應(yīng)的應(yīng)急措施。由此我們可以制定出CBA賽事的重啟時(shí)間表。

6.4 問題四的結(jié)果

給國家安全局的備忘錄：6月初就可以舉行賽事了，但是有幾點(diǎn)必須要注意的事項(xiàng)：限制現(xiàn)場觀眾的人數(shù)（根據(jù)場地限制，以及該地區(qū)近段時(shí)間的疫情控制情況而定）;觀眾于觀眾之間的位置距離要設(shè)計(jì)>1.5米;在進(jìn)場處進(jìn)行溫度檢測(cè)，溫度超過37.2攝氏度請(qǐng)移步網(wǎng)上觀看;現(xiàn)場設(shè)置醫(yī)護(hù)人員，處理應(yīng)對(duì)緊急狀況;賽前對(duì)于運(yùn)動(dòng)員的身體狀況一定要反復(fù)檢查，確保不能有一點(diǎn)疏漏，舉行賽事時(shí)不可避免的時(shí)隊(duì)員與隊(duì)員之間的接觸。[16]

7 模型評(píng)價(jià)與推廣

7.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）在建模過程中，模型一巧妙的運(yùn)用SEIR模型，結(jié)合人口流動(dòng)矩陣，評(píng)估了二次疫情高峰的隱患大小。

（2）模型二引入了個(gè)人防護(hù)因素的SEIR模型更加貼近實(shí)情，考慮了基本再生數(shù)、潛伏期時(shí)間、代間隔幾個(gè)重要的參數(shù)。

（3）模型三建立SIR模型，引入了被傳染率，較準(zhǔn)確的評(píng)估出重大賽事的重啟時(shí)間。

（4）各個(gè)模型之間緊密聯(lián)系，和真實(shí)情況較為貼近，仿真結(jié)果進(jìn)行了多次測(cè)量更具有可行性。

（5）將國內(nèi)外的疫情情況相結(jié)合，使得防疫指標(biāo)更具有普遍性。

7.2 模型的缺點(diǎn)

（1）模型一的評(píng)估結(jié)果，主要是以我國為中心，而沒有特別注重其他國家之間的相互的影響。

（2）模型二的參數(shù)考慮涉及不全面，數(shù)據(jù)不是特別準(zhǔn)確。

（3）模型三僅僅是從理論進(jìn)行分析，沒有進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果與實(shí)際可能存在偶然性誤差。

（4）關(guān)于潛伏期患者和無癥狀患者的數(shù)據(jù)難以獲得，因此模型具有一定的局限性。

7.3 模型的改進(jìn)

（1）對(duì)各問題的模型進(jìn)行優(yōu)化，使得擬合精度更高。

（2）對(duì)于模型二多考慮一些參數(shù)。

（3）對(duì)模型三進(jìn)行Matlab仿真，使得結(jié)論更加準(zhǔn)確。

（4）整合各個(gè)國家?guī)讉€(gè)月以來的人口流動(dòng)，多去查閱國外的疫情數(shù)據(jù)以及國家間的人群流動(dòng)數(shù)據(jù)再與國內(nèi)疫情展趨勢(shì)相聯(lián)系，使得評(píng)估指標(biāo)適用性更強(qiáng)。

參考文獻(xiàn)：

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