一類具有混合時滯的脈沖Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反周期解

曾國斌 張林麗

（1.?？诮?jīng)濟學院科研處 海南省?？谑?571127 2.海南大學應(yīng)用科技學院 海南省儋州市 571737）

1 引言

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學模型的研究中，作為目前最流行的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之一的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型被廣泛地應(yīng)用于生物、信號與圖像處理、最優(yōu)化設(shè)計和工程等諸多領(lǐng)域。在這些應(yīng)用中，大都要求所設(shè)計的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是穩(wěn)定的。但是，信號在傳播和處理過程中不可避免地會受外界干擾和產(chǎn)生時滯現(xiàn)象，而脈沖和時滯往往是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)振動和不穩(wěn)定的原因。因此，探討具有脈沖和時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學行為具有重要的實際意義。

近年來,對具有脈沖和時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學行為的研究吸引了國內(nèi)外廣大學者的關(guān)注[1-6]。然而，大多數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的研究僅僅考慮離散時滯，鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中各種軸突大小和長度的平行通路的存在，在模型中同時考慮離散時滯和分布時滯會更合理。文獻[7]利用Brouwer 不動點定理、Barbalat 引理和Lyapunov 函數(shù)法研究了一類具有混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡點的存在唯一性和全局漸近穩(wěn)定性。文獻[8]利用分析技巧和 Poincaré 映射給出了一類變系數(shù)混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在、唯一和指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。文獻[9]利用不動點理論、Liapunov 及不等式的分析技巧給出了具有混合時滯的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解的存在性和全局指數(shù)穩(wěn)定性的一個充分條件。文獻[10]利用李雅普諾夫函數(shù)和一些分析技巧給出了在時間尺度上具有離散和分布時滯的脈沖Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解全局指數(shù)穩(wěn)定的一個充分條件。1988年，H.Okochi 最早提出了反周期的問題，并且對其在理論和應(yīng)用方面作了進一步研究[11]。反周期函數(shù)是周期函數(shù)的一種特例，是具有兩倍周期性的有界連續(xù)函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信號傳播過程通常也被看作是一個反周期過程，但目前研究具有脈沖和混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反周期解的文獻尚不多見 。本文利用迭代分析方法研究了一類具有脈沖和混合時滯的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型反周期解的存在性、唯一性以及平衡點的一致穩(wěn)定性。

本文考慮如下一類具有混合時滯和脈沖的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

其中，n 是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個數(shù)；脈沖時刻tk滿足

假設(shè)：

如果常向量滿足如下以下兩個方程，則稱x*為模型（1）的平衡點：

在本文中，我們假設(shè)滿足一些條件可使得模型（1）的平衡點存在。如果常向量x=x*是模型（1）的平衡點，則令可得：

令

可得：

為了證明模型（1）的平衡點是一致穩(wěn)定的，我們只需要證明模型（2）的平凡解是一致穩(wěn)定的即可。

定義范數(shù)：

定義1[15]若一個分段連續(xù)函數(shù)滿足以下兩個條件，則稱x(t)為系統(tǒng)（1）的解：

定義2[15]若一個分段連續(xù)的函數(shù)滿足下列三個條件，則稱之為系統(tǒng)（1）的一組T-反周期解：

2 基本假設(shè)

下面給出本文的基本假設(shè)條件：

(H1)存在常數(shù)Li>0 使得成立；

(H2)存在常數(shù)qik>0 使得成立；

(H3)時滯核函數(shù)Kij是定義在上的連續(xù)、可積的函數(shù)，并且滿足：

給出如下記號：

其中

證明：令則zi(t)滿足以下邊值問題：

當時，此時無脈沖，可得

則當t=t1時，可得

在上考慮柯西問題（2）和初始值，可得

在（3）式中令t =T 可以得到

將（4）代入到（3）式中去，即得到都有下式成立：

3 主要結(jié)論

首先，利用迭代分析法證明模型（2）的T-反周期解的存在性，即可得到模型（1）的T-反周期解的存在性。

定理1 若假設(shè)條件(H1)-(H4)滿足，則模型（2）存在唯一的一組T-反周期解，并且滿足

證明：定義如下迭代序列：

其中i=j=1…,n.

利用歸納法易得如下不等式成立

則

接著，利用反證法證明模型（2）的T-反周期解的唯一性，即可得到模型（1）的T-反周期解的唯一性。

通過移項和合并同類項可推出如下（6）式成立

由假設(shè)條件(H4)可得即則說明模型（2）只有唯一的一組T-反周期解。

由定理1，可得到如下定理2：

定理 2 若假設(shè)條件(H1)-(H4)滿足，則模型（1）有唯一的一組T-反周期解

下面，利用反證法證明模型（2）的平凡解是一致穩(wěn)定的即可得到模型（1）的平凡解是一致穩(wěn)定的,先給出平凡解是穩(wěn)定的和一致穩(wěn)定的定義。

定義 3[15]對于任意的，存在對于任意的，當時，有成立，則稱模型（2）的平凡解是穩(wěn)定的；如果δ 和t0無關(guān)，則稱模型（2）的平凡解是一致穩(wěn)定的。

定理 3 若假設(shè)條件(H1)-(H4)滿足，則模型（2）的平凡解是一致穩(wěn)定的。

根據(jù)定理3，則可得到如下定理4：

定理 4 若假設(shè)條件(H1)-(H4)滿足，則模型（1）的平衡點是一致穩(wěn)定的。