基于對數(shù)極坐標(biāo)的圖像匹配綜述

冉洪成

（四川大學(xué)計算機學(xué)院，成都 610065）

0 引言

在計算機視覺中，圖像匹配的研究是一個非常重要和基礎(chǔ)的方面。圖像匹配就是將不同時間、不同傳感器（成像設(shè)備）或不同條件下（天候、照度、攝像位置和角度等）獲取的兩幅或多幅圖像進行匹配、疊加的過程[1]。圖像匹配在目標(biāo)檢測、模型重建、運動估計、特征匹配，腫瘤檢測、病變定位、血管造影、地質(zhì)勘探、航空偵察等領(lǐng)域都有著重要的意義，廣泛的應(yīng)用于交通、醫(yī)學(xué)、服務(wù)等各個行業(yè)。例如，通過圖像匹配可以觀察醫(yī)學(xué)圖像中，病灶隨時間呈現(xiàn)出來的不同形態(tài)，幫助醫(yī)生掌握病情變化；通過多張圖片的共同點匹配也可以實現(xiàn)三維模型重建；圖像匹配也可以通過找到圖像之間的相同點或者變換關(guān)系，在航空領(lǐng)域中，圖像匹配也可以幫助高空精準(zhǔn)定位。

盡管在有些應(yīng)用上圖像匹配算法[2-5]已經(jīng)比較成熟，但是由于視點變化、光照差異、背景復(fù)雜等不可預(yù)估的因素，目前的匹配算法還沒有一個通用的解決方案。所以，如何獲得一個魯棒、高精度、高效、適用于復(fù)雜場景的圖像匹配算法仍然是目前的研究方向。

1 匹配原理

在計算機系統(tǒng)中，圖像可以看成是一個二維矩陣f(x,y)，每個坐標(biāo)對(x,y)表示圖像所對應(yīng)的灰度值。因此，圖像可以表示為：

如果用I1表示原圖像，I2表示待匹配的圖像，則圖像匹配具體可以表示為：

其中，g表示一維的灰度變換函數(shù)。f代表二維的幾何變換函數(shù)，即原始圖像和待匹配圖像的變換關(guān)系。

匹配的主要目的是找到I1和I2的變換關(guān)系g和f（g表示灰度變換關(guān)系，f表示空間變換關(guān)系）。而且有些情況下灰度變換關(guān)系的求解并不是必需的，所以尋找空間幾何變換關(guān)系就成了配準(zhǔn)的關(guān)鍵，于是式（2）可以改寫為：

2 笛卡爾坐標(biāo)系

現(xiàn)階段圖像匹配主要在笛卡爾坐標(biāo)系進行，例如邊緣檢測中的Robert算子、Prewitt算子、Sobel算子、LOG算子和Canny算子等；基于特征點的Harris角點檢測、SIFT特征提取算子等。

笛卡爾坐標(biāo)平面表示如下：

笛卡爾坐標(biāo)平面示意圖如圖1。

圖1 笛卡爾坐標(biāo)系

3 對數(shù)極坐標(biāo)系

由于存儲分辨率和拍攝角度等原因的影響，會使圖片產(chǎn)生尺度變化和旋轉(zhuǎn)等問題，讓圖像在笛卡爾坐標(biāo)系下匹配變得困難。隨著研究的深入，出現(xiàn)了一種基于對數(shù)極坐標(biāo)的匹配方法[8]。該方法將圖像放在對數(shù)極坐標(biāo)下進行匹配，使圖像的尺度變換和旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為對數(shù)極坐標(biāo)下的平移變換，減少了匹配難度，提高了匹配精度，能夠較好地處理剛體變換、圖像遮擋、亮度變換等問題。

然而在圖像匹配的過程中，往往會遇到放縮和旋轉(zhuǎn)變化。與笛卡爾坐標(biāo)系相比，對數(shù)極坐標(biāo)在處理這類變換具有較好的優(yōu)勢。

對數(shù)極坐標(biāo)平面表示如下：

對數(shù)極坐標(biāo)平面示意圖如圖2。

圖2 對數(shù)極坐標(biāo)系

圖像f(x,y)到g(ρ,θ)的對數(shù)極坐標(biāo)變換為:

ρ表示對數(shù)極坐標(biāo)的極徑，θ表示角度，(x0,y0)表示笛卡爾坐標(biāo)系的變換中心，(x,y)表示笛卡爾坐標(biāo)系像素點。對數(shù)極坐標(biāo)系中圖像分辨率為：δρ×δθ。

旋轉(zhuǎn)不變性和尺度不變性是圖像在對數(shù)極坐標(biāo)中的兩個重要性質(zhì)。圖像在笛卡爾坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變化會轉(zhuǎn)換為對數(shù)極坐標(biāo)系下沿角度方向的平移變化；同樣，圖像在笛卡爾坐標(biāo)系下的尺度變化會轉(zhuǎn)換為對數(shù)極坐標(biāo)下沿極徑方向的平移變化。

例如：當(dāng)圖像旋轉(zhuǎn)θ0弧度時，則有：

其中，旋轉(zhuǎn)前對數(shù)極坐標(biāo)系中的角度軸為θ，旋轉(zhuǎn)后所對應(yīng)的角度軸為θ'，因此具有旋轉(zhuǎn)不變性。當(dāng)目標(biāo)圖像放大k倍尺度時，則有：

其中，尺度變換前對數(shù)極坐標(biāo)系中的距離軸為ρ，尺度變換后所對應(yīng)的距離軸為ρ'，因此對數(shù)極坐標(biāo)具有尺度不變性。

這一變化大大減少了計算復(fù)雜度，加大了算法效率。

4 Fourier-Mellin變換圖像匹配算法

Fourier-Mellin變換（Fourier-Mellin Transform，F(xiàn)MT）[6]的基礎(chǔ)是相位相關(guān)匹配算法，它利用對數(shù)極坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)不變和尺度不變兩大特性，對原本只適用于平移變換匹配的相位相關(guān)算法加以改造，使其在旋轉(zhuǎn)和尺度變換條件下也能使用。

FMT算法不僅可以匹配存在平移的圖像，也能對存在旋轉(zhuǎn)和尺度變換的圖像實現(xiàn)匹配。FMT是由經(jīng)典的二維離散傅立葉變換加上梅林變換組合而成，梅林變換是它的核心部分，而梅林變換實質(zhì)是一種對數(shù)極坐標(biāo)變換?；趯?shù)極坐標(biāo)變換的分析可得出，F(xiàn)MT匹配算法有如下特點：（1）算法適應(yīng)性好，能夠匹配旋轉(zhuǎn)、尺度、平移等多種變換；（2）由于對數(shù)極坐標(biāo)采樣集中于中心區(qū)域，邊緣采樣較少，所以該算法計算量小，匹配速度快。

下面介紹該算法的主要原理

設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)是兩幅待匹配的圖像，兩幅圖像的平移變量為(x0,y0)，則：

f1(x,y)和f2(x,y)的傅里葉變換，F(xiàn)2(u,v)滿足下列條件：

從公式可以看出，夫圖像的傅里葉變換相同，但是相位不同，相位關(guān)系是由平移量決定的。

如果兩幅圖只有平移變換，則：

對上面的式子做反傅里葉變換，得到?jīng)_擊函數(shù)，沖擊函數(shù)除平移位置外的值都為零，由此可以得到平移量。

假設(shè)f1(x,y)和f2(x,y)是兩幅待匹配的圖像，兩幅圖像的平移變量為(x0,y0)，旋轉(zhuǎn)角度為θ，尺度變換為k，則：

上述傅里葉變換為：

當(dāng)k=1時，f1(x,y)和f2(x,y)只存在平移和旋轉(zhuǎn)變換。兩幅圖的的頻譜幅度一樣，通過對其中一個進行旋轉(zhuǎn)，找到最佳匹配點，即可確定旋轉(zhuǎn)角度。

當(dāng)k≠1時，對式子（15）做對數(shù)極坐標(biāo)變換可以得到：

其中，ω=logθ，φ=logk，由此得到旋轉(zhuǎn)角度θ和尺度因子k，對圖像進行矯正，達到匹配目的。

5 基于對數(shù)極坐標(biāo)變換的特征匹配算法[7]

該算法主要是在SUSAN[8]算子的基礎(chǔ)上，使用對數(shù)極坐標(biāo)變換實現(xiàn)特征點匹配，并結(jié)合亞像素定位技術(shù)，提高算法精度。該算法具有精度高，運算量小，算法速度快、抗噪聲能力強等特點。

下面介紹算法主要原理。

SUSAN算法選用的模板為圓形模板，將位于圓形模板中心里等待檢測的像素點稱為核心點。核心點的相鄰域被劃分為兩個：一個是亮度值相似于核心點亮度的區(qū)域，稱為核值相似區(qū)（Univalue SegmentAs-similatingNueleus，USAN）[8]；另一個是亮度值不相似于核心點亮度的區(qū)域，即非相似區(qū)。

如圖3所示，這幾種情況為USAN的典型區(qū)域。圓形模板在圖像上移動，當(dāng)模板完全在背景中或者目標(biāo)區(qū)域時，其USAN區(qū)域最大，如（a）；當(dāng)核心在邊緣時，USAN區(qū)域減少一半，如（c）；當(dāng)核心在角點時，USAN區(qū)域最小，如（d）?；谶@一原理，Smith提出了最小核值相似區(qū)角點檢測算法。

圖3 典型區(qū)域

該算法主要分為特征角點提取、對數(shù)極坐標(biāo)變換和特征匹配三部分。特征角點采用的是SUSAN算法。SUSAN算法主要包括以下幾個步驟。

（1）在圖像上放置一個37個像素的圓形模板，模板在圖像上滑動，依次比較模板內(nèi)各個像素點的灰度與模板核的灰度，判斷是否屬于USAN區(qū)域。判別函數(shù)如下：

（2）統(tǒng)計圓形模板中和核心點有相似亮度值的像素個數(shù)n(r0)。

（3）使用如下角點響應(yīng)函數(shù)。若某個像素點的USAN值小于某一特定閾值，則該點被認(rèn)為是初始角點，其中g(shù)可以設(shè)定為USAN的最大面積的一半。

（4）對初始的角點區(qū)域進行非極值抑制來求得最后的角點。

對數(shù)極坐標(biāo)變換和前文方法相同，不再贅述。

特征匹配主要分為以下幾個步驟：

（1）對原始圖中的每個以特征點為中心的圓形區(qū)域進行對數(shù)極坐標(biāo)變換，得到模板圖T1( )i1,j1。

（2）在待匹配圖中的每個特征點取相同大小的區(qū)域，也對其作對數(shù)極坐標(biāo)變換，記為T2( )i2,j2，然后與T1( )

i1,j1做歸一化運算。找到相關(guān)系數(shù)峰值最大的特征點。若峰值大于域值t1，則該點是T1正確的特征匹配點；若其峰值小于域值t2，則認(rèn)為沒有與T1相匹配的特征點。在進行相關(guān)運算時，可采用坐標(biāo)軸投影相關(guān)匹配算法，以減少相關(guān)運算的計算量。

（3）亞像素定位。對于已經(jīng)匹配好的特征點，記錄其相關(guān)峰值最大處的坐標(biāo)值，采用相關(guān)函數(shù)擬合極值法，修正坐標(biāo)系的值。

（4）去除誤匹配和假匹配的特征點，統(tǒng)計匹配參數(shù)，取匹配參數(shù)的平均值作為圖像匹配的最終參數(shù)。

旋轉(zhuǎn)和尺度變換是匹配問題中的難點，該方法結(jié)合SUSAN算子、對數(shù)極坐標(biāo)系的優(yōu)點，在圖像匹配中速度快、精度高，具有良好的表現(xiàn)，是一個較為優(yōu)秀的匹配算法。

6 結(jié)語

經(jīng)過幾十年的發(fā)展，圖像匹配算法已經(jīng)取得了很大的進展，但是由于實際環(huán)境的復(fù)雜多變，采樣不穩(wěn)定，圖像混疊現(xiàn)象等因素的影響，還未有一個能夠同時解決全部問題的算法。本文主要介紹了圖像匹配的原理和基于對數(shù)極坐標(biāo)的算法。從算法的性能來看，基于對數(shù)極坐標(biāo)的匹配方法由于旋轉(zhuǎn)不變和尺度不變兩大特性，在針對旋轉(zhuǎn)和尺度變換上具有很強的優(yōu)勢。主要有計算量小、速度快、精度高等優(yōu)點。但是，上述算法并不能適用仿射性變換的圖像，而且由于對數(shù)極坐標(biāo)中心區(qū)域進行超采樣，邊緣區(qū)域進行欠采樣這一特性，容易產(chǎn)生圖像混疊現(xiàn)象，影響匹配結(jié)果。所以，針對這幾大不足，如何創(chuàng)造出一個全面、系統(tǒng)且健壯的匹配算法，還需繼續(xù)研究。