巧消參,妙解題
———參數(shù)方程中的消參策略

◇ 甘肅 林永強

化參數(shù)方程為普通方程是中學數(shù)學的一個難點,其基本破解的策略有代入消參、加減消參、平方消參、乘除消參、恒等消參、三角消參幾類,根據(jù)不同類型選擇相對應的消參策略是問題求解的關鍵.由于具體消參時涉及知識點多,又需要一定的運算技能和代數(shù)式變形的技巧,因而也是教學中的一個難點.下面針對幾種常見的消參方法,結合對應的破解策略加以實例剖析.

1 代入消參

代入消參就是根據(jù)參數(shù)方程中的一個關系式,以參數(shù)來表示其中一個未知數(shù),代入另一個關系式來達到消參的目的.

例1化參數(shù)方程為參數(shù),且t≥0)為普通方程,并說明方程的曲線是什么圖形.

解析

由于y＝t＋1,而t≥0,則有y≥1.由y＝t＋1得t＝y(tǒng)－1,代入x＝－4t2可得x＝－4(y－1)2(y≥1),整理得方程的曲線是頂點為(0,1)、對稱軸平行于x軸、開口向左的拋物線的上半部分.

點評

代入消參是常見的消參方法之一,這類問題比較簡單,但是要注意運算的正確性以及參數(shù)與變量的取值范圍的確定,以及一些條件的限制等.

2 乘除消參

乘除消參就是根據(jù)參數(shù)方程進行合理的乘或除運算,轉(zhuǎn)化參數(shù)關系式,再利用代入消參來達到消參的目的.

例2把參數(shù)方程(k為參數(shù))化為普通方程,并說明它是什么曲線.

解析當x≠0時,兩式相除可得代入,整理可得x2－y2－4y＝0(x≠0).

當x＝0時,則k＝0,此時y＝0,顯然點(0,0)在曲線x2－y2－4y＝0上.

點評

當參數(shù)不方便分離出來時,可以考慮整體思維,通過整體間的乘除消參來解決相關問題.在乘除消參中,要重點注意自變量的取值范圍.

3 三角消參

三角消參就是根據(jù)參數(shù)方程中的三角關系式加以合理變化與處理,從而得以“金蟬脫殼”,達到消參的目的.

例3試化參數(shù)方程為參數(shù))為普通方程.

解析

點評

對于以角為參數(shù)的參數(shù)方程,在化為普通方程時,通?？紤]運用三角恒等變換公式加以消參數(shù),注意三角函數(shù)同角公式變形以及對應三角函數(shù)值的取值限制等.

總之,消去參數(shù)的具體方法要根據(jù)參數(shù)方程的特點來加以綜合考慮,關鍵就是簡單、巧妙.一般來說,當f(t)和g(t)都是多項式時,常采用有關代數(shù)方法來消參,當f(t)和g(t)都是三角函數(shù)時,常借助三角恒等式等有關三角方法來消參,同時還要注意整體思想的應用.