借文化滲透導(dǎo)圖領(lǐng)游 假問題引領(lǐng)引言開頭—-談一節(jié)全國展示課“數(shù)列引言”的設(shè)計

四川省成都市樹德中學(xué)

2018年12月2日,筆者參加了在桂林舉行的“第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動”,因出色的表現(xiàn)獲得了“示范課現(xiàn)場展示證書”.章節(jié)引言課的教學(xué)實踐案例少,可借鑒資料有限,尤其在西部,教師幾乎不予理會.為了突破固有的常規(guī)課范式,同時還緊扣核心素養(yǎng)的培育,在切實關(guān)注本校實際教育教學(xué)情況的基礎(chǔ)上,筆者大膽對此課型作了嘗試.筆者以《數(shù)列引言》為展示課題,得到了與會老師們的一致好評,人民教育出版社副編審龍正武老師在點評環(huán)節(jié)特別贊賞了該課的大膽創(chuàng)新與設(shè)計環(huán)節(jié)的精到,他認(rèn)為該課文化素材的選取與融合、學(xué)生的主體作用的發(fā)揮、問題的引領(lǐng)、目標(biāo)的達成均可圈可點,是一個比較成功的引言課教學(xué)范例.現(xiàn)將這節(jié)課呈現(xiàn)前后的一些思考整理成文,與同行們交流,不妥之處敬請指正.

1 章引言課的地位與功能

章引言是一章學(xué)習(xí)的起源,它是高中數(shù)學(xué)一個章節(jié)、一個知識板塊教學(xué)的第一課時.在這一課時中,教師往往要取材于章頭圖、章節(jié)引言,關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展過程,把握高中數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu),結(jié)合學(xué)生的實際認(rèn)知水平,設(shè)計合理的問題導(dǎo)引,帶領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)本章的主要知識脈絡(luò),揭示本章的基本思想方法,喚起學(xué)生對本章學(xué)習(xí)的熱情.章引言課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少,又是需要重點關(guān)注的課型之一.

2 文化的理解與素材的選擇

百度百科上給出了數(shù)學(xué)文化的定義.從狹義上看數(shù)學(xué)文化指的是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展.從廣義上理解,數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵以外,還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等.

為了在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化,筆者在該課的設(shè)計上下足了功夫,文化素材的選擇既有來自于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展,也有源于學(xué)生生活實際的改編.該課恰如其分的使用了文化素材,既挖掘了文化的內(nèi)涵,也積極地引導(dǎo)和激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)心向;筆者在課堂中注重對學(xué)生的人文關(guān)懷、對數(shù)學(xué)教學(xué)中真、善、美的追求,力圖使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中真正感受到數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)家的理性精神、我國的古典文化,以期在文化和數(shù)學(xué)之間的對話中提高學(xué)生的思想境界和文化修養(yǎng).

數(shù)學(xué)教學(xué)通過文化的滲透使學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)以后,下一階段就是發(fā)展學(xué)生的思維,不僅是分析、解決問題的思維,也包括對于學(xué)習(xí)的思考和領(lǐng)悟.核心素養(yǎng)的落地需要在關(guān)鍵能力上有所突破,學(xué)會學(xué)習(xí)無疑是其中最重要的關(guān)鍵能力之一,但這樣的關(guān)鍵能力的培養(yǎng)絕不是口頭上的套話,而應(yīng)是有切實的實施方法和輔助工具的.本課中,筆者以思維導(dǎo)圖貫穿始終,就如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力做了很好的示范和嘗試.

3 教學(xué)過程設(shè)計

本課的教學(xué)環(huán)節(jié)擬分為“明、引、悟、結(jié)”四個環(huán)節(jié),各個環(huán)節(jié)的教學(xué)流程及大致時間分配如下:

圖1 以情境為載體,以活動為主線

3.1 開宗明義

問題函數(shù)章節(jié)的知識大致分為幾個板塊?

設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù),關(guān)注并構(gòu)建數(shù)列的知識網(wǎng)絡(luò)圖,啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)前后都關(guān)注知識結(jié)構(gòu)圖.

3.2 為什么學(xué)

情境1刻畫離散現(xiàn)象的模型舉例(數(shù)學(xué)界的“地震”)

9月24日,年近九旬的菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主邁克爾阿蒂亞在海德堡宣講了久負(fù)盛名的黎曼猜想的證明,期間費馬有如下的猜測:

(1)Fn=22n+1,由于F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,故費馬認(rèn)為:當(dāng)n取自然數(shù)時,Fn都是質(zhì)數(shù).

(2)黎曼猜想:用以刻畫質(zhì)數(shù)分布的精確規(guī)律.

設(shè)計意圖以數(shù)學(xué)界的“地震”為切入點吸引學(xué)生的注意力,調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,為引入數(shù)列的必要性鋪墊了良好的氛圍.融入質(zhì)數(shù)規(guī)律的認(rèn)識歷程,學(xué)生在感受數(shù)學(xué)發(fā)展的坎坷的同時,也一定程度上認(rèn)識到數(shù)學(xué)的本質(zhì),并借助數(shù)學(xué)家對真理的執(zhí)著追求感染學(xué)生對學(xué)問孜孜以求.

情境2八戒與悟空的故事.

八戒與悟空相會在紀(jì)念西天取經(jīng)十周年的慶典上,兩人推杯換盞、促膝相談,且在午夜子時就簽訂了一個合約,合約的內(nèi)容是在接下來的三十天,悟空第一天付給八戒21 萬,且以后每天所付的錢數(shù)都比前一天多一萬,而八戒只需在第一天付給悟空一萬,且以后每天所付的錢數(shù)都是前一天的兩倍,做著富翁夢的八戒,卻不幸破產(chǎn)了.

設(shè)計意圖聯(lián)系學(xué)生的實際生活情境,編撰了悟空與八戒的金融故事,并通過多媒體動態(tài)演示故事,為數(shù)列概念的了解和進一步研究問題作鋪墊,并設(shè)置懸念,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.

3.3 學(xué)什么與怎么學(xué)

問題1-1請寫出情境2中,八戒與悟空每一天所收入錢數(shù)對應(yīng)的兩列數(shù)?

問題1-2問題1-1中寫出的兩列數(shù),每列數(shù)中的任意兩個數(shù)之間能否調(diào)換順序,為什么?

設(shè)計意圖通過不同素材的體驗,學(xué)生初步感悟數(shù)列的概念,引出數(shù)列的符號,在類比集合的表示給出數(shù)列的簡寫的同時,揭示數(shù)列的內(nèi)涵:列數(shù),并為后續(xù)深入研究作好鋪墊.

問題1-3你能利用函數(shù)的知識解釋八戒為什么會破產(chǎn)嗎?

設(shè)計意圖聯(lián)系學(xué)生已有知識,引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系研究,在將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”的過程中養(yǎng)育學(xué)生的抽象素養(yǎng).期間,利用圖象解釋其離散性,通過追問引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)列的定義域是引起這種特殊性的根源,從而揭示數(shù)列的外延:數(shù)列是特殊的函數(shù).

思考1情境2中涉及的兩個數(shù)列{an},{bn}分別為21,22,23,···,50 與1,2,4,···,229,類比函數(shù),你還有什么方法刻畫這兩個數(shù)列的變化規(guī)律?

設(shè)計意圖深刻體會數(shù)列是離散的這一特性并引出刻畫數(shù)列規(guī)律的第一種方式—-通項公式.

問題1-4你能量化地利用數(shù)學(xué)的一個不等式解釋八戒破產(chǎn)嗎?

設(shè)計意圖將學(xué)生的認(rèn)識引向深入,帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識數(shù)列的和,順勢引出刻畫數(shù)列規(guī)律的第二種方式—-前n項和.

練習(xí)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn.

(1)若通項公式an=1,則其前n項和Sn=___

(2)若通項公式an=n,則其前n項和Sn=_____

(3)若前n項和Sn=1,則其通項公式an=____

(4)若前n項和Sn=n,則其通項公式an=___

設(shè)計意圖鞏固得到的刻畫數(shù)列規(guī)律的兩種方式,體會這兩種方式之間的聯(lián)系,并初步建立本章的知識、方法網(wǎng)絡(luò).

思考2上述練習(xí)對你后續(xù)學(xué)習(xí)有何啟示?

設(shè)計意圖通過簡單問題的探究恰好可以很切實的引導(dǎo)學(xué)生思考,同時也預(yù)知后續(xù)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難.

情境3(畫畫看)1 條直線可將平面分成2個部分,2 條直線最多可將平面分成4個部分,若n條直線最多可將平面分成an個部分,則a5的值是多少? 你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

設(shè)計意圖拾級而上,通過動手實驗、交流討論、反思總結(jié),引出刻畫數(shù)列的第三種方式—遞推關(guān)系(相鄰項)的同時對情境中的遞推關(guān)系作出解釋,引導(dǎo)學(xué)生進一步感悟數(shù)列研究中的遞推思想,也為有效突出本章重點,突破本章難點作準(zhǔn)備.

延伸1平面內(nèi)n個圓,至多可將平面分成多少個部分?

延伸2空間內(nèi)的n個平面,至多可將空間分成多少個部分?

設(shè)計意圖通過問題延伸,實現(xiàn)引言課的功能之一,引出問題,為后續(xù)深入研究做好鋪墊.

問題2你能用遞推關(guān)系刻畫八戒與悟空的收入對應(yīng)的兩個數(shù)列的變化規(guī)律嗎?

設(shè)計意圖運用遞推關(guān)系再次刻畫故事中數(shù)列的規(guī)律,使學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)列中的兩種特殊數(shù)列模型:等差數(shù)列模型和等比數(shù)列模型,初步體會這兩種模型在研究一般數(shù)列規(guī)律中的地位和作用.

情境4 欣賞與感悟

有人說:“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”,不知你注意過沒有,樹木的生長,向日葵花盤上種子的排列,某些花的花瓣數(shù)量都與1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89···這列數(shù)有關(guān).我們來看個小視頻.

設(shè)計意圖將“章頭圖”、“章引言”、“數(shù)字之美”的視頻融入其中,引出歷史上著名的斐波那契數(shù)列,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化、欣賞數(shù)學(xué)美的同時,增加學(xué)習(xí)的興趣和信心.

問題3你能用什么方式刻畫與情境4 有關(guān)的數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,···的變化規(guī)律?

思考3 此問題你還可以延伸出什么問題?

設(shè)計意圖進一步體會遞推關(guān)系在認(rèn)識數(shù)列規(guī)律中的特殊地位,感悟遞推思想.

3.4 小結(jié)與延伸

3.4.1 課堂小結(jié)

問題4-1你能完善一下本課的思維導(dǎo)圖嗎?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用思維導(dǎo)圖梳理知識、構(gòu)建體系,從而對本章的知識、方法有一個整體的認(rèn)識,進而在結(jié)構(gòu)體系中體會數(shù)學(xué)的本質(zhì).

問題4-2本課學(xué)習(xí)對你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何啟示?

設(shè)計意圖使學(xué)生學(xué)會反思,在反思中發(fā)展能力的同時拓展學(xué)生的視野,為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識和心理上的準(zhǔn)備.

3.4.2 課后檢測與延伸

1.右圖中的三個正方形塊中,著色正方形的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列的前3 項,請寫出該數(shù)列的一遞推關(guān)系?

圖2

2.嘗試解決課堂中的思考題及延伸問題.

3.查閱資料了解斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實生活中還有哪些應(yīng)用,感興趣的同學(xué)可以思考如何利用遞推關(guān)系推導(dǎo)斐波那切數(shù)列的通項公式?

設(shè)計意圖將課堂內(nèi)容延伸到課外,在檢測學(xué)生對遞推關(guān)系的理解和應(yīng)用的同時,感悟數(shù)學(xué)文化,為研究數(shù)列的核心問題伏筆.

4 教學(xué)反思

結(jié)合該課例的課堂教學(xué)實踐和反思,筆者認(rèn)為章引言課的設(shè)計應(yīng)該主要從以下三個方面布局、潤色、發(fā)力.

4.1 浸潤傳統(tǒng)文化、滲透數(shù)學(xué)思想、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課堂中洋溢的數(shù)學(xué)文化氣息不應(yīng)是刻意附庸,而應(yīng)是教學(xué)中不可或缺的文化元素,并且適當(dāng)?shù)臐B透有利于養(yǎng)育學(xué)生的人文素養(yǎng).數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,課堂中適度安排學(xué)科發(fā)展前沿問題、傳統(tǒng)文化相關(guān)內(nèi)容能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)發(fā)展的過程,養(yǎng)育學(xué)生數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.2 章引言課的設(shè)計關(guān)鍵在于“引”和“種”

章引言課的設(shè)計要在“引”和“種”上下功夫.一方面要能引起學(xué)生的興趣、引發(fā)學(xué)生的共鳴、引出學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難.這就需要從素材、情境、問題上入手,素材的選取要能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,情境的設(shè)置要能引出本章的內(nèi)容和方法,問題的設(shè)計要有利于引領(lǐng)本章關(guān)鍵問題的研究.另一方面,玩數(shù)學(xué)就是玩概念,厘清了數(shù)學(xué)的概念就是抓住了數(shù)學(xué)的核心與本質(zhì),引言課也不例外.在引言課的設(shè)計中注重概念深種,注意概念教學(xué)的各個環(huán)節(jié),關(guān)注概念的情境創(chuàng)設(shè)以及新舊概念的聯(lián)系等,可使引言課更具特色.

4.3 實現(xiàn)教材中“章頭圖、旁白和閱讀材料”等素材的教育價值和作用

作為引言課,對時下的數(shù)學(xué)發(fā)展、我國的經(jīng)典文化及教材中“章頭圖、旁白和閱讀材料”的整合是很有必要的,這些素材是搭建新舊知識之間聯(lián)系的橋梁、是實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的紐帶、是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和熱情的催化劑,比如本課在介紹數(shù)列學(xué)習(xí)的必要性部分借用了費馬對質(zhì)數(shù)的猜測、數(shù)學(xué)家對質(zhì)數(shù)的研究歷程激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.另外“章頭圖、旁白和閱讀材料”還可以很好的引導(dǎo)學(xué)生回歸教材、研究教材,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,發(fā)展學(xué)生的能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).