多種積分類型的統(tǒng)一形式

陳實(shí) 陳小藝 傅勤

【摘要】積分是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析課程中的重要問題，多種積分類型有著不同的表達(dá)形式.本文通過分析定積分、重積分、曲線積分和曲面積分中的典型例題，探究各類積分之間的關(guān)聯(lián)性，由此構(gòu)建多種積分類型的統(tǒng)一形式.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);各類積分;統(tǒng)一形式

【基金項(xiàng)目】蘇州科技大學(xué)2018年大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目“《數(shù)學(xué)分析》課程內(nèi)容的擴(kuò)展、思索、問題研究”（2018199）.

積分是高等數(shù)學(xué)[1]和數(shù)學(xué)分析[2]課程中的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)常微分方程和概率論等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也是大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的重點(diǎn).根據(jù)積分區(qū)域維數(shù)的不同，積分有多種形式，具體而言，為定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分等.在學(xué)習(xí)過程中，重積分、曲線積分和曲面積分的概念容易混淆，計(jì)算也較為煩瑣，這激發(fā)了我們的思考：能否運(yùn)用重積分、曲線積分和曲面積分之間的關(guān)聯(lián)性，構(gòu)建出統(tǒng)一的積分形式，以有助于這方面知識(shí)點(diǎn)的教與學(xué)工作.

本文從空間維數(shù)角度出發(fā)，借助于一些約束條件的設(shè)置，著重分析重積分、曲線積分和曲面積分之間的關(guān)聯(lián)性，并由此構(gòu)建這幾類積分的一種統(tǒng)一表達(dá)形式.

一、問題分析

積分是在極限條件下，某種數(shù)量無限分割的求和.一般來說，積分由積分號(hào)、積分區(qū)域、積分變量和被積函數(shù)構(gòu)成，其中被積函數(shù)可以含有不同的自變量個(gè)數(shù)，積分區(qū)域也可以是不同維度的空間集合，甚至為沒有直觀幾何意義的高維空間集合.具體而言，積分可分為一維空間集合上的積分、二維空間集合上的積分、三維空間集合上的積分乃至n維空間集合上的積分，與之相對(duì)應(yīng)的是定積分、曲線積分、二重積分、曲面積分、三重積分乃至n重積分.因此，研究重積分、曲線積分和曲面積分之間的關(guān)聯(lián)性，也就是研究不同空間維數(shù)的積分之間的關(guān)聯(lián)性.

假設(shè)積分為∫Ωf（x）dΩ，其中Ω為積分區(qū)域，x為積分區(qū)域空間中對(duì)應(yīng)的向量.

當(dāng)Ω為一維空間中的區(qū)域時(shí)，積分是∫baf（x）dx，即為定積分.

當(dāng)Ω為二維空間中的區(qū)域時(shí)，有兩種情形：① 確為二維問題：積分為∫Ωf（x，y）dxdy，即為二重積分;② 形式上為二維問題，實(shí)質(zhì)上為一維問題，以第一類曲線積分為例，設(shè)L為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段，f（x，y）為定義在L上的函數(shù)，考慮L上的曲線積分∫Lf（x，y）ds，因?yàn)椋▁，y）在曲線段L上，所以滿足曲線方程y=y（x），a≤x≤b，此時(shí)曲線積分∫Lf（x，y）ds可化為

∫baf（x，y（x））1+（y′（x））2dx，

由此二維空間區(qū)域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區(qū)域上的積分.

當(dāng)Ω為三維空間中的區(qū)域時(shí)，有三種情形：① 確為三維問題：積分為∫Ωf（x，y，z）dxdydz，即為三重積分;② 形式上為三維問題，實(shí)質(zhì)上為一維問題，以第一類曲線積分為例，設(shè)L為空間上可求長(zhǎng)度的曲線段，f（x，y，z）為定義在L上的函數(shù)，考慮L上的曲線積分∫Lf（x，y，z）ds，因?yàn)椋▁，y，z）在曲線段L上，所以滿足曲線方程

F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0， a≤x≤b，

可從中解出y=y（x），z=z（x），

此時(shí)曲線積分∫Lf（x，y，z）ds可化為

∫baf（x，y（x），z（x））1+（y′（x））2+（z′（x））2dx，

由此三維空間區(qū)域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區(qū)域上的積分;③ 形式上為三維問題，實(shí)質(zhì)上為二維問題，以第一類曲面積分為例，設(shè)S是空間中可求面積的曲面，f（x，y，z）為定義在S上的函數(shù)，考慮S上的曲面積分Sf（x，y，z）ds，因?yàn)椋▁，y，z）在曲面S上，所以滿足曲面方程z=z（x，y），（x，y）∈D，此時(shí)曲面積分

Sf（x，y，z）ds，

可化為

Df（x，y，z（x，y））1+（zx（x，y））2+（zy（x，y））2dxdy，

由此三維空間區(qū)域上的積分借助于約束條件化為了一維空間區(qū)域上的積分.

綜上所述可知，二維空間區(qū)域上的積分借助于一個(gè)約束條件，可化為一維空間區(qū)域上的積分;三維空間區(qū)域上的積分借助于兩個(gè)約束條件，可化為一維空間區(qū)域上的積分，而三維空間區(qū)域上的積分借助于一個(gè)約束條件，可化為二

維空間上的積分，由此我們得知，高維空間上的積分可通過約束條件變成低維空間上的積分.將這樣的思維方式運(yùn)用到n維空間區(qū)域上的積分上，就能得到本文的主要結(jié)論，即多種積分類型的統(tǒng)一形式.

二、主要結(jié)論

假設(shè)積分為∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ，其中Ω為n維空間中的積分區(qū)域，

設(shè)置約束條件為

g1（x1，x2，…，xn）=0，g2（x1，x2，…，xn）=0，…gn-m（x1，x2，…，xn）=0.

當(dāng)n=m時(shí)，即無約束條件，此時(shí)

∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為n重積分;

當(dāng)m=1時(shí)，即約束條件為

g1（x1，x2，…，xn）=0，g2（x1，x2，…，xn）=0，…gn-1（x1，x2，…，xn）=0，

此時(shí)∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為曲線積分;

當(dāng)2≤m≤n-1時(shí)，此時(shí)

∫Ωf（x1，x2，…，xn）dΩ

為m維的曲面積分.

三、結(jié)?語

本文通過研究重積分、曲線積分和曲面積分之間的關(guān)聯(lián)性，構(gòu)建多種積分類型的統(tǒng)一形式，從而能夠?qū)⒏黝惙e分問題統(tǒng)一化、簡(jiǎn)單化，也有助于在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)積分問題內(nèi)容的理解.此外，這種使多類問題統(tǒng)一化、簡(jiǎn)單化的思維模式還能擴(kuò)展應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的其他方面.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.