關(guān)于對合BCK代數(shù)

凌雪岷

（安徽新華學(xué)院 通識教育部，安徽 合肥230088）

為給邏輯推理提供各種可能的邏輯體系，許多學(xué)者陸續(xù)提出了各種型和形不同的代數(shù)系統(tǒng)，每一種代數(shù)系統(tǒng)對應(yīng)著不同的公理組。王國?。?-2］提出的與形式邏輯系統(tǒng)L*相匹配的R0-代數(shù)就是這類重要的邏輯系統(tǒng)。吳望名［3］提出了比較一般化的FI-代數(shù)與正則FI-代數(shù)，后來人們發(fā)現(xiàn)FI-代數(shù)與日本數(shù)學(xué)家Imai Y和Iseki K在1966年提出的BCK代數(shù)有著緊密的關(guān)系。關(guān)于上述邏輯代數(shù)，我國學(xué)者做了深入研究，給出了它們的多種刻畫和相互關(guān)系，取得了許多可喜的成果［4-9］。在這些研究的基礎(chǔ)上，本文將證明正則FI-代數(shù)與對合BCK代數(shù)等價，然后在對合BCK代數(shù)中引入分配性條件，討論了分配對合BCK代數(shù)具有的若干性質(zhì)，利用這些性質(zhì)證明了分配對合BCK代數(shù)與Boole代數(shù)等價。

1 預(yù)備知識

下面給出BCK代數(shù)和FI-代數(shù)的基本概念和相關(guān)結(jié)果。

定義1［5］一個（2，0）型代數(shù)（X，*，0）稱為BCK代數(shù)，若?x，y，z∈X，有：

命題1［7］在BCK代數(shù)（X，*，0）中，下列各式成立，?x，y，z∈X，有：

（P1）（x*y）*z=（x*z）*y；

（P2）x*0=x；

（P3）x*（x*（x*y））=x*y。

若存在常元1使得任意x∈X，x*1=0，則稱BCK代數(shù)（X，*，0）是有界的。在有界BCK代數(shù)X中，令N（x）=1*x。若?x∈X，N（Nx）=x，則稱X為對合BCK代數(shù)［5］。定義二元關(guān)系“≤”使對任意x，y∈X，x≤y?x*y=0。易驗證在對合BCK代數(shù)中“≤”是偏序，0和1分別是最小元和最大元。

命題2若X為對合BCK代數(shù)，則?x，y∈X，有：

（P4）Nx*Ny=y*x，x*Ny=y*Nx，Nx*y=Ny*x；

（P5）若x≤y，則z*y≤z*x。

證明（P4）由（P1）和對合性知Nx*Ny=（1*x）（1*y）=（1*（1*y））*x=y*x。（P4）后兩式可由第1式，分別用Nx替換x和Ny替換y得到。

（P5）設(shè)x≤y，則x*y=0，從而有

由“≤”的定義知z*y≤z*x。

定義2［3］一個（2，0）型代數(shù)（X，→，0）稱為Fuzzy蘊涵代數(shù)，簡稱FI-代數(shù)。如果?x，y，z∈X，滿足：

稱滿足（I6）的FI-代數(shù)為正則FI-代數(shù)。

引理1［3，6］在正則FI-代數(shù)（X，→，0）中，?x，y，z∈X，有：

（1）1→x=x，特別地，1→0=0；

（2）x→y=（y→0）→（x→0）；

（3）（y→z）→（（x→y）→（x→z））=1；

（4）若x→0=0，則x=1。

2 對合BCK代數(shù)與正則FI-代數(shù)

本節(jié)證明對合BCK代數(shù)與正則FI-代數(shù)等價。

命題3在對合BCK代數(shù)（X，*，0）中，?x，y，z∈X，有：

（1）N（0）=1，N（1）=0; （2）（（x*z）*（y*z））*（x*y）=0。

證明（1）由（P2）知N（0）=1*0=1，由（K3）知N（1）=1*1=0。

（2）由（K2）和（P1）知（（x*z）*（y*z））*（x*y）=（（x*z）*（x*y））（y*z）=0。

命題4設(shè)X是正則FI-代數(shù)。對任意?x，y∈X，定義x*y=（x→y）→0。則X是對合BCK代數(shù)。

證明由定義2，先證明（K1）～（K5）成立。

（3）（K3）的驗證。由（I3）和引理1（1）知x*x=（x→x）→0=1→0=0。

（4）（K4）的驗證。由（I5）和引理1（1）知0*x=（0→x）→0=1→0=0。

（5）（K5）的驗證。若x*y=y*x=0，則由引理1（4）知x→y=y→x=1，再由（I4）知x=y。

再證有界性和對合性：x*1=（x→1）→0=1→0=0，又

綜上，我們知正則FI-代數(shù)是對合BCK代數(shù)。

命題5設(shè)（X，*，0）是對合BCK代數(shù)。對任意x，y∈X，定義x→y=N（x*y）。則（X，→，0）是正則FI-代數(shù)。

證明由定義2知，需驗證（I1）～（I6）成立。

（3）（I3）的驗證。由（K3）和命題3（1）知x→x=N（x*x）=N（0）=1。

（4）（I4）的驗證。若x→y=y→x=1，則x*y=y*x=0，由（K5）知x=y。

（5）（I5）的驗證。由（K4）和命題3（1）知0→x=N（0*x）=N（0）=1。

（6）（I6）的驗證。由（P2）和對合性知（x→0）→0=N（x*0）→0=N（N（x））=x。

綜上，我們知對合BCK代數(shù)是正則FI-代數(shù)。

由命題4和命題5立得：

定理1正則FI-代數(shù)和對合BCK代數(shù)是相互等價的代數(shù)系統(tǒng)。

3 分配對合BCK代數(shù)與Boole代數(shù)

本節(jié)在對合BCK代數(shù)中引入分配性，證明分配對合BCK代數(shù)與Boole代數(shù)等價。

定義3設(shè)（X，*，0）是對合BCK代數(shù)。稱X是分配的，如果X滿足條件：

（Dis）?x，y，z∈X，N（N（z）*（N（x）*y））=N（x*z）*（y*z）。

命題6在分配對合BCK代數(shù)（X，*，0）中，?x，y，z∈X，有：

（1）N（z）*（N（x）*y）=N（N（x*z）*（y*z））；

（2）x*（y*x）=x；

（3）x=x*N（x）；

（4）N（x）=N（x）*x；

（5）x*（x*y）=y*（y*x）。

證明（1）由對合性和（Dis）條件知

N（z）*（N（x）*y）=N（N（N（z）*（N（x）*y）））=N（N（x*z）*（y*z））。

（2）在結(jié)論（1）中令x=z并用N（x）替換，y用y*x代，則得

綜上，由（K5）知x*（y*x）=x。

（3）一方面，由（P1），（K3）和（K4）知（x*N（x））*x=（x*x）*N（x）=0*N（x）=0。另一方面，在結(jié)論（1）中令x=y=z并用N（x）替換，則得

綜上，由（K5）知x*N（x）=x。

（4）在結(jié)論（3）中用N（x）代替x，由對合性知N（x）=N（x）*N（N（x））=N（x）*x。

（5）由（P1），命題3（1）和結(jié)論（2）知

同理得（y*（y*x））*（x*（x*y））=0，由（K5）知y*（y*x）=x*（x*y）。

命題7設(shè)（X，≤，'）是Boole代數(shù)，則X是分配對合BCK代數(shù)。

證明在Boole代數(shù)X中定義x*y=x∧y'，則N（x）=1*x=1∧x'=x'，故有界性，（K1）～（K5）及對合性容易驗證（或見文獻(xiàn)［8］中定理2）。下證分配性（Dis）。

從而（Dis）條件成立，于是Boole代數(shù)是分配對合強BCK代數(shù)。

命題8設(shè)（X，*，0）是分配對合BCK代數(shù)，則（X，≤，'）是Boole代數(shù)。

證明設(shè)X是分配對合BCK代數(shù)。對任意x，y∈X，由命題6（5），可令w（x，y）=y*（y*x）=x*（x*y）。則由（P1），（K3）和（K4）知w（x，y）*x=（x*（x*y））*x=（x*x）*（x*y）=0，故w（x，y）≤x，同理可知w（x，y）≤y。

又設(shè)t≤x，t≤y。則t*x=t*y=0。又由（P5）得y*x≤y*t，y*（y*t）≤y*（y*x）=w（x，y），而y*（y*t）=t*（t*y）=t*0=t，故t≤w（x，y）。這說明w（x，y）是x，y的下確界，即

x∧y=y*（y*x）=x*（x*y）=w（x，y），

從而（X，≤）為交半格。定義x'=N（x），?x∈X，則由（P5）知由x≤y可得1*y≤1*x，即y'≤x'，于是“'”是逆序?qū)蠈?yīng)，從而（X，≤，'）是有界格且滿足De Morgan對偶律。進一步有

由（K3）知x∧x'=x*x=0。于是，（X，≤，'）是Boole代數(shù)。

由命題7和8立得：

定理2分配對合BCK代數(shù)與Boole代數(shù)是相互等價的代數(shù)系統(tǒng)。

4 結(jié)論

本文對BCK代數(shù)進行了再研究，證明對合BCK代數(shù)與正則FI-代數(shù)等價。在對合BCK代數(shù)中引入分配性，證明了分配對合BCK代數(shù)與Boole代數(shù)等價，進一步完善了諸多邏輯代數(shù)與Boole代數(shù)之間關(guān)系的理論研究，同時豐富了多值邏輯理論的發(fā)展。