多元微積分中二重極限計(jì)算方法及解析

馬艷麗，褚正清

（安徽新華學(xué)院 通識(shí)教育部，安徽 合肥230088）

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，而極限是研究函數(shù)的最主要工具。微積分中很多重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)（微分）、積分和級(jí)數(shù)等都與極限的運(yùn)算有關(guān)，實(shí)質(zhì)上都是極限的不同問(wèn)題與不同形式。對(duì)于一元函數(shù)的極限及其算法，許多高等數(shù)學(xué)教材［1-2］中都有詳盡的方法和例題，而對(duì)于二元函數(shù)的極限及求法卻不夠詳細(xì)。為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握二元函數(shù)的極限，本文對(duì)二元函數(shù)極限的計(jì)算方法或二元函數(shù)極限不存在的判斷方法進(jìn)行了詳細(xì)地歸納總結(jié)，并結(jié)合具體的實(shí)例解析了這些方法的適用條件及技巧，便于學(xué)生更好地掌握和應(yīng)用這些方法，以達(dá)到事半功倍、舉一反三的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)這些方法也可以自然地推廣到三元及以上函數(shù)的求極限中去。

1 二元函數(shù)極限的概念

定義1［2］設(shè)二元函數(shù)f（P）=f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D的聚點(diǎn)。如果存在常數(shù)A，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有

為了與一元函數(shù)的極限區(qū)別開(kāi)來(lái)，二元函數(shù)的極限又叫做二重極限。

必須注意，所謂二重極限存在，是指P（x，y）以任意方式趨于P0（x0，y0）時(shí)，f（x，y）都無(wú)限接近于A。因此，如果P（x，y）以某種特殊方式（直線或曲線）趨于P0（x0，y0）時(shí)，即使f（x，y）無(wú)限接近于某一確定常數(shù)，我們也不能由此得到函數(shù)的極限是存在的。但反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)P（x，y）以不同方式趨于P0（x0，y0）時(shí)，f（x，y）無(wú)限接近于不同的數(shù)值，或P（x，y）以某種特殊方式趨于P0（x0，y0）時(shí)，f（x，y）不接近于某一確定的數(shù)值，則都可以斷定這函數(shù)的極限是不存在的。

2 二元函數(shù)極限的求法

2.1 利用定義求極限

極限的本質(zhì)有無(wú)限的過(guò)程，又有確定的結(jié)果。一方面可從函數(shù)的變化趨勢(shì)抽象得出結(jié)論，另一方面又可從數(shù)學(xué)本身的邏輯體系下驗(yàn)證其結(jié)果。利用定義法求二元函數(shù)的極限一般是先觀察出函數(shù)極限值為多少，再利用定義即ε-δ語(yǔ)言進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

由于一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，因此可利用二元初等函數(shù)的連續(xù)性來(lái)求解二元函數(shù)的極限，也就是若要求它在P0點(diǎn)處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即有l(wèi)im f（P）=f（P0）。此方法只需求函數(shù)值f（P0），非常簡(jiǎn)便。但需注意函數(shù)必須是定義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，且點(diǎn)必須屬于定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)。

2.3 利用與一元函數(shù)極限類(lèi)似的方法求極限

（1）通過(guò)分子或分母有理化、因式分解法和利用代數(shù)或三角運(yùn)算等方法消去零因式，把未定式極限轉(zhuǎn)化為普通的求極限問(wèn)題［3-6］。

（2）利用無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量的重要性質(zhì)，該性質(zhì)是一類(lèi)函數(shù)求極限的一種非常有效的計(jì)算方法，恰當(dāng)?shù)厥褂么诵再|(zhì)，可以大大地簡(jiǎn)化二重極限的計(jì)算過(guò)程。

（3）利用兩個(gè)重要極限求未知函數(shù)的極限，此類(lèi)方法可以解決型未定式或1∞型未定式的極限，運(yùn)用該方法的關(guān)鍵在于理解兩個(gè)重要極限成立的結(jié)構(gòu)。

（4）利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限，該方法應(yīng)用靈活，可以化繁為簡(jiǎn)使二重極限的計(jì)算問(wèn)題變得較為簡(jiǎn)單，此方法在求極限時(shí)作為首選倍受青睞。但應(yīng)用此方法必須注意替換條件。

特別注意，對(duì)乘除運(yùn)算項(xiàng)的無(wú)窮小量可以隨意替換，但對(duì)加、減運(yùn)算項(xiàng)的無(wú)窮小量不能隨便替換，必須滿(mǎn)足一定的條件［7-8］。

2.4 利用累次極限求極限

在多元微積分中，二重極限與累次極限之間并無(wú)必然的聯(lián)系。若兩個(gè)累次極限都存在，也說(shuō)明不了二重極限也存在，反之亦然。但是如果函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）的二重極限存在，累次極限也存在，則有［9］

由于累次極限主要是求兩次一元函數(shù)的極限，而我們對(duì)一元函數(shù)極限的求法非常熟練，因此化為累次極限來(lái)求二重極限的方法也比較常用。

2.5 利用坐標(biāo)變換求極限

該方法是利用坐標(biāo)代換x=ρcosθ，y=ρsinθ（0≤ρ＜+∞），使函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）→（0，0）時(shí)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)換為f（ρcosθ，ρsinθ）當(dāng)ρ→0時(shí)的極限問(wèn)題，但必須要求當(dāng)ρ→0時(shí)的過(guò)程與變量θ的取值無(wú)關(guān)。

其中，當(dāng)ρ→0時(shí)，變量θ的取值隨著變量ρ的不同而不同，但cosθ+sinθ是有界變量，因此該極限與變量θ的取值無(wú)關(guān)。

2.6 利用洛必達(dá)法則求極限

3 結(jié)語(yǔ)

如何學(xué)好二重極限及其計(jì)算方法，這是初學(xué)者對(duì)于多元函數(shù)微分學(xué)首先要面對(duì)的問(wèn)題。本文詳細(xì)介紹了高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)極限的一些方法及應(yīng)用技巧，對(duì)于不同類(lèi)型的極限問(wèn)題，應(yīng)選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解，只要方法選得恰當(dāng)，都能從容地應(yīng)對(duì)二重極限的計(jì)算。并且在解決一道極限問(wèn)題時(shí)，一般不是采用其中的某一種方法，而是要靈活地綜合運(yùn)用各種方法與技巧，才能使極限的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。但必須注意的是每一種方法的使用條件，切勿濫用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的解題。