原子分子光子系統(tǒng)的耗散相互作用和退相干

景 俊

（浙江大學(xué)物理學(xué)系光學(xué)研究所，杭州 310027）

1 引言

原子分子系統(tǒng)與量子化的電磁場或光子模式耦合的系統(tǒng)［1］無論在理論還是實(shí)驗(yàn)方面都是非相對論量子力學(xué)研究的主要對象和模型［2-4］.如果將系統(tǒng)拓展到人工原子、超導(dǎo)回路、離子阱、光子晶格、量子點(diǎn)等新量子平臺［5-11］，那么它不僅涵蓋了傳統(tǒng)的原子分子物理和量子光學(xué)的主要內(nèi)容，而且構(gòu)成量子信息和量子調(diào)控的物理基礎(chǔ)［12，13］.正如在單個(gè)二能級原子和單模激光場的耦合模型——Jaynes-Cummings模型中所觀察到的，如果不考慮能量耗散和量子退相干效應(yīng)，那么它的動力學(xué)是相干且可逆的.這正是薛定諤方程所描述的結(jié)果.

對人工原子，包括量子點(diǎn)、超導(dǎo)量子比特、里德堡原子，以及新穎電磁輻射源，包括激光、微波激射、同步輻射、微波源的廣泛研究涵蓋了從無線電波到遠(yuǎn)紅外的頻段與原子分子系統(tǒng)的耦合，從而在相當(dāng)程度上再次引起人們對原子與光相互作用的興趣.新的研究方法能夠獲得有關(guān)原子和分子結(jié)構(gòu)以及動力學(xué)的更確切的信息、從而有助于控制原子和分子的內(nèi)部和外部自由度、并且產(chǎn)生新的輻射形式.這些進(jìn)展已經(jīng)引來越來越多的物理學(xué)家、化學(xué)家、其他研究人員和工程師對物質(zhì)和低能輻射之間發(fā)生的作用［14-17］產(chǎn)生興趣.

本文的目標(biāo)是為已經(jīng)具有一定量子力學(xué)和原子分子物理基礎(chǔ)的研究人員介紹在開放量子力學(xué)框架下研究原子與光相互作用的基礎(chǔ)理論，特別是關(guān)于量子系統(tǒng)退相干動力學(xué)的描述理論——主方程.主方程及其等價(jià)方法構(gòu)成了整合涉及物質(zhì)―輻射相互作用的幾乎所有物理方面的基本工具［18-23］.

2 開放量子系統(tǒng)與量子退相干

在量子力學(xué)基本問題方面，含時(shí)薛定諤方程以及馮諾伊曼方程已經(jīng)在原則上提供了閉合量子系統(tǒng)的動力學(xué)方程.如果不計(jì)較開放系統(tǒng)的環(huán)境或者噪聲對它的影響和作用，或者擁有對全部希爾伯特空間的計(jì)算能力，就沒有必要在開放量子系統(tǒng)的框架下處理問題.但實(shí)際上對于大多數(shù)實(shí)際問題這兩者都是無法做到的.

首先定義何為環(huán)境.在全量子框架下，環(huán)境是與量子系統(tǒng)相互作用的另一個(gè)量子系統(tǒng)，擁有足夠多、足夠復(fù)雜的自由度，以至于相對人們感興趣的量子系統(tǒng)而言，是不受控制的.具有可操作性的處理方案的前提是通過測量或物理建模給出環(huán)境自由度的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).這些性質(zhì)包括且不限于玻色統(tǒng)計(jì)或費(fèi)米統(tǒng)計(jì)、譜密度函數(shù)、關(guān)聯(lián)函數(shù)、溫度——如果它處在熱力學(xué)平衡態(tài)下的話.然后通過理論推演，使得這些統(tǒng)計(jì)性質(zhì)反映在受研究的量子系統(tǒng)的動力學(xué)方程中.

其次何為噪聲.布朗運(yùn)動中的漲落可以當(dāng)作是一種經(jīng)典噪聲，按照漲落—耗散定理的要求，它具有一定的關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度函數(shù)，它們兩者互為傅里葉變換關(guān)系.量子系統(tǒng)面對的噪聲，可以是經(jīng)典噪聲，也可以是量子噪聲.在物理上，兩者都要符合漲落—耗散定理；在特定情況下，符合一定關(guān)聯(lián)函數(shù)的經(jīng)典噪聲和量子噪聲對系統(tǒng)的影響在系綜統(tǒng)計(jì)后不可區(qū)分.因此有時(shí)可以用噪聲取代環(huán)境自由度的全量子化處理.在純量子框架下，噪聲可以直接用環(huán)境算符以及耦合系數(shù)直接表達(dá)出來.就其效應(yīng)而言，有時(shí)需要特別指出，哪些噪聲造成了系統(tǒng)的退極化和能量耗散，哪些噪聲不涉及能量損耗而直接反映出同一系綜內(nèi)不同量子系統(tǒng)在相位上的脫散.前者反映了原子分子系統(tǒng)的布居數(shù)在高低能態(tài)上的轉(zhuǎn)移；后者代表了相位關(guān)聯(lián)的消失.對量子系統(tǒng)而言，前者當(dāng)然也同時(shí)引起系統(tǒng)間失去相位上的固有聯(lián)系，但后者在許多文獻(xiàn)中才被稱為“純量子的退相干”.

因此量子退相干本質(zhì)上是一種量子力學(xué)效應(yīng)，與經(jīng)典耗散或隨機(jī)漲落有所區(qū)別，雖然后者也會引起量子效應(yīng).在哥本哈根學(xué)派定義的量子測量假設(shè)以及后來由馮諾伊曼嚴(yán)格化后的量子測量理論中，不難發(fā)現(xiàn)退相干是量子測量的效應(yīng).測量儀器扮演了量子化的環(huán)境自由度的角色，系統(tǒng)根據(jù)與待測物理量配套的測量儀器指針態(tài)展開的本征基矢做隨機(jī)投影.無論是讀出結(jié)果的測量，還是不讀結(jié)果的測量，指針態(tài)對應(yīng)的本征基矢之間的相干項(xiàng)在測量后全部消失了.在廣泛關(guān)注量子信息處理的前沿研究中，退相干顯然是任何量子處理，特別是量子計(jì)算，或任何必須利用量子線性疊加原理優(yōu)勢的技術(shù)不可回避的問題.它在絕大多數(shù)時(shí)候顯然是難以逾越的障礙.根據(jù)DiVincenzo為可行的量子計(jì)算機(jī)定出的必須滿足的若干條件，量子系統(tǒng)的相干時(shí)間除以量子門的運(yùn)行時(shí)間必須足夠大，否則量子線路模型就沒有實(shí)際價(jià)值.所以無論是量子物理的基本問題，還是量子前沿技術(shù)的發(fā)展，都需要人們重視退相干過程的基礎(chǔ)研究，從而設(shè)計(jì)出提高量子相干時(shí)間的方案，或者要么回避、要么正面利用退相干效應(yīng).這里不對此做展開.

3 主方程的推導(dǎo)方法

現(xiàn)在進(jìn)入技術(shù)性環(huán)節(jié)——如何建立開放的原子分子系統(tǒng)的退相干動力學(xué)主方程.“主”這個(gè)詞意思就是關(guān)注某一少自由度或少體系統(tǒng)，而把其環(huán)境或不關(guān)心的希爾伯特子空間對該系統(tǒng)的作用考慮到方程的結(jié)構(gòu)和參量中去，最后得到方程僅含有少自由度或少體系統(tǒng)的算符.假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)與環(huán)境是沒有耦合的，即ρT（0）=ρS（0）?ρE（0），且整體哈密頓量可寫為：

其中HS是系統(tǒng)的自由哈密頓量，HE是環(huán)境的自由哈密頓量，HI=∑iSi?Ei是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用哈密頓量，這里的Si和Ei分別表示系統(tǒng)和環(huán)境的算符，Si代表第i種量子退相干通道.α用來衡量相互作用哈密頓量相對系統(tǒng)自由哈密頓量的相對幅度，一般符合微擾論的要求.為簡單起見，以下在相互作用表象下進(jìn)行推導(dǎo)，即對所有算符O，都有

首先從整體系統(tǒng)的馮諾伊曼方程出發(fā)（它總是成立的）：

然后對該方程做第一步馬爾可夫近似以及玻恩近似，即將（4）式的ρT（s）替換為ρT（t），物理上拋棄了從初始時(shí)刻到當(dāng)下時(shí)刻之前的系統(tǒng)演化歷史對系統(tǒng)當(dāng)前變化量的貢獻(xiàn)，而是只關(guān)心當(dāng)下時(shí)刻的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)上帶來的誤差為O（α3）.并讓方程等號兩邊都對環(huán)境部分自由度進(jìn)行部分求跡，從而得到關(guān)于系統(tǒng)密度算符的二階微擾的動力學(xué)方程（注意在下面這個(gè)方程后，不再使用約等號）：

其中第一項(xiàng)正比于TrE［Ei（t）ρE（0）］，也就是環(huán)境算符Ei的期望值，可以將其設(shè)為零.這本質(zhì)上不是一個(gè)假設(shè)，因?yàn)榭偪梢粤頗I→∑iSi?（Ei-〈Ei〉）、HS→HS+α∑i〈Ei〉Si.在環(huán)境弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于系統(tǒng)動力學(xué)時(shí)間的假設(shè)下，可以認(rèn)為環(huán)境狀態(tài)基本不變（一般可認(rèn)為環(huán)境處在熱力學(xué)平衡態(tài)），這就得到了微擾論下的玻恩-馬爾可夫主方程（Born-Markov master equation）：

它在二階微擾成立的前提下可以包含量子環(huán)境的結(jié)構(gòu)參量，也就是各模式與系統(tǒng)的相對耦合強(qiáng)度、各模式自身的本征頻率的統(tǒng)計(jì)信息，因而在許多文獻(xiàn)中也被稱為“非馬爾可夫”主方程.注意它不是“精確主方程”［23］，因?yàn)闆]有包含結(jié)構(gòu)化的環(huán)境對系統(tǒng)動力學(xué)的所有階次的貢獻(xiàn).從微擾論物理的角度需要進(jìn)一步明確兩點(diǎn)：1，主方程的建立基于系統(tǒng)-環(huán)境相互作用哈密頓量與系統(tǒng)自由哈密頓量之間存在能量/時(shí)間的尺度分離，否則對全部希爾伯特空間的計(jì)算就不可避免了.2，環(huán)境的狀態(tài)一般默認(rèn)為熱力學(xué)平衡態(tài)，那么系統(tǒng)在環(huán)境噪聲下的隨機(jī)量子躍遷過程和耗散應(yīng)該受到漲落-耗散定理的限制.

4 真空環(huán)境下的Lindblad主方程

以下用相對具體的一個(gè)例子進(jìn)一步推演，為簡單起見，將α吸收進(jìn)方程.假設(shè)相互作用哈密頓量HI=S B?+S?B.系統(tǒng)跳躍算符滿足S（t）≡eiHStS e-iHSt=S e-iω0t，其中ω0是原子分子系統(tǒng)本征頻率.環(huán)境自由哈密頓量為環(huán)境集體湮滅算符為B=∑kgkak.這里ak是玻色環(huán)境的湮滅算符，gk是耦合系統(tǒng)與第k個(gè)模式的耦合系數(shù).所以在相互作用表象下，

于是玻恩-馬爾可夫主方程可具體表達(dá)為

其中兩個(gè)含時(shí)系數(shù)的定義是

這里暗含環(huán)境狀態(tài)ρB為熱力學(xué)平衡態(tài)的假設(shè).另外對于許多本征頻率為微波波段的人工原子而言，光頻波段的電磁環(huán)境因?yàn)槟芰颗c之遠(yuǎn)不匹配而總可以認(rèn)為處在真空或零溫.所以可合理假定電磁環(huán)境處在真空態(tài)或零溫，則有

其中J（ω）=∑k|gk|2δ（ω-ωk）是環(huán)境態(tài)密度或模式密度函數(shù).而G（t）=0.略加計(jì)算，即將F（t）的積分上限推至無窮，消除其含時(shí)特征，也就是執(zhí)行第二步馬爾可夫近似，就可以得到相互作用表象下的Lindblad型主方程：

5 討論

需要再次強(qiáng)調(diào)的是，主方程是量子力學(xué)框架下的動力學(xué)方程——不難發(fā)現(xiàn)它在幺正變換下保持形式不變.一個(gè)合理的主方程必然得到合法的系統(tǒng)密度矩陣，也就是每一時(shí)刻的系統(tǒng)密度矩陣必然是半正定的.動力學(xué)方程所對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)的映射必須是全正定且跡守恒（Complete Positive Trace-preserving）.要得到特定物理體系的主方程，原則上應(yīng)從特定全量子模型出發(fā)，仿照前文步步推演，不可以做過分的非物理的近似.比如將玻恩-馬爾可夫主方程的積分上限推至無窮有時(shí)候在短時(shí)動力學(xué)中會帶來非正定的問題，其物理原因就是這種近似違背了物理定律的因果律.以Lindblad方程為代表的現(xiàn)象學(xué)方程，比如量子光學(xué)領(lǐng)域熟悉的光學(xué)布洛赫方程，只要保證系數(shù)為正常數(shù)，就不會帶來非物理的結(jié)果.但是它不能反映強(qiáng)耦合情況下的物理，比如非馬爾可夫效應(yīng).另外跳躍算符應(yīng)用系統(tǒng)哈密頓算符的本征態(tài)基矢展開，從而在物理上對應(yīng)真實(shí)的量子跳躍（quantum jump）過程.只有本征態(tài)基矢之間的瞬時(shí)量子跳躍才能正確地描述微觀量子過程.

值得指出的是，只有極其少數(shù)特定主方程可以得到解析解.比如純退相位（pure dephasing）模型和零溫環(huán)境下的少數(shù)量子跳躍模型.有時(shí)不得不采用量子跳躍方法（quantum jump method）、量子軌跡方法（quantum trajectory approach）或量子郎之萬方程替代量子Lindblad 方程進(jìn)行數(shù)值求解.比如可以證明：以下的量子態(tài)擴(kuò)散方程（一種量子軌跡方程或隨機(jī)薛定諤方程）［24，25］與Lindblad方程完全等價(jià)：

其中z*是滿足系綜平均條件的高斯型白噪聲，這里M［·］是指對系綜求平均值.求解隨機(jī)薛定諤方程后還要對噪聲軌跡求系綜平均，從而得到密度矩陣ρS（t）=M［|ψt（z*）〉〈ψt（z*）|］.

6 總結(jié)和展望

量子退相干理論在當(dāng)前研究中的興起和應(yīng)用伴隨著單量子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).通常布洛赫方程或者愛因斯坦幾率方程被用來描述受到電磁場驅(qū)動的原子分子系綜的動力學(xué).但離子阱、單模腔、量子點(diǎn)、超導(dǎo)回路等新興量子平臺的發(fā)明提供了觀察和操控單個(gè)粒子的可能性.對輻射場信息的獲取，比如通過對系統(tǒng)發(fā)射到環(huán)境內(nèi)光子的探測，會導(dǎo)致系統(tǒng)波函數(shù)的突變.無論是探測到光子還是沒有探測到，也就是零結(jié)果，都會導(dǎo)致信息的增加.這樣新的洞察便會注入到原子光子動力學(xué)及耗散過程中，這就發(fā)展出新的退相干動力學(xué)方法.除了對物理的新洞察，這些方法也會使得對復(fù)雜問題的模擬成為可能，比如用主方程方法也可處理激光冷卻問題.