隨機(jī)和認(rèn)知不確定性下的結(jié)構(gòu)可靠性分析綜述

海軍裝備部駐廣州地區(qū)軍事代表局駐昆明地區(qū)第二軍事代表室 云南 昆明 650032

1 引言

結(jié)構(gòu)可靠性是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力。在實(shí)際應(yīng)用中，為了對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性進(jìn)行定量的分析，引入了結(jié)構(gòu)可靠度的概念：結(jié)構(gòu)可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，完成規(guī)定功能(結(jié)構(gòu)不破壞)的概率[1]。

目前根據(jù)不確定性的不同，人們將不確定性分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性，并相應(yīng)的研究處理各類(lèi)不同不確定性的理論和方法，其中具有代表性的包括概率模型、可能性模型和區(qū)間模型等[2]。概率模型是人們研究最廣泛的一種模型，他能有效的處理只包含隨機(jī)不確定性的情況，但是在處理認(rèn)知不確定性時(shí)，其結(jié)果不盡人意。可能性模型是一種和概率模型平行的處理包含不確定性的模型。在結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)領(lǐng)域，最初引入可能可靠性理論就是為了處理包含認(rèn)知不確定性的情況，在處理包含認(rèn)知不確定性的可靠性問(wèn)題時(shí)已經(jīng)表現(xiàn)出不俗的能力。然而，在設(shè)計(jì)機(jī)械產(chǎn)品時(shí)，遇到的更多情況是同時(shí)包含了隨機(jī)和認(rèn)知不確定性的情況。而關(guān)于混合不確定性的可靠性問(wèn)題，目前還沒(méi)有一套統(tǒng)一的、公認(rèn)的、有效的方法體系[3]。在可靠性模型建模的過(guò)程中，我們首先要完成的任務(wù)就是需要獲得機(jī)械產(chǎn)品的某些性能響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于某些復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，來(lái)得到這些響應(yīng)表達(dá)式是非常困難的，或者說(shuō)是不可能完成的。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值分析方法的支持下發(fā)展而來(lái)的有限元方法為解決這些復(fù)雜的工程問(wèn)題提供了有效的解決方法。所謂的有限元法將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。目前常見(jiàn)通用有限元軟件包括LUSAS、MSC.Nastran、ANSYS、Abaqus、LMS-Samtech、Algor、Femap/NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等等。這些軟件各有特色，ANSYS軟件具有建模簡(jiǎn)單、快捷、方便的特點(diǎn)，因而成為大型通用有限元程序的代表[4]。

結(jié)構(gòu)可靠性理論與方法作為保障系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠性的強(qiáng)力工具，受到工業(yè)界及學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，是可靠性領(lǐng)域研究的前沿課題。由于結(jié)構(gòu)可靠性理論與方法能有效的處理結(jié)構(gòu)各階段所存在的不確定性，并且揭示了不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響的實(shí)質(zhì)，因此結(jié)構(gòu)可靠性是結(jié)構(gòu)作用及其效應(yīng)與結(jié)構(gòu)抗力的紐帶，是反應(yīng)結(jié)構(gòu)安全性和耐久性的一個(gè)綜合性指標(biāo)[5]。

隨著機(jī)械系統(tǒng)的精密、高速、重載和輕型的發(fā)展趨勢(shì)，機(jī)械產(chǎn)品的可靠性要求日益提高。對(duì)于只包含隨機(jī)不確定性的情況，基于概率的可靠性分析方法已日趨成熟；對(duì)于包含由知識(shí)不足、信息模糊、數(shù)據(jù)不完備等原因造成的認(rèn)知不確定性的情況，基于可能性的可靠性分析已表現(xiàn)出一定優(yōu)勢(shì)。

高可靠性產(chǎn)品才能滿(mǎn)足現(xiàn)代技術(shù)和生產(chǎn)的需要，可獲得高的經(jīng)濟(jì)效益，有高的競(jìng)爭(zhēng)能力，利于企業(yè)的生存與發(fā)展。

2 結(jié)構(gòu)可靠性國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

2.1 基于概率統(tǒng)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性理論 在20世紀(jì)中葉，概率的設(shè)計(jì)方法被引入到工程設(shè)計(jì)當(dāng)中，從而為結(jié)構(gòu)可靠性理論奠定了理論基礎(chǔ)。可靠性設(shè)計(jì)方法是將概率設(shè)計(jì)理論與傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)理論相結(jié)合的新方法，這里把不確定性現(xiàn)象看作隨機(jī)現(xiàn)象，用概率分布來(lái)量化不確定性，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)量化的評(píng)價(jià)機(jī)械零件或系統(tǒng)不發(fā)生失效的概率(即可靠度)，這種設(shè)計(jì)方法不僅能解決傳統(tǒng)方法無(wú)法解決問(wèn)題，而且能夠有效的提升產(chǎn)品的機(jī)械性能。經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，基于概率的可靠性設(shè)計(jì)方法日趨成熟，無(wú)論是理論研究還是工程應(yīng)用與之相關(guān)的成果層出不窮[6]。概率可靠性模型是研究最早的一種可靠性分析模型，經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，目前已經(jīng)形成了許多經(jīng)典的分析方法。概括起來(lái)，概率可靠性分析方法可大致分為近似解析法、數(shù)值模擬法、函數(shù)替代法三個(gè)大類(lèi)。在解析法的方面，首先有人提出了結(jié)構(gòu)安全度的概念，從而奠定了結(jié)構(gòu)可靠度的理論基礎(chǔ)。在此之后一次二階矩法的出現(xiàn)則進(jìn)一步推動(dòng)了結(jié)構(gòu)可靠度的理論發(fā)展。隨后可靠性指標(biāo)的概念推導(dǎo)出了當(dāng)系統(tǒng)的隨機(jī)變量全為正態(tài)分布時(shí)候的可靠性指標(biāo)表達(dá)式。在此之后給出了MPP點(diǎn)的定義和模型，有效的解決了由于展開(kāi)不同而導(dǎo)致可靠性指標(biāo)出現(xiàn)不一致的問(wèn)題，為了解決只適用于正態(tài)分布的情況隨后提出了著名的R-F算法。目前一次二階矩和二次二階矩方法由于能比較好的平衡精度和效率之間的關(guān)系，被廣泛的應(yīng)用在了可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。除此之外，有人提出了直接利用功能函數(shù)在特征點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)近似計(jì)算功能函數(shù)的低階矩，然后由功能函數(shù)的各階矩來(lái)近似計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率的兩點(diǎn)估計(jì)法。在此基礎(chǔ)上采用三點(diǎn)離散分布統(tǒng)計(jì)矩來(lái)描述連續(xù)分布的統(tǒng)計(jì)矩，推到了考慮輸入隨機(jī)變量前四階矩的三點(diǎn)估計(jì)法。在數(shù)值方面，蒙特卡洛方法運(yùn)用較為普遍[7]。在理論上來(lái)說(shuō)，不論任何的結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題，蒙特卡洛方法都可以迎刃而解，但是該方法的效率較低，計(jì)算占用的資源比較高。特別對(duì)于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，這種不足就變得無(wú)法接受了，為了提高其運(yùn)行效率，隨后提出了一些改進(jìn)性的方法，用于代替蒙特卡洛方法，例如重要性采樣、方向模擬法、分層抽樣法和描述性抽樣法等。函數(shù)代替法方面，目前對(duì)于多變量復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性分析，由于變量與結(jié)構(gòu)功能函數(shù)之間沒(méi)有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，一般都需要通過(guò)仿真分析來(lái)獲得設(shè)計(jì)變量與結(jié)構(gòu)性能之間的響應(yīng)。再將不確定性因素考慮在內(nèi)，采用數(shù)值模擬的方法求解結(jié)構(gòu)的失效概率，這無(wú)疑會(huì)使得整個(gè)分析過(guò)程的計(jì)算量變得異常龐大。在過(guò)去的二十多年中，代理模型已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)的各個(gè)領(lǐng)域，在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化中扮演了越來(lái)越重要的角色。結(jié)構(gòu)可靠性的基本理論和方法逐漸趨于完善，但可靠性相關(guān)計(jì)算方法在實(shí)際工程中遇到了許多問(wèn)題，如非正態(tài)隨機(jī)變量處理不準(zhǔn)確，相關(guān)可靠性分析方法計(jì)算量偏大，計(jì)算精度不高等若干問(wèn)題，馬超結(jié)合近年來(lái)最新的數(shù)學(xué)理論方法，如模擬退火全局優(yōu)化算法，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論，馬爾可夫鏈模擬，凸集模型等，發(fā)展了一系列計(jì)算效率高，計(jì)算精度好的適于工程運(yùn)用的可靠性分析方法[8]。

2.2 基于非概率統(tǒng)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性理論 隨著不確定性現(xiàn)象的深入研究，人們逐漸發(fā)現(xiàn)基于概率的可靠性分析存在著一些局限性，在完整概率的可靠性分析要滿(mǎn)足以下條件：事件定義明確；存在大量樣本；樣本具有較好的重復(fù)性和可以量化的分布規(guī)律；不受人為因素的影響。在機(jī)械設(shè)計(jì)的早期階段，由于結(jié)構(gòu)的負(fù)載和工作條件惡劣的機(jī)械，我們通常無(wú)法獲得足夠的觀測(cè)數(shù)據(jù)。并且受到觀測(cè)手段以及儀器的影響，工程師很難獲得足夠的數(shù)據(jù)。由于眾多的不利因素的影響，要求試驗(yàn)數(shù)據(jù)同時(shí)滿(mǎn)足概率可靠性分析的條件是幾乎不可能的，這就使得基于概率的可靠性研究不能有效的處理這方面的問(wèn)題。

為了解決概率可靠性理論的局限性，學(xué)者對(duì)不確定性的本質(zhì)進(jìn)行了深入的討論和分析，從不確定性信息的隨機(jī)性，模糊性和不完備性進(jìn)行討論，將不確定性分為隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性，并且認(rèn)為隨機(jī)不確定性是事物的固有屬性，而認(rèn)知不確定性則是由于信息模糊，數(shù)據(jù)不完整或知識(shí)缺乏等因素造成的。這種分類(lèi)方式能夠明確的造成不確定性的本質(zhì)原因，從而能夠比較好的來(lái)解釋概率可靠性理論所不能解釋的問(wèn)題。實(shí)際上來(lái)說(shuō)，概率可靠性理論只考慮了隨機(jī)不確定性，因此基于概率可靠性分析設(shè)計(jì)的方法只適合于只包含隨機(jī)不確定性的情況。

在此之后，為了彌補(bǔ)概率可靠性理論的不足，又有人提出了非概率可靠性的概念。這些理念很快就獲得了大量的關(guān)注和討論，一些能夠有效處理認(rèn)知不確定性理論逐漸進(jìn)入人們的視野。目前，在處理認(rèn)知不確定性的非概率理論主要有凸集理論，證據(jù)理論和可能性理論[9]。其中的凸集理論是用來(lái)描述不確定的，凸集理論對(duì)數(shù)據(jù)不足或信息不完備的情況有明顯的優(yōu)勢(shì)，孫座振以區(qū)間模型為基礎(chǔ)對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞和可靠性做了分析和研究。將疲勞分析中的不確定性因素用區(qū)間模型描述，把不確定參數(shù)的不確定范圍看作不確定參數(shù)的區(qū)間半徑，對(duì)疲勞功能函數(shù)進(jìn)行區(qū)間擴(kuò)展，用區(qū)間攝動(dòng)法對(duì)含有區(qū)間變量的疲勞功能函數(shù)做區(qū)間運(yùn)算，對(duì)應(yīng)力-疲勞壽命區(qū)間、應(yīng)變-疲勞壽命區(qū)間及其可靠度進(jìn)行了分析，并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了疲勞可靠性?xún)?yōu)化。將Epsilon重分析方法有效地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的可靠度分析中，計(jì)算結(jié)構(gòu)靜態(tài)與動(dòng)態(tài)非概率可靠度指標(biāo)。將Epsilon方法與區(qū)間控制法相結(jié)合，通過(guò)控制區(qū)間參數(shù)的區(qū)間半徑改善靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的可靠度指標(biāo)。實(shí)現(xiàn)區(qū)間參數(shù)的多目標(biāo)區(qū)間控制[10]。區(qū)間方法只需要知道不確定性的區(qū)間的界限即可，尤其特別適合處理小樣本的情況，但這種分析方法也存在缺陷：無(wú)法有效表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)的分布情況，也就意味著凸集理論要和其他理論相結(jié)合才可以取得比較良好的結(jié)論。

熊彥銘、楊戰(zhàn)平等利用證據(jù)理論來(lái)表征單元可靠性的不確定性，并通過(guò)響應(yīng)函數(shù)獲得系統(tǒng)的非概率可靠性輸出，其區(qū)間的上下界分別為似真函數(shù)和信任函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了不確定性的傳播[11]。證據(jù)理論的核心思想引用信任函數(shù)，似然函數(shù)及類(lèi)概率的分布函數(shù)來(lái)描述不確定性或證據(jù)的精確信任度，從各個(gè)不同的角度來(lái)刻畫(huà)不確定性。證據(jù)理論擁有比較強(qiáng)的理論性，能將“不確定”和“不知道”區(qū)分開(kāi)來(lái)。但也擁有自己缺點(diǎn)，證據(jù)理論要求處理的信息必須是獨(dú)立的，不能處理模糊信息。

李昆鋒、楊自春、孫文彩等研究了模糊不確定性和非概率不確定性共存時(shí)的結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題。應(yīng)用模糊理論，導(dǎo)出了Info-gap(Information-gap)模型的失效可能性測(cè)度和安全可能性測(cè)度，建立了模糊失效準(zhǔn)則下結(jié)構(gòu)非概率可靠性分析的一般性模型，給出了可靠性指標(biāo)的解法[12]?？赡苄岳碚摰暮诵乃枷胧谴_定可能性，可能性分布，可能性分布函數(shù)，邊緣可能性函數(shù)等其他系個(gè)度量工具之間的關(guān)系，以及各種命題之間轉(zhuǎn)換規(guī)則和不精確命題的推測(cè)規(guī)則[13]。

非概率的可靠性理論對(duì)數(shù)據(jù)的要求比較低，有較好的工業(yè)應(yīng)用前景。目前，非概率的理論已經(jīng)應(yīng)用到土木，交通，計(jì)算力學(xué)，軍事，能源，自動(dòng)化，航天等各個(gè)領(lǐng)域，成為機(jī)械工程中處理不確定性的重要工具。但與成熟的概率理論相比的可能性理論，非概率的可靠性理論目前還處于發(fā)展階段，因此概率分析方法仍是主流分析方法，非概率的分析方法只為其作為補(bǔ)充，并不能完全替代。

由于在可靠性分析中概率分析理論的主導(dǎo)地位，以及工程中存在了大量的認(rèn)知不確定性現(xiàn)象，因此將概率理論和非概率理論想結(jié)合，研究不確定性條件下的可靠性分析方法也是非常重要的，近些年來(lái)已經(jīng)出現(xiàn)眾多混合不確定性的研究成果，例如基于概率區(qū)間的混合可靠性模型，基于概率可能性的混合可靠性模型，基于模糊與區(qū)間的混合可靠性模型等等，這些理論大多處于理論研究階段，其工程的應(yīng)用價(jià)值有待進(jìn)一步的印證。

2.3 基于概率-非概率統(tǒng)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性理論 工程中，隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性往往同時(shí)存在。近年來(lái)，兩種不確定性同時(shí)存在下的結(jié)構(gòu)可靠性理論引起國(guó)內(nèi)外大量知名專(zhuān)家學(xué)者的高度關(guān)注，并開(kāi)展了卓有成效的研究。劉國(guó)梁利用3σ準(zhǔn)則建立了區(qū)間非概率可靠性指標(biāo)與概率可靠性指標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系[14]；吳鈺龍基于概率和非概率凸模型，并考慮模糊失效準(zhǔn)則，對(duì)其混合可靠性問(wèn)題進(jìn)行了研究[15]；何新黨從概率模型、模糊模型、非概率模型等多個(gè)角度對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究，建立了一些適用于復(fù)雜工程問(wèn)題的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法[16]；李昆鋒、楊自春、孫文彩等對(duì)凸集不確定性和隨機(jī)變量共存的結(jié)構(gòu)混合可靠性模型行研究，以解決部分參量統(tǒng)計(jì)信息不足時(shí)的結(jié)構(gòu)可靠性評(píng)定問(wèn)題?；贗nfo-gap理論，建立一種統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型，由此導(dǎo)出一種與概率可靠性方法等價(jià)的橢球非概率可靠性模型。用一種特定的橢球凸集模型描述隨機(jī)變量不確定性，與一般性的凸集模型復(fù)合，將凸集不確定性和隨機(jī)變量共存的混合可靠性問(wèn)題統(tǒng)一為非概率可靠性問(wèn)題?；诜歉怕士煽啃苑椒?，提出一種一般性的凸集-概率混合可靠性方法[17]；李世軍對(duì)區(qū)間和超橢球凸集模型非概率可靠性指標(biāo)的算法進(jìn)行了研究，對(duì)具有顯式極限狀態(tài)方程的可靠性分析采用優(yōu)化算法中的梯度投影法，或者蒙特卡羅法，對(duì)隱式或者復(fù)雜極限狀態(tài)方程的可靠指標(biāo)求解，采用蒙特卡羅法，響應(yīng)面法和支持向量機(jī)[18]；肖寧聰基于區(qū)間理論、模糊集理論和概率論，研究了變量相關(guān)時(shí)的結(jié)構(gòu)非概率可靠性問(wèn)題、隨機(jī)和認(rèn)知不確定性下的結(jié)構(gòu)可靠性分析問(wèn)題、隨機(jī)和認(rèn)知不確定性下的結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析問(wèn)題，拓展和完善了現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)可靠性理論體系[19]。

3 基于區(qū)間變量的非概率可靠性分析

在自然界和人類(lèi)活動(dòng)中所遇到的各種各樣的現(xiàn)象，大體上可分為兩類(lèi)：確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象是指在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象。而不確定性現(xiàn)象在一定條件發(fā)生與否卻是不一定的。一般來(lái)講，不確定性現(xiàn)象又可分為兩類(lèi)：隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性?？煽啃越Ｖ械牟淮_定性分為結(jié)構(gòu)所承受荷載的不確定性、材料特性參數(shù)的不確定性、約束邊界條件和初始條件的不確定性和結(jié)構(gòu)的幾何尺寸的不確定性[20]。

隨機(jī)不確定性可以通過(guò)一定條件下的大量重復(fù)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)來(lái)刻畫(huà)，其本質(zhì)上具有明確的含義，只是由于條件不充分，使得條件與事件之間雖然能出現(xiàn)決定性的因果關(guān)系，但是在事件發(fā)生與否上表現(xiàn)出不確定性的性質(zhì)。雖然隨機(jī)不確定性可以通過(guò)大量重復(fù)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)來(lái)量化，但不確定的程度并不隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而減少。

認(rèn)知不確定性是由于信息不完備或知識(shí)不足導(dǎo)致的不確定性。知識(shí)不足使得對(duì)事件的定性描述具有不確定性，信息不完備則會(huì)導(dǎo)致事件的定量描述具有不確定性。認(rèn)知不確定性本質(zhì)上與人們對(duì)事件的主觀認(rèn)識(shí)和判斷有關(guān)，因此，通過(guò)增加統(tǒng)計(jì)信息或知識(shí)儲(chǔ)備可在一定范圍內(nèi)減小不確定性的程度。

作為一種描述有界不確定信息的數(shù)學(xué)模型，非概率集合理論模型將不確定事件的所有可能性用集合描述，而在集合內(nèi)不定義任何概率測(cè)度，所用集合的具體形式一般根據(jù)工程實(shí)際情況來(lái)確定。在非概率集合理論模型中，目前主要有兩種理論和方法。一種是采用凸集模型來(lái)描述不確定參數(shù)，以凸集合為基礎(chǔ)的優(yōu)化方法即凸模型方法；另一種是采用區(qū)間模型來(lái)描述不確定參數(shù)，基于區(qū)間數(shù)學(xué)的區(qū)間分析方法[21]。

由于結(jié)構(gòu)非概率可靠性理論對(duì)數(shù)據(jù)和信息量要求低，因此有較好的工程應(yīng)用前景，結(jié)構(gòu)非概率理論可作為結(jié)構(gòu)概率可靠性理論的有益補(bǔ)充。迄今為止，區(qū)間變量相互獨(dú)立下的結(jié)構(gòu)非概率可靠性方法已有較多研究，且有了初步工程應(yīng)用。為了滿(mǎn)足產(chǎn)品高可靠性和高安全性的要求，結(jié)構(gòu)可靠性理論和方法受到了工程界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注，一直是可靠性領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)可靠性理論和方法，基本都是建立在概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)之上的，即系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)的分布都為精確已知的。基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性理論和方法已非常成熟。但是，由于各種不確定性的影響，在工程實(shí)際中，特別是產(chǎn)品的設(shè)計(jì)初期，常會(huì)遇到數(shù)據(jù)不足或信息不完善的情況。由于航空、航天產(chǎn)品普遍具有小樣本、結(jié)構(gòu)復(fù)雜及造價(jià)昂貴等特點(diǎn)，所以這種情況在航空、航天領(lǐng)域更為明顯。因此，傳統(tǒng)基于概率統(tǒng)計(jì)的結(jié)構(gòu)可靠性理論和方法面臨極大的挑戰(zhàn)?，F(xiàn)有研究表明，概率統(tǒng)計(jì)模型對(duì)模型參數(shù)較為敏感，當(dāng)數(shù)據(jù)不足或信息不完善時(shí)，基于概率統(tǒng)計(jì)模型所得的結(jié)果往往是不可靠的。因此，非常有必要探索和研究新的可靠性理論和方法。需特別指出的是，基于區(qū)間的結(jié)構(gòu)非概率模型已引起有關(guān)學(xué)者的極大關(guān)注，其模型已成功用于結(jié)構(gòu)可靠性分析、可靠性靈敏度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

3.1 一次二階矩方法(FOSM) 一次二階矩方法的基本思想就是將非線(xiàn)性的功能函數(shù)進(jìn)行線(xiàn)性化，然后通過(guò)基本變量的一階矩和二階矩來(lái)計(jì)算線(xiàn)性化后的功能函數(shù)的一階矩和二階矩，進(jìn)而近似得到功能函數(shù)的失效概率。目前一次二階矩法可分為均值點(diǎn)一次二階矩法、改進(jìn)(驗(yàn)算點(diǎn))一次二階矩法和Rackwitz-Fiessler(R-F)法。其中改進(jìn)一次二階矩法是Hasifor-Lind于1974年提出的，又稱(chēng)為AFOSM法(Advanced First Order Second Moment Method)。改進(jìn)一次二階矩法與均值一次二階矩法的不同之處在于，改進(jìn)一次二階矩法將功能函數(shù)線(xiàn)性化的點(diǎn)是失效域中最可能失效(Most Probable-Failure Point，MPP)，而均值一次二階矩法線(xiàn)性化的點(diǎn)是基本變量的均值點(diǎn)[22]。

3.2 均值一次二階矩可靠性分析方法 功能函數(shù)是基本變量的函數(shù)，由概率論基本原理可知，當(dāng)功能函數(shù)為基本變量的線(xiàn)性函數(shù)且基本變量服從正態(tài)分布時(shí)，功能函數(shù)也服從正態(tài)分布，并且功能函數(shù)的分布參數(shù)可以由基本變量的一階矩和二階矩簡(jiǎn)單推導(dǎo)求得?；谶@一原理，均值一次二階矩方法在基本變量的均值點(diǎn)處將非線(xiàn)性的功能函數(shù)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)成線(xiàn)性表達(dá)式，以線(xiàn)性功能函數(shù)代替原非線(xiàn)性功能函數(shù)，求解線(xiàn)性方程的可靠度指標(biāo)，從而得到原功能函數(shù)的近似失效概率[23]。

3.3 改進(jìn)一階二次矩方法[24]改進(jìn)一次二階矩法(Advanced First Order and Second Moment)是Hasofer-Lind提出的，又稱(chēng)為AFOSM法。從原理上來(lái)說(shuō)，改進(jìn)一次二階矩法與均值一次二階矩法是類(lèi)似的，它也是通過(guò)將非線(xiàn)性功能函數(shù)線(xiàn)性展開(kāi)，然后用線(xiàn)性功能函數(shù)的失效概率來(lái)近似原非線(xiàn)性功能函數(shù)的失效概率。與均值一次二階矩法的不同之處在于，改進(jìn)一次二階矩方法將功能函數(shù)線(xiàn)性化的點(diǎn)是失效域中的最可能失效點(diǎn)MPP(又稱(chēng)設(shè)計(jì)點(diǎn))，而均值一次二階矩法線(xiàn)性化的點(diǎn)是基本變量的均值點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)給定的非線(xiàn)性功能函數(shù)，其失效域中的最可能點(diǎn)是不能預(yù)先得知的，它需要通過(guò)迭代或者直接尋優(yōu)的過(guò)程來(lái)求得。

AFOSM運(yùn)算簡(jiǎn)捷，對(duì)非線(xiàn)性程度不高的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，其精度能夠滿(mǎn)足工程實(shí)際需要，在工程階受到了廣泛重視。

3.4 均值一次二階矩可靠性的優(yōu)缺點(diǎn) 從上述過(guò)程可以看出，均值一次二階矩方法對(duì)于功能函數(shù)為線(xiàn)性基本變量為正態(tài)的問(wèn)題可以得到失效概率的精確解。當(dāng)基本變量的分布形式未知，但其均值(一階矩)和標(biāo)準(zhǔn)差(二階矩)已知時(shí)，由均值一次二階矩方法可以求得失效概率的近似解。盡管均值一次二階矩方法的適用范圍非常有限，而且它還需要求解功能函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，但由于其簡(jiǎn)單容易實(shí)現(xiàn)，且僅需要知道基本變量的一階矩和二階矩，因此在工程中有一定的應(yīng)用價(jià)值。必須指出的是，該方法具有致命的弱點(diǎn)，那就是它對(duì)于物理意義相同而數(shù)學(xué)表達(dá)式不同的非線(xiàn)性問(wèn)題有可能得到完全不同的失效概率，這就要求在選擇功能函數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量選擇線(xiàn)性化程度較好的形式，以便采用均值一次二階矩法能夠得到精度較高的解。針對(duì)均值一次二階矩方法存在的致命弱點(diǎn)，可靠性研究者提出了改進(jìn)一次二階矩方法。基于均值一次二階矩法的可靠性靈敏度分析對(duì)于正態(tài)基本變量且功能函數(shù)為線(xiàn)性的情況，可以得到可靠性靈敏度的精確解；對(duì)于正態(tài)基本變量且非線(xiàn)性程度不大的功能函數(shù)，該方法得到的可靠性靈敏度近似解也是可以接受的；但對(duì)于高度非線(xiàn)性功能函數(shù)，該方法得到的可靠性靈敏度解將可能是完全錯(cuò)誤的。

3.5 改進(jìn)一次二階矩方法的優(yōu)缺點(diǎn) 與均值一次二階矩法相比，改進(jìn)一次二階矩法在設(shè)計(jì)點(diǎn)處線(xiàn)性展開(kāi)功能函數(shù)，從而使得物理意義相同而數(shù)學(xué)表達(dá)式不同的問(wèn)題具有了統(tǒng)一的解。由于設(shè)計(jì)點(diǎn)是對(duì)失效概率貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)，因此在設(shè)計(jì)點(diǎn)處線(xiàn)性展開(kāi)比在均值點(diǎn)處線(xiàn)性展開(kāi)對(duì)失效概率的近似具有更高的精度。對(duì)于極限狀態(tài)方程非線(xiàn)性程度不大的情況，改進(jìn)一次二階矩法能給出近似精度較高的結(jié)果。由于工程上有很多問(wèn)題滿(mǎn)足改進(jìn)一次二階矩法的適用范圍，從而使得改進(jìn)一次二階矩法在工程上被廣泛運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上形成了一定的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。改進(jìn)一次二階矩方法的缺點(diǎn)可以歸納如下：

(1)不能反映功能函數(shù)的非線(xiàn)性對(duì)失效概率的影響。

(2)在功能函數(shù)的非線(xiàn)性程度較大的情況下，迭代算法受初始點(diǎn)影響較大；對(duì)具有多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的問(wèn)題，改進(jìn)一次二階矩方法可能會(huì)陷入局部最優(yōu)，甚至不收斂。對(duì)極限狀態(tài)方程的解析表達(dá)式有一定的依賴(lài)性。

(3)采用改進(jìn)的一次二階矩方法進(jìn)行可靠性靈敏度分析時(shí)，其精度很大程度上依賴(lài)于功能函數(shù)的非線(xiàn)性程度，非線(xiàn)性程度較小時(shí)，該方法可以得到可靠性靈敏度的高精度解，但非線(xiàn)性程度較大時(shí)，由于可能產(chǎn)生的迭代不收斂或近似精度較差的情況，此時(shí)可靠性靈敏度有可能得不到或者得到錯(cuò)誤解。

4 總結(jié)

在實(shí)際工程領(lǐng)域，對(duì)一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，往往要考慮很多不確定量。其中一部分不確定性參數(shù)由于信息量足夠，適合采用概率模型來(lái)描述，而某些不確定參數(shù)由于缺乏足夠的樣本數(shù)據(jù)或者內(nèi)在原因，適合采用非概率區(qū)間模型來(lái)描述，或者有些參數(shù)可通過(guò)概率分布描述，但其中的關(guān)鍵分布參數(shù)只能給定變化的區(qū)間。因此，研究混合模型的可靠性分析方法具有重要的實(shí)際工程意義。