基于幾何級數(shù)展開的鬼波壓制方法?

陳寶書 吳 玉 陶 杰 管西竹 劉春城 符力耘

(1 中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028)

(2 中國科學(xué)院油氣資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所 北京 100029)

(3 中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 青島 266580)

0 引言

隨著海上油氣勘探開發(fā)難度的增加，地質(zhì)、地球物理學(xué)家對地震資料的品質(zhì)要求越來越高。常規(guī)的地震資料處理流程已經(jīng)不能滿足日益增長的對地震資料品質(zhì)的要求。地震資料的頻帶寬度和地震資料的分辨率直接相關(guān)，高分辨率的地震數(shù)據(jù)對后續(xù)的構(gòu)造精確解釋、儲層準(zhǔn)確描述具有重要影響。因此，寬頻處理技術(shù)是當(dāng)前地震處理流程非常重要的一環(huán)。對于海上拖纜數(shù)據(jù)，因?yàn)楹Ｆ矫媸且粋€(gè)強(qiáng)反射界面(反射系數(shù)接近?1)，上行的反射波(一次波)在海平面發(fā)生向下反射(鬼波)，上行波和下行鬼波疊加在一起，降低了地震資料的分辨率。為了恢復(fù)寬頻的上行波，需要把下行鬼波的干涉去掉，這項(xiàng)技術(shù)被稱為鬼波壓制。

近些年來，發(fā)展了很多鬼波壓制的技術(shù)和方法，主要可以分為兩大類：(1)與采集技術(shù)相關(guān)，通過特定的觀測系統(tǒng)設(shè)計(jì)達(dá)到有效壓制鬼波的目的，主要包括上下纜[1]、變深度纜[2?4]、雙檢波器[5]；(2)基于處理技術(shù)的方法，基于鏡像道集和聯(lián)合反褶積的鬼波壓制方法[2]、基于自舉法確定鬼波參數(shù)的方法[6?7]、基于波動方程的鬼波壓制方法[8?9]。

在Radon 域通過求解一個(gè)最小二乘問題可以消除虛反射產(chǎn)生的鬼波[10]。對含鬼波的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次波場外推延拓，對延拓結(jié)果進(jìn)行求和及閾值截?cái)嗵幚?，可以達(dá)到去除鬼波的目的[11]。通過波動方程延拓，把鬼波壓制看作一個(gè)反演問題，通過反問題的求解可以得到只包含上行波的地震記錄[12]?；诟窳趾瘮?shù)理論的鬼波壓制方法完全基于地震數(shù)據(jù)驅(qū)動，無需任何地下介質(zhì)信息，適用于各種復(fù)雜的海洋地形和地質(zhì)情況[13?14]。針對上下纜數(shù)據(jù)，可以通過上下纜地震波場的波動方程法合并有效解耦鬼波干涉，實(shí)現(xiàn)綜合利用上下纜地震數(shù)據(jù)壓制鬼波[15]。

目前這些鬼波技術(shù)還存在一些問題和限制，基于特定觀測系統(tǒng)的鬼波技術(shù)通常在平纜數(shù)據(jù)上不能得到很好的結(jié)果，但是目前常規(guī)采集的拖纜數(shù)據(jù)很大一部分是平纜采集，這部分資料的潛力還有待挖掘?；谔幚砑夹g(shù)的鬼波壓制方案，因?yàn)楣聿ㄋ阕釉谙莶l率附近接近于0 (上行波和下行波剛好抵消)，直接對算子求逆，存在數(shù)值不穩(wěn)定的問題，即使采取一些技術(shù)手段來規(guī)避這個(gè)問題，如基于波動方程的鬼波壓制技術(shù)[8]因?yàn)樵跁r(shí)空域進(jìn)行鬼波壓制，可有效解決穩(wěn)定性問題，但是在時(shí)空域求解波動方程通常計(jì)算量比較大。為了同時(shí)解決穩(wěn)定性和計(jì)算效率的問題，本文提出一種在頻率波數(shù)(FK)域進(jìn)行波動方程延拓壓制鬼波的技術(shù)。該技術(shù)首先對逆鬼波算子進(jìn)行幾何級數(shù)展開，解決逆鬼波算子的穩(wěn)定性問題，然后在FK 域進(jìn)行波動方程延拓，解決計(jì)算效率的問題。

1 方法原理

1.1 鬼波算子

簡單而不失一般性，假設(shè)如圖1 所示的簡單模型，下行的入射波場從震源出發(fā)，在海底發(fā)生反射向上傳播被檢波器接收(一次波：藍(lán)線)，因?yàn)楹Ｆ矫娴拇嬖冢闲械姆瓷洳?一次波)被海平面反射后(下行波)被檢波器接收(鬼波：紅線)，因?yàn)楣聿ǖ母缮孀饔?，?dǎo)致接收的波場存在陷波效應(yīng)：某些頻率的能量為0，這是由一次波和鬼波剛好反相疊加導(dǎo)致的。

圖1 一次波和鬼波的傳播路徑Fig.1 Raypath of primary and ghost wavefield

假設(shè)海平面的反射系數(shù)等于?1，纜深為zr，在FK域鬼波算子可以表示為[16]

鬼波算子是一個(gè)二維時(shí)空域TX 褶積算子(三維對應(yīng)TXY 域褶積)[17]，因此其逆算子(反褶積算子)可以在TX 域進(jìn)行，也可以在FK 域進(jìn)行。因?yàn)榭梢越柚焖俑道锶~變換(FFT)進(jìn)行快速計(jì)算，因此FK域方法在計(jì)算效率上有優(yōu)勢。

圖2 鬼波算子在FK 域和在TX 域的響應(yīng)Fig.2 Ghost operator in FK domain and TX domain

1.2 基于幾何級數(shù)展開的逆鬼波算子

1.2.1 常規(guī)FK域鬼波壓制算子

滿足模型假設(shè)的前提下，如果準(zhǔn)確知道纜深數(shù)據(jù)，逆鬼波算子可以表示為[17]

公式(2)在陷波頻率下存在奇異性(G算子在陷波頻率處等于0，見圖2)，直接求逆存在數(shù)值不穩(wěn)定問題。為了解決這個(gè)問題，可以把鬼波壓制問題看作一個(gè)最小二乘反演問題：

其中，p表示一次波數(shù)據(jù)，d表示含鬼波的地震數(shù)據(jù)，R是正則化算子，目的是對一次波數(shù)據(jù)進(jìn)行某種約束，使得公式(3)具有唯一解，μ是正則化參數(shù)。通常R算子取為p的二范數(shù)，這時(shí)公式(3)對應(yīng)的形式解為

其中，I表示單位算子。公式(4)可以得到一個(gè)穩(wěn)定的鬼波壓制結(jié)果，但是在陷波頻率處的能量并沒有補(bǔ)償，這個(gè)不難理解：在陷波點(diǎn)，地震數(shù)據(jù)d的能量等于0，在不引入先驗(yàn)信息的情況下，不可能恢復(fù)已經(jīng)丟失的信息。下面通過一個(gè)簡單的數(shù)值算例說明這一點(diǎn)。設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的一維算例，纜深等于25 m，合成的含鬼波記錄及其頻譜見圖3(a)，從頻譜上可以看到陷波效應(yīng)，因?yàn)楣聿ǖ拇嬖?，?dǎo)致地震信號的有效頻帶變窄，圖3(b)是根據(jù)公式(4)壓制鬼波以后的結(jié)果，可以從頻譜上看出，陷波頻率處的信號能量沒有得到補(bǔ)償，導(dǎo)致波形出現(xiàn)了擾動。為了解決這個(gè)問題，回到逆鬼波算子式(2)，對其進(jìn)行幾何級數(shù)展開。

圖3 一維鬼波壓制算例Fig.3 1D deghosting example

1.2.2 基于幾何級數(shù)展開的逆鬼波算子

針對逆鬼波算子式(2)，可以對其進(jìn)行幾何級數(shù)展開[17]：

公式(5)目前還沒有消除奇異性，因?yàn)樾枰獙o窮多項(xiàng)求和。為了解決這個(gè)問題，需要對公式(5)進(jìn)行分析，明確每一項(xiàng)的含義。第一項(xiàng)是單位算子，第二項(xiàng)表示一個(gè)波場延拓算子。

以圖3 為例，前兩項(xiàng)和前三項(xiàng)之和見圖4，從圖4 可以看出，隨著式(5)每一項(xiàng)的加入，鬼波和一次波分得越來越開，當(dāng)加到無窮多項(xiàng)時(shí)，一次波和鬼波距離無限遠(yuǎn)，通過截取序列前面部分?jǐn)?shù)據(jù)，把鬼波丟掉，可以得到只含一次波的數(shù)據(jù)。

圖4 一維算例(圖3)公式(5)前兩項(xiàng)和與前三項(xiàng)和Fig.4 1D deghosting example of Equation (5):sum of two terms and three terms

一個(gè)簡單的方法：對地震數(shù)據(jù)在時(shí)間方向進(jìn)行補(bǔ)0，d(t)從nt長度變?yōu)?×nt長度，截取公式(5)有限項(xiàng)進(jìn)行疊加，對得到的結(jié)果只取前nt個(gè)采樣點(diǎn)，可以得到壓制鬼波的記錄p(t)。對于圖3的一維算例，采用公式(5)進(jìn)行鬼波壓制，結(jié)果見圖5。從頻譜上可以看出陷波頻率處的能量得到了很好的補(bǔ)償，公式(5)通過波場延拓的方式不斷地預(yù)測鬼波，然后把鬼波從記錄中減掉，這樣可以完全恢復(fù)一次波的信號。

圖5 一維算例公式(5)壓制鬼波結(jié)果Fig.5 1D deghosting example of Equation (5):final outcome

2 數(shù)值算例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的正確性，首先設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的層狀介質(zhì)模型(圖6)，網(wǎng)格間距為6.25 m×6.25 m，震源子波是主頻50 Hz 的高斯子波，纜深25 m，纜長4000 m，最小偏移距200 m，震源位置(x,z)為(50 m,6.25 m)，時(shí)間采樣步長0.25 ms，記錄長度3.5 s。

圖7(a)是不含鬼波的理想數(shù)據(jù)，是鬼波壓制的目標(biāo)；圖7(b)是含鬼波數(shù)據(jù)，從其FK 譜上可以看到明顯的陷波效應(yīng)(圖中黑色箭頭所示)。壓制鬼波算法的目的是對陷波頻率處的波場能量進(jìn)行有效恢復(fù)。

首先對圖7(b)的數(shù)據(jù)利用公式(5)進(jìn)行鬼波壓制處理，得到的結(jié)果見圖8。通過與理想的不含鬼波記錄的相比較，肉眼幾乎看不出差別，這個(gè)簡單算例表明算法的有效性。

為了驗(yàn)證算法對復(fù)雜模型的適用性，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)復(fù)雜的起伏海底模型(圖9)，網(wǎng)格間距為6.25 m×6.25 m，震源子波是主頻50 Hz 的高斯子波，纜深25 m，纜長2500 m，最小偏移距200 m，震源位置(x,z)為(50 m,6.25 m)，時(shí)間采樣步長0.25 ms，記錄長度3.5 s。

圖10(a)是不含鬼波的理想數(shù)據(jù)；圖10(b)是含鬼波數(shù)據(jù)，從其FK 譜上可以看到明顯的陷波效應(yīng)。為了測試本文方法對復(fù)雜模型的適用性，對圖10(b)的數(shù)據(jù)利用公式(5)進(jìn)行鬼波壓制處理，得到的結(jié)果見圖11。通過與不含鬼波記錄的圖10(a)比較，可以看出本文方法壓制鬼波的有效性。

圖7 不含鬼波的理想數(shù)據(jù)和含鬼波數(shù)據(jù)及其FK 譜Fig.7 Seismic data without and with ghost

圖8 圖7(b)數(shù)據(jù)利用公式(5)壓制鬼波以后結(jié)果Fig.8 Deghosting outcome of Equation (5)for seismic data with ghost

圖9 起伏海底模型Fig.9 Velocity model of fluctuating seabed

為了驗(yàn)證本文方法在實(shí)際資料上的效果，選取了某海上實(shí)際拖纜數(shù)據(jù)，拖纜長度為6 km，共有480道檢波器，檢波器間隔12.5 m；時(shí)間采樣間隔2 ms，采樣點(diǎn)數(shù)6144；拖纜沉放深度20 m。圖12(a)為實(shí)際采樣的共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)。對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，見圖13(a)，可以看到明顯的陷波效應(yīng)。利用公式(5)對實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行鬼波壓制，結(jié)果見圖12(b)，相比實(shí)際數(shù)據(jù)，鬼波明顯被壓制。從對圖12(b)進(jìn)行頻譜分析，見圖13(b)，可以看到陷波點(diǎn)能量得到了有效補(bǔ)償。通過波形和頻譜的對比，可以驗(yàn)證本文方法對實(shí)際數(shù)據(jù)的有效性。

圖10 不含鬼波的理想數(shù)據(jù)和含鬼波數(shù)據(jù)及其FK 譜Fig.10 Seismic data without and with ghost

圖11 鬼波壓制結(jié)果及其FK 譜Fig.11 Deghosting outcome of Equation (5)for seismic data with ghost

圖12 實(shí)際資料及其壓制鬼波以后結(jié)果Fig.12 Real seismic data and deghosting outcome

圖13 實(shí)際資料及其壓制鬼波以后結(jié)果：頻譜Fig.13 Real seismic data and deghosting outcome:spectrum

3 結(jié)論

本文提出了一種基于逆鬼波算子幾何級數(shù)展開的壓制鬼波方法，該方法結(jié)合了波動方程壓制鬼波算法和FK 波場延拓技術(shù)的優(yōu)勢：通過級數(shù)截?cái)嗫朔婀聿ㄋ阕拥钠娈愋詥栴}，利用FFT實(shí)現(xiàn)波場的快速延拓。二者優(yōu)勢的結(jié)合使得該算法具有精度高、計(jì)算耗時(shí)短的特點(diǎn)，數(shù)值算例表明了本文方法的有效性。

與常規(guī)的基于反演的迭代類算法相比，本文方法不用確定正則化參數(shù)，只要知道纜深數(shù)據(jù)就可以計(jì)算，減少了參數(shù)調(diào)試的時(shí)間。