地面堆載誘發(fā)下既有盾構(gòu)隧道縱向變形的解析解

張 勇， 馬金榮， 陶祥令, 2, 李 陽

(1. 中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室， 江蘇 徐州 221116； 2. 江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院能源與交通工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116; 3. 中國建筑股份有限公司, 北京 100029)

0 引言

隨著社會經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展，城市地下軌道交通網(wǎng)絡(luò)不斷完善，緊鄰既有地鐵線路的建筑施工越來越多，由此引發(fā)的地面堆載對既有隧道的影響問題日益突出。根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計，僅2014年上海地區(qū)地鐵沿線地面突發(fā)堆載達(dá)到16次[1]。地面堆載[2]將引起下部土體沉降，使得隧道結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大變形，嚴(yán)重時將造成螺栓斷裂、管片局部開裂等病害，對地鐵隧道運(yùn)營安全危害極大。

目前地面堆載對臨近盾構(gòu)隧道影響的研究方法主要有現(xiàn)場監(jiān)測[3-5]、理論解析[6-8]、數(shù)值模擬[9-10]、室內(nèi)模型試驗[11-12]等。其中理論解析法概念明確，計算簡便，因而得到廣泛應(yīng)用。在理論計算研究方面，主要有2種思路： 一種是將隧道視為置于地基模型上的連續(xù)梁，如李春良等[6]考慮了接頭對隧道抗彎剛度的影響，建立盾構(gòu)管片的縱向梁模型，并分析了影響隧道力學(xué)行為的各種因素； 戴宏偉等[7]基于文克爾地基梁模型，研究了施工荷載對臨近隧道的影響； 璩繼立等[13]把隧道等效為雙面彈性地基梁，運(yùn)用有限差分原理解出隧道的縱向變形和內(nèi)力，并對比Winkler地基梁模型計算結(jié)果； 康成等[14]將盾構(gòu)隧道簡化為置于Winkler地基上的Timoshenko梁，并計算了盾構(gòu)隧道的縱向變形及內(nèi)力。另一種是將盾構(gòu)隧道視為完全離散的彈性地基短梁，如魏綱等[15]基于剪切錯臺模型，解得隧道縱向位移以及相鄰管片環(huán)之間的錯臺量； 魏新江等[16]建立同時考慮管片剪切錯臺和剛體轉(zhuǎn)動的隧道變形模式，運(yùn)用最小勢能原理推導(dǎo)出盾構(gòu)隧道縱向變形以及內(nèi)力計算公式。第1種研究思路隧道結(jié)構(gòu)變形原理明確，概念清晰，易于理解，因而得到廣泛應(yīng)用； 而第2種研究思路雖然更能反映盾構(gòu)隧道實(shí)際變形模式，但由于基于能量法，概念較復(fù)雜，計算繁瑣，且環(huán)間剪切剛度等參數(shù)的確定存在問題，因此相關(guān)應(yīng)用還不多。本文延續(xù)第1種研究思路，將隧道視作置于地基模型上的連續(xù)梁，導(dǎo)出變形微分方程進(jìn)行求解。

不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有計算方法基本是將盾構(gòu)隧道簡化為置于Winkler地基上的Euler-Bernoulli梁。Euler-Bernoulli梁忽略梁的剪切變形[17]，但實(shí)際工程中，盾構(gòu)隧道是由管片與螺栓組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)物，盾構(gòu)隧道不僅發(fā)生彎曲變形，而且還發(fā)生剪切錯臺變形[18]。因此，Euler-Bernoulli梁的適用性受到極大限制?？党傻萚14]雖然考慮了隧道的剪切效應(yīng)，卻仍采用傳統(tǒng)的Winkler模型作為地基模型，Winkler模型僅含1個參數(shù)，盡管運(yùn)算簡便，但忽視地基連續(xù)性，不能反映實(shí)際變形情況[19]。

針對以上不足，本文基于現(xiàn)有研究，考慮連接螺栓的存在對隧道整體剪切剛度的減弱[14]，以及地基變形的連續(xù)性，把盾構(gòu)隧道簡化為置于Pasternak地基模型上的Timoshenko梁(本文中定義為T-P模型)。Timoshenko 梁具有2個廣義位移，能夠真實(shí)反映梁在剪切作用下的變形特性[20]； 同時，Pasternak地基克服了Winkler模型的缺陷，通過加入剪切剛度為Gs的剪切層，考慮傳統(tǒng)地基彈簧之間的相互作用[19]，能夠反映地基連續(xù)性。相比之前常用的計算模型，本文T-P模型更符合盾構(gòu)隧道實(shí)際受力、變形情況。

根據(jù)上述模型導(dǎo)出地面堆載作用下臨近盾構(gòu)隧道豎向變形的微分控制方程，運(yùn)用有限差分原理解得其數(shù)值解。之后，對比分析理論計算結(jié)果與實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)，以驗證模型的適用性。最后，通過參數(shù)分析研究隧道變形對于各影響因素的敏感性。

1 隧道縱向變形計算模型建立

1.1 地表堆載引起既有隧道附加荷載計算

1.1.1 建立地面堆載力學(xué)模型

圖1示出地面堆載與既有盾構(gòu)隧道位置關(guān)系。

1.1.2 采用Boussinesq解計算附加應(yīng)力

依據(jù)Boussinesq公式，積分可得地面堆載作用下隧道軸線上某點(diǎn)的附加應(yīng)力：

(1)

式中：Ω為地面堆載積分區(qū)域；p為堆載的大小；R為控制隧道與荷載相對位置的參數(shù)

(2)

式中(ξ,η)和(X,Y,z0)分別為地面堆載范圍內(nèi)一點(diǎn)、隧道軸線上某點(diǎn)在全局坐標(biāo)系ξ-η下的坐標(biāo)。

為簡化計算，建立局部坐標(biāo)系x-y，坐標(biāo)原點(diǎn)為隧道軸線上一點(diǎn)，x軸與隧道軸線重合，y軸垂直于隧道軸線； 全局坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系原點(diǎn)水平距離為d，ξ軸與x軸夾角為α，ξ軸與兩坐標(biāo)系原點(diǎn)連線夾角為β。則由幾何關(guān)系，可得兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

X=ysinα+xcosα+dcosβ；

(3)

Y=ycosα-xsinα+dsinβ。

(4)

(a) 平面圖

(b) 截面圖

1.2 基于T-P模型的既有盾構(gòu)隧道縱向變形推導(dǎo)

本文假定盾構(gòu)隧道為置于Pasternak地基模型上的Timoshenko 梁(T-P模型)，計算模型如圖2所示。

圖2 計算模型

根據(jù)Timoshenko梁理論，可得梁彎矩ML和剪力QL：

(5)

(6)

式中： (κGA)eq為隧道等效剪切剛度； (EI)eq為隧道等效抗彎剛度；θ為梁截面轉(zhuǎn)角。

在豎向分布荷載q(x)作用下，基于本文模型，根據(jù)微元體豎向受力平衡方程和彎矩平衡方程，可得盾構(gòu)隧道豎向變形w(x)的微分控制方程：

(7)

同時，還可以得到隧道剪力Q和彎矩M的微分控制方程：

(8)

(9)

求解式(7)即可得到在地面堆載p引起的附加荷載q(x)作用下既有盾構(gòu)隧道的縱向變形，運(yùn)用有限差分原理求其數(shù)值解。

將隧道分成n段，每段長為l′，隧道兩端分別有2個虛節(jié)點(diǎn)，這樣隧道離散為n+5個節(jié)點(diǎn)單元，如圖3所示。

圖3 有限差分網(wǎng)格

基于有限差分原理，即可得微分方程式(7)的有限差分形式：

(10)

假定隧道兩端自由，則有邊界條件： 隧道兩端的彎矩M及剪力Q為0。結(jié)合邊界條件，式(10)即可寫成以隧道豎向變形w為未知數(shù)的矩陣-向量表達(dá)式：

(11)

式中： {[K1]-[K2]+[K3]}為常系數(shù)剛度矩陣； {w}為隧道的豎向變形列向量； {Q1}為附加荷載列向量； {Q2}為附加荷載修正列向量； {Q3}為補(bǔ)充列向量。

在已知地面堆載的情況下，即可求得盾構(gòu)隧道的縱向變形，進(jìn)一步還可求得盾構(gòu)隧道內(nèi)力(彎矩和剪力)及變形(管片錯臺量和接頭張開量)的縱向分布。

2 相關(guān)計算參數(shù)確定

2.1 隧道等效抗彎剛度

目前，廣泛采用Shiba等[21]建立的豎向等效連續(xù)化模型，其等效抗彎剛度(EI)eq表達(dá)式為：

(12)

式中：Ec為管片彈性模量；Ic為隧道截面慣性矩；ψ為隧道斷面中性軸位置，ψ的計算表達(dá)式為：

(13)

式中：kb為接頭螺栓的平均線剛度(kb=EbAb/lb; 其中Eb為螺栓彈性模量；Ab為螺栓的橫截面積；lb為螺栓長度)；ls為環(huán)寬；Ac為隧道管片截面積；n為螺栓個數(shù)。

管片接頭張開量O與彎矩M有關(guān)，根據(jù)幾何關(guān)系，計算公式可以表示為：

(14)

2.2 隧道等效剪切剛度

WU H. N.等[18]給出盾構(gòu)隧道等效剪切剛度(κGA)eq的計算公式為：

(15)

式中：ζ為修正系數(shù)；κb和κc分別為螺栓及管片環(huán)Timoshenko剪切系數(shù)，分別取0.9、0.5；Gb和Gc分別為螺栓和管片的剪切剛度：

(16)

(17)

式(16)—(17)中νb和νc分別為螺栓及管片的泊松比。

根據(jù)幾何關(guān)系，WU H. N.等[18]進(jìn)一步推導(dǎo)出了管片錯臺量C的計算公式：

(18)

2.3 Pasternak地基相關(guān)參數(shù)

Pasternak地基模型[19]在傳統(tǒng)Winkler 模型基礎(chǔ)上增加1個剪切剛度為Gs的剪切層，能夠考慮地基彈簧的相互作用。Pasternak地基模型基床反力可表示為：

(19)

式中：p′為Pasternak模型基床反力；k為基床反力系數(shù)；w(x)為地基變形量；Gs為地基剪切剛度。

Tanahashi[23]建議采用以下經(jīng)驗公式來估算Pasternak地基剪切剛度：

(20)

式中：Es為土的彈性模量；ν為土的泊松比；ht為Pasternak模型中變形影響深度，徐凌[24]經(jīng)過研究指出，在分析土-隧道相互作用時，ht取2.5倍隧道直徑Dt。

Vesic[25]建議置于地表上的長梁地基反力系數(shù)表達(dá)式為：

(21)

Attewell等[26]建議采用2倍kVesic數(shù)值，大致估算出具有一定埋置深度地基梁的基床反力系數(shù)，即：

k=2kVesic。

(22)

本文采用Attewell等[26]的建議，利用式(22)計算Pasternak地基的基床系數(shù)。

3 實(shí)例驗證

3.1 工程概況

小淶港河道位于上海地鐵9號線某區(qū)間盾構(gòu)段正上方，兩者位置關(guān)系及相關(guān)參數(shù)如圖4所示。由于附近工程施工，河道內(nèi)回填土方[27]?；靥钔恋母叨葹?.5 m，回填土重度γ=17 kN/m3，回填土重力荷載將導(dǎo)致下方盾構(gòu)隧道產(chǎn)生不均勻沉降。計算中考慮河道水位降低1 m的影響。隧道斷面所在土層性質(zhì)如表1所示，上海地區(qū)盾構(gòu)隧道管片結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

圖4 河道與隧道相對位置關(guān)系(單位： m)

表1 土層物理力學(xué)參數(shù)

表2 隧道管片結(jié)構(gòu)參數(shù)[17]

3.2 計算結(jié)果分析

圖5示出幾種理論模型計算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)的對比。由圖5可知： 4種理論模型計算結(jié)果相近，在河道堆載作用下，盾構(gòu)隧道豎向變形呈正態(tài)分布，隧道中心處豎向變形最大，向兩邊逐漸減少。隧道豎向變形主要發(fā)生在河道加載中心兩側(cè)40 m范圍內(nèi)，為3～4倍的加載寬度，這與文獻(xiàn)[27]的研究結(jié)論相符。采用本文提出的T-P模型，隧道最大豎向變形為27.6 mm； EB-W模型(置于Winkler地基上的Euler-Bernoulli梁)計算結(jié)果稍小，為26.7 mm； EB-P模型(置于Winkler地基上的Pasternak梁)計算結(jié)果最小，為26mm； 康成等[14]采用的T-W模型計算結(jié)果最大，為28.4 mm。究其原因，本文提出的模型基于Timoshenko梁單元，能夠考慮盾構(gòu)管片螺栓接頭對隧道整體剪切剛度的削弱，因此計算結(jié)果相比常用的Euler-Bernoulli梁模型較大。此外，本文T-P模型考慮了傳統(tǒng)地基彈簧之間的相互作用，能夠反映地基變形連續(xù)性，因此計算結(jié)果稍小于T-W模型。根據(jù)T-P模型和EB-W模型得到的隧道最大豎向變形均大于EB-P模型，但前者數(shù)值更大，表明理論模型采用Timoshenko梁單元相比Pasternak地基，對盾構(gòu)隧道豎向變形性能影響更大。

圖5 理論計算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)對比

從圖5中還可以發(fā)現(xiàn)，在河道加載中心兩側(cè)20 m范圍內(nèi)，幾種理論模型所得隧道豎向變形分布與監(jiān)測數(shù)據(jù)均大致吻合，但在實(shí)測數(shù)據(jù)的最大值附近，本文理論模型計算結(jié)果相比其他模型更接近實(shí)測值。本文模型相比其他幾種常用的計算模型，還可以進(jìn)一步得到盾構(gòu)隧道管片錯臺量，從而更準(zhǔn)確地描述盾構(gòu)隧道的復(fù)合結(jié)構(gòu)形式。此外，在距加載中心20 m范圍外，實(shí)測變形比包括本文方法在內(nèi)的幾種模型計算結(jié)果都大得多，分析原因，在實(shí)際工程中，距離地面堆載較遠(yuǎn)的盾構(gòu)隧道會受到堆載之外的其他因素的影響，也會產(chǎn)生一定的變形量。

圖6給出了采用幾種理論模型計算得到的隧道縱向彎矩、剪力、接頭張開量及管片錯臺量對比圖。由圖6可知： 基于Euler-Bernoulli梁的2種模型計算結(jié)果相近，而本文T-P模型與康成等[14]采用的T-W模型計算結(jié)果更為相近。Euler-Bernoulli梁由于不能考慮管片螺栓接頭的存在而導(dǎo)致的隧道整體剛度的削減，內(nèi)力計算結(jié)果較大； 常規(guī)EB-W模型計算所得彎矩、剪力最大值為本文T-P模型的1.3倍，亦為T-W模型的1.2倍。對比EB-W和EB-P模型計算結(jié)果，以及T-W和T-P模型計算結(jié)果，Pasternak地基模型因剪切層的存在，能夠考慮地基連續(xù)性，因此基于Pasternak地基的模型相比基于傳統(tǒng)Winkler地基的模型，計算得到的隧道縱向內(nèi)力較小。

此外，通過分析圖6(a)和圖6(b)還可以發(fā)現(xiàn)： 隧道最大正彎矩(下側(cè)受拉為正)位于堆載中心，而隧道最大負(fù)彎矩位于堆載中心兩側(cè)1倍加載寬度(±24 m)處，最大正彎矩約為最大負(fù)彎矩的2.3倍； 隧道最大剪力出現(xiàn)在堆載邊界(±12 m)處。這幾個截面均較危險，實(shí)際工程中應(yīng)給予足夠重視。

由圖6(c)和6(d)可知，接頭張開量、管片錯臺量分布圖分別與隧道彎矩、剪力分布圖變化趨勢一致，其原因為接頭張開量、管片錯臺量分別由隧道彎矩、剪力控制(式(14)和式(18))。根據(jù)圖6(d)，2種基于Euler-Bernoulli梁的計算模型假定盾構(gòu)隧道剪切剛度無窮大，不考慮剪切效應(yīng)，因此無法計算管片錯臺量； 而本文T-P模型及T-W模型所得管片錯臺量最大值差別較小，約為0.5 mm，位于隧道最大剪力出現(xiàn)位置，即堆載邊界(±12 m)處，可見Timoshenko梁模型更接近隧道變形的真實(shí)狀態(tài)。根據(jù)本文模型算得接頭最大張開量為0.7 mm，略小于Euler-Bernoulli模型計算結(jié)果0.8 mm。

4 影響因素分析

為了分析盾構(gòu)隧道豎向變形與幾個關(guān)鍵變量之間的關(guān)系，建立下述工程案例： 在地面進(jìn)行堆土施工，簡化堆土為矩形均布荷載，其大小為p=100 kPa，矩形荷載長l=24 m、寬B=50 m，堆載中心到隧道軸線的距離為d(水平方向)，隧道深度z0=10 m，堆載與隧道位置關(guān)系如圖1所示。隧道相關(guān)參數(shù)如前文所述，隧道等效抗彎剛度(EI)eq=7.8×107kN·m2，等效剪切剛度(κGA)eq=2×106kN/m。土層彈性模量為Es=10 MPa，泊松比ν=0.33。

(a) 彎矩M

(b) 剪力Q

(c) 接頭張開量O

(d) 管片錯臺量C

4.1 荷載位置的影響

圖7示出堆載與隧道之間水平距離d對隧道豎向變形w的影響?？梢钥闯?，當(dāng)?shù)孛娑演d位于隧道正上方時，隧道豎向變形最大，變形最大值達(dá)到33.2 mm； 隨著距離d的增大，隧道豎向變形逐漸減小，即地面堆載距隧道軸線越遠(yuǎn)，對隧道變形的影響越小。當(dāng)d≥0.7B(B=50 m)時，地面堆載對隧道豎向變形影響較小，隧道最大豎向變形此時僅為2.6 mm?，F(xiàn)行GJJ/T 202—2013《城市軌道交通結(jié)構(gòu)安全保護(hù)技術(shù)規(guī)范》[28]規(guī)定建設(shè)施工導(dǎo)致的“隧道豎向變形的預(yù)警值為10 mm，控制值為20 mm”。由圖7可知，當(dāng)d≤0.4B(B=50 m)時，隧道最大豎向位移w>20 mm，超過了規(guī)范限值，存在安全隱患，應(yīng)在施工過程中予以重視。此外，隧道豎向變形(沿軸線)主要集中在隧道軸線兩側(cè)±40 m(3～4倍加載寬度)，地面堆載對隧道軸線兩側(cè)40 m范圍以外的隧道結(jié)構(gòu)影響很小，基本可以忽略。

圖7 堆載與隧道之間水平距離d對隧道豎向變形w的影響

4.2 土層彈性模量的影響

圖8示出土層彈性模量Es對隧道最大豎向變形wmax的影響。本文理論計算基于Pasternak地基模型，Pasternak模型中2個關(guān)鍵參量基床反力系數(shù)k和地基剪切剛度Gs均由土層彈性模量Es導(dǎo)出。由圖8可得，隨著土層彈性模量提高，隧道最大豎向變形不斷減小，這是由于土層彈性模量的增大使得基床反力系數(shù)k和地基剪切模量Gs都變大，地基剛度增強(qiáng)，因而隧道變形量減小。此外，從圖8中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Es≤14 MPa時，隨著隧道所在土層Es的提高，隧道變形量顯著減小，即當(dāng)土層較軟弱時，隧道變形對土層彈性模量的增大響應(yīng)明顯。實(shí)際工程中，可以采取通過對土層進(jìn)行人工加固的方法減小堆載對隧道結(jié)構(gòu)變形的影響，軟土地區(qū)的加固效果更突出。

圖8 土層彈性模量Es對隧道最大豎向變形wmax的影響

4.3 隧道等效抗彎剛度和等效剪切剛度的影響

圖9示出隧道等效抗彎剛度(EI)eq和等效剪切剛度(κGA)eq對隧道最大豎向變形wmax的影響。由圖9可知，在等效抗彎剛度一定的情況下，隨著等效剪切剛度(κGA)eq的增大，隧道最大豎向變形不斷減小，但當(dāng)(κGA)eq超過2×106kN/m后，隧道最大豎向變形變化很小； 當(dāng)(κGA)eq趨于無窮大時，本文T-P模型退化為不考慮盾構(gòu)管片接頭對隧道整體剛度削弱的EB-P模型，此時隧道最大豎向變形將達(dá)到最小值?？梢姡晃对龃蠊芷宇^處剪切剛度并不能有效減小隧道豎向變形。由圖9還可以發(fā)現(xiàn)，在隧道等效剪切剛度(κGA)eq一定的情況下，隨著隧道等效抗彎剛度(EI)eq的增大，隧道最大豎向變形不斷減小。相較于等效剪切剛度(κGA)eq，等效抗彎剛度(EI)eq的增大對隧道豎向變形的影響更為顯著。

圖9 隧道等效抗彎剛度(EI)eq和等效剪切剛度(κGA)eq對隧道最大豎向變形wmax的影響

5 結(jié)論與討論

1)本文將盾構(gòu)隧道簡化為置于雙參數(shù)Pasternak地基上的Timoshenko梁(T-P模型)，T-P模型可以考慮盾構(gòu)隧道的剪切變形效應(yīng)以及地基變形的連續(xù)性，能夠得到堆載引起的隧道縱向變形，以及隧道縱向彎矩、剪力、接頭張開量和管片錯臺量的分布。

2)對比實(shí)際工程監(jiān)測數(shù)據(jù)與理論模型計算結(jié)果，在實(shí)測數(shù)據(jù)的最大值附近，本文理論模型計算結(jié)果相比其他模型計算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)更為吻合，從而驗證了本文模型的可靠性。

3)在隧道縱向變形計算上，本文提出的T-P模型相比常用的Euler-Bernoulli梁模型計算結(jié)果較大，而稍小于T-W模型計算結(jié)果，更接近實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)；在內(nèi)力計算上，Euler-Bernoulli梁模型計算結(jié)果較大，常用的EB-W模型彎矩、剪力最大值均為本文T-P模型的1.3倍。

4)參數(shù)分析發(fā)現(xiàn)，盾構(gòu)隧道的變形受地面堆載相對位置、土層彈性模量以及隧道等效抗彎剛度影響較大，隨著堆載與隧道之間水平距離、土層彈性模量以及隧道等效抗彎剛度的增大，隧道豎向變形逐漸減??； 而盾構(gòu)隧道的變形對隧道等效剪切剛度的變化不敏感，當(dāng)?shù)刃Ъ羟袆偠瘸^2×106kN/m時，隧道最大豎向變形隨等效剪切剛度的增加變化很小。

由于技術(shù)所限，目前還缺少隧道縱向受力的相關(guān)監(jiān)測數(shù)據(jù)，因此，本文只是將基于理論模型的隧道受力結(jié)果與其他模型隧道受力結(jié)果進(jìn)行橫向?qū)Ρ确治?，而缺少與實(shí)測數(shù)據(jù)的對比，這部分內(nèi)容還有待做進(jìn)一步的研究。