2UPR-RPU過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度性能評(píng)價(jià)

楊 超 葉 偉 張克濤 黃風(fēng)立 張偉中

(1.嘉興學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院， 嘉興 314001； 2.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院， 杭州 310018；3.倫敦瑪麗女王大學(xué)工程與材料學(xué)院， 倫敦 E1 4NS)

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，具有高剛度性能和優(yōu)異的動(dòng)力學(xué)性能[1-2]。過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的重要一類，過約束的存在可以提高機(jī)構(gòu)剛度和消除奇異，過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)在重載或高精度要求場合下有著重要的應(yīng)用，剛度性能是過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重要性能指標(biāo)之一。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度建模的理論模型包括解析模型和半解析模型，對(duì)預(yù)設(shè)計(jì)階段并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度性能的快速評(píng)估具有重要的作用。許多學(xué)者為此建立了多種剛度建模方法，包括虛鉸方法、矩陣位移法、應(yīng)變能方法和螺旋理論方法等。

虛鉸方法將桿件當(dāng)作兩端由六自由度彈簧支撐的剛性桿件。ZHANG等[3]采用虛鉸方法建立了Exechon過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。WANG等[4]基于虛鉸方法建立了Tricept并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，并考慮了鉸鏈的柔度。虛鉸方法需要處理冗余的彈簧約束，增加了剛度模型的復(fù)雜性[5-6]。矩陣位移法[7-8]將連桿作為一個(gè)梁單元處理，通過變形協(xié)調(diào)方程裝配得到總體剛度矩陣。DEBLAISE等[9]采用矩陣位移法建立了Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，KLIMCHIK等[10]介紹了矩陣位移法的基本原理，并建立了NaVaRo平面機(jī)構(gòu)的剛度模型。矩陣位移法在有限元法的耗時(shí)性與解析方法的高效性之間取得了較好的權(quán)衡，計(jì)算精度較高。然而，矩陣位移法涉及矩陣的高維操作和大量的變形協(xié)調(diào)方程。螺旋理論方法基于螺旋理論得到分支的約束螺旋系，然后根據(jù)虛功原理得到機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣，其優(yōu)點(diǎn)是降低了分支約束螺旋系的維度，從而大大減少了變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)目。文獻(xiàn)[11-14]基于螺旋理論方法提出了分支約束螺旋系剛度矩陣的概念，建立了3-PRRR等并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，但建立分支剛度矩陣用了兩次映射，增加了過程的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[15-17]基于螺旋理論方法建立了2PRU-UPR等并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，將分支約束螺旋系分解為梁的基本變形形式，思路簡單，但卻增加了分支剛度矩陣的維度，且模型中均未考慮剪切變形的影響和鉸鏈的柔度。汪滿新等[18]考慮重力的影響建立了3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，得到了各構(gòu)件剛度對(duì)末端剛度的影響。徐東濤等[19]考慮重力的影響建立了改進(jìn)型Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。利用應(yīng)變能方法分析機(jī)構(gòu)在外載荷作用下存儲(chǔ)的應(yīng)變能，結(jié)合卡氏定理建立機(jī)構(gòu)的剛度模型，其優(yōu)點(diǎn)是物理意義明確。文獻(xiàn)[20-22]基于應(yīng)變能方法建立了Delta和3-PSP等并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，但作者只考慮了受力較簡單的非過約束機(jī)構(gòu)，沒有將應(yīng)變能方法推廣到過約束機(jī)構(gòu)，YANG等[23]結(jié)合螺旋理論將應(yīng)變能方法推廣到過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了2PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，然而卻忽略了鉸鏈的柔度。半解析方法[24]是通過有限元方法或廠家得到關(guān)節(jié)的剛度矩陣，由解析法得到連桿的剛度矩陣，然后通過變形協(xié)調(diào)方程裝配得到機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣，兼顧了解析法的高效率和有限元法的高精度。LIAN等[25]基于半解析法建立了T5并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。LIU等[26]考慮連桿和鉸鏈的柔度建立了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型。CAO等[27]考慮重力的影響建立了5-PRUR和4-RRRRR過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，完善了計(jì)及重力影響的并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜彈性剛度模型。但以上研究成果中并沒有得到各個(gè)彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響程度。

本文基于應(yīng)變能和螺旋理論建立2UPR-RPU過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型，同時(shí)考慮連桿和鉸鏈的柔度?；趹?yīng)變能的方法得到各個(gè)彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響程度，以期為評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)剛度性能影響最大的彈性元件提供思路，為提高機(jī)構(gòu)的剛度性能提供新的方法。

1 機(jī)構(gòu)描述

2UPR-RPU過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，動(dòng)平臺(tái)A1A2A3通過兩個(gè)UPR分支和一個(gè)RPU分支與基座B1B2B3相連。參考坐標(biāo)系建立如下：固定坐標(biāo)系OXYZ的原點(diǎn)為B1B2的中點(diǎn)，X軸沿B1B2方向，Y軸沿OB3方向，Z軸由右手法則確定。動(dòng)坐標(biāo)系oxyz的原點(diǎn)為A1A2的中點(diǎn)，x軸沿oA2方向，y軸沿oA3方向，z軸由右手法則確定。分支坐標(biāo)系A(chǔ)ixiyizi的原點(diǎn)為點(diǎn)Ai(i=1, 2, 3)，yi軸(i=1, 2)與y軸平行，x3軸與X軸平行，zi軸(i=1, 2, 3)沿著AiBi方向，xi軸(i=1, 2)和y3軸由右手法則確定。R鉸坐標(biāo)系oi1ui1vi1wi1與分支坐標(biāo)系A(chǔ)ixiyizi相同(i=1, 2)，U鉸坐標(biāo)系o31u31v31w31與分支坐標(biāo)系A(chǔ)3x3y3z3相同。U鉸坐標(biāo)系oi2ui2vi2wi2的原點(diǎn)為點(diǎn)Bi(i=1, 2)，ui2和vi2軸分別沿U鉸的兩根軸線方向，RPU分支R鉸坐標(biāo)系o32u32v32w32的原點(diǎn)為點(diǎn)B3，u32軸沿R鉸軸線方向。對(duì)于兩條UPR分支，R鉸軸線與y軸平行，U鉸的第1個(gè)軸線與B1B2共線，第2個(gè)軸線與另一端的R鉸軸線平行。對(duì)于RPU分支，R鉸軸線平行于X軸，U鉸的第1條軸線與另一端的R鉸軸線平行，第2條軸線與y軸平行。3個(gè)P副作為輸入，并分別與R鉸軸線垂直。這種特殊的安排使得機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度[28]：沿Oo的移動(dòng)、繞X軸的旋轉(zhuǎn)β和繞y軸的旋轉(zhuǎn)γ。詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可參照文獻(xiàn)[28]。

圖1 2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2 靜彈性剛度模型

本文剛度模型作如下假設(shè)：忽略所有元件的質(zhì)量和摩擦，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)、基座和動(dòng)平臺(tái)假設(shè)為剛性。考慮關(guān)節(jié)的柔度以及桿件的軸向拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲的空間復(fù)合彈性變形。

2.1 UPR分支剛度矩陣

圖2 UPR分支受力分析圖

fi1、fi2和mi1的單位矢量定義為

(1)

式中l(wèi)i、X、yi——BiAi、X軸、yi軸的單位矢量

UPR分支任意截面處內(nèi)力可表達(dá)為

(2)

式中Li——分支BiAi長度

桿件柔度矩陣可以由應(yīng)變能和卡氏定理得到，桿件的柔度矩陣計(jì)算詳見文獻(xiàn)[29]，在此不再贅述。

桿件柔度矩陣為

(3)

式中Ayi、Ai——截面沿yi軸的有效剪切面積和截面面積

Ei、Gi——桿件材料彈性模量和剪切模量

Ixi、Ii——截面對(duì)xi軸的慣性矩和截面極慣性矩

桿件應(yīng)變能可以表達(dá)為

(4)

其中

Wi=[fi1fi2mi1]T

將Wi映射至R鉸坐標(biāo)系{oi1}的原點(diǎn)并在鉸空間投影得到

(5)

其中oi1ui1=[1 0 0]oi1wi1=[0 0 1]

將式(5)進(jìn)一步表達(dá)成矩陣形式為

oi1Wi=Di1Wi(i=1,2)

(6)

其中

(7)

oi1Wi=[oi1fui1oi1fvi1oi1fwi1oi1mui1oi1mvi1oi1mwi1]T

式中oi1Wi——坐標(biāo)系{oi1}下6×1的矢量

Di1——從Wi到oi1Wi的 6×3映射矩陣

UPR分支R鉸在自身鉸空間的柔度矩陣可以由有限元方法[24-26]得到

(8)

式中，前3項(xiàng)單位為m/N，后3項(xiàng)單位為rad/(N·m)。

因此，UPR分支R鉸所存儲(chǔ)的應(yīng)變能可表達(dá)為

(9)

(10)

同樣的方法，將Wi映射至U鉸坐標(biāo)系{oi2}的原點(diǎn)并在鉸空間投影得到

(11)

其中

oi2ui2=[1 0 0]oi2wi2=[0 0 1]

式中oi2Roi1——坐標(biāo)系{oi1}到坐標(biāo)系{oi2}的變換矩陣

式(11)可以進(jìn)一步表達(dá)成矩陣形式為

oi2Wi=Di2Wi(i=1,2)

(12)

其中

(13)

oi2Wi=[oi2fui2oi2fvi2oi2fwi2oi2mui2oi2mvi2oi2mwi2]T

式中oi2Wi——坐標(biāo)系{oi2}下6×1的矢量

Di2——從Wi到oi2Wi的6×3映射矩陣

UPR分支U鉸所存儲(chǔ)的應(yīng)變能和U鉸與約束螺旋系對(duì)應(yīng)的柔度矩陣為

(14)

其中

(15)

其中，式(15)等號(hào)右側(cè)前3項(xiàng)單位為m/N，后3項(xiàng)單位為rad/(N·m)。

UPR分支的應(yīng)變能可以通過對(duì)桿件和鉸鏈存儲(chǔ)的應(yīng)變能求和得到

(16)

UPR分支的緊湊剛度矩陣可以通過對(duì)式(16)中的柔度矩陣求逆得到

(17)

UPR分支與約束螺旋系對(duì)應(yīng)的彈性變形可以由卡氏第二定理得

(18)

2.2 RPU分支緊湊剛度矩陣

圖3 RPU分支受力分析圖

f31、f32和m31的單位矢量定義為

(19)

式中l(wèi)3——A3B3的單位矢量

x3、y3——沿x3、y3軸的單位矢量

同樣的方法可以得到RPU分支桿件的柔度矩陣為

(20)

根據(jù)力的平移定理，將W3平移至U鉸的中心并在鉸空間坐標(biāo)系{o31}下投影可以得到

o31W3=D31W3

(21)

其中

(22)

式中D31——從W3到o31W3的6×3映射矩陣

同理，將W3平移至R鉸的中心并在鉸空間坐標(biāo)系{o32}下投影可以得到

o32W3=D32W3

(23)

其中

(24)

式中D32——從W3到o32W3的6×3映射矩陣

RPU分支的U鉸和R鉸在自身鉸空間的柔度矩陣[24-26]分別為

(25)

與計(jì)算UPR分支應(yīng)變能類似，RPU分支所存儲(chǔ)的應(yīng)變能可以表達(dá)為

(26)

(27)

式中C3——RPU分支與約束螺旋系對(duì)應(yīng)的分支緊湊柔度矩陣

對(duì)式(27)求逆即可得RPU分支緊湊剛度矩陣

(28)

由卡氏第二定理可以得到RPU分支與約束螺旋系對(duì)應(yīng)的彈性變形

(29)

2.3 整體剛度矩陣

參考固定坐標(biāo)系，2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的平衡方程可以表達(dá)為

P=(J1J2J3)W=JW

(30)

其中

P=[F;M]

W=[W1W2W3]

式中P——作用在動(dòng)平臺(tái)的外部載荷

Ji——分支i的6×3約束螺旋系矩陣

J——6×9矩陣W——9×1矢量

F——作用在動(dòng)平臺(tái)的外力

M——作用在動(dòng)平臺(tái)的外力偶

動(dòng)平臺(tái)考慮為剛性，其虛功方程可以表達(dá)為

(31)

式中Δ——?jiǎng)悠脚_(tái)與外部載荷P對(duì)應(yīng)的彈性變形

聯(lián)立方程(30)、(31)得

(32)

將方程(18)、(29)、(32)代入方程(30)得

(33)

(34)

式中K——機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣

對(duì)方程(34)求逆可以得到機(jī)構(gòu)的整體柔度矩陣

(35)

根據(jù)材料力學(xué)可得各分支約束螺旋系的幅值為

(36)

機(jī)構(gòu)的總應(yīng)變能可以表達(dá)為

(37)

3 理論模型與有限元模型對(duì)比

為了驗(yàn)證本文理論模型的正確性，采用ANSYS Workbench商業(yè)軟件建立機(jī)構(gòu)2個(gè)位型的有限元模型和理論模型作對(duì)比，位型1：z=-600 mm,β=0°,γ=0°，位型2：z=-600 mm,β=5°,γ=-3°，2個(gè)位型統(tǒng)一在o點(diǎn)施加外部載荷P=(30 N,-50 N,-40 N,10 N·m,-20 N·m,50 N·m)。2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)物理參數(shù)為：lOB1=lOB2=lOB3=390 mm,loA1=loA2=loA3=260 mm,E1=E2=E3=210 GPa,G1=G2=G3=80 GPa,d1=d2=d3=100 mm，d1、d2和d3分別表示3個(gè)桿件的橫截面直徑。2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在兩個(gè)位型下的變形云圖如圖4所示。表1給出了動(dòng)平臺(tái)o點(diǎn)的理論模型和有限元模型的變形量。由表1可知，理論模型與有限元模型的誤差不大于7.8%，驗(yàn)證了理論模型的正確性，可用于物理樣機(jī)在預(yù)設(shè)計(jì)階段的剛度性能評(píng)估。

圖4 2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)變形量云圖

表1 理論模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 應(yīng)變能因子指標(biāo)

為了評(píng)價(jià)每一個(gè)彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)整體剛度性能的影響程度，應(yīng)變能因子指標(biāo)定義為

(38)

式中μij——應(yīng)變能因子指標(biāo)，其表示每一個(gè)彈性元件存儲(chǔ)的應(yīng)變能與機(jī)構(gòu)總應(yīng)變能的比率，范圍為0～1，μij越大表明此彈性元件存儲(chǔ)的應(yīng)變能越多

Uij——第i個(gè)分支的第j個(gè)彈性元件所存儲(chǔ)的應(yīng)變能

為了評(píng)價(jià)應(yīng)變能因子指標(biāo)在整個(gè)預(yù)規(guī)劃工作空間的分布，全局應(yīng)變能因子指標(biāo)定義為

(39)

式中V——預(yù)規(guī)劃工作空間體積

N——離散點(diǎn)數(shù)量

工程應(yīng)用中，可以計(jì)算應(yīng)變能因子指標(biāo)在預(yù)規(guī)劃工作空間的分布，有針對(duì)地提高應(yīng)變能因子指標(biāo)較大的元件的剛度性能，從而更有效地改善機(jī)構(gòu)的剛度性能。

機(jī)構(gòu)的規(guī)則工作空間受驅(qū)動(dòng)的沖程、被動(dòng)鉸的角度限制以及桿件之間的干涉等因素的影響，2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的物理約束如下

(40)

式中αi1、αi2——R鉸和U鉸的旋轉(zhuǎn)角

圖5為空間搜索法得到的2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)和規(guī)則工作空間。由圖5可以看出，可達(dá)工作空間關(guān)于γ=0對(duì)稱，這與2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分布一致，然而可達(dá)工作空間不規(guī)則，不利于軌跡規(guī)劃和算法控制，并且機(jī)構(gòu)在可達(dá)工作空間的邊緣子空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能和剛度性能也較差。不失一般性，本文采用空間內(nèi)每一層的最大內(nèi)切圓組成的圓臺(tái)作為預(yù)規(guī)劃的規(guī)則工作空間，為了保證一定的操作空間，最大內(nèi)切圓的最小半徑設(shè)置為10°。

圖5 2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間

圖6 P=P1時(shí)機(jī)構(gòu)的總應(yīng)變能的分布

圖7 P=P1時(shí)μ在預(yù)規(guī)劃工作空間的分布

圖8 P=P1時(shí)μ在平面z=-600 mm的分布

首先，施加外部載荷P=P1=(0, 0, 1 N, 0, 0, 0)，機(jī)構(gòu)總應(yīng)變能和局部應(yīng)變能因子指標(biāo)在規(guī)則工作空間的分布如圖6、7所示。由于對(duì)稱性，此處僅考慮了第1個(gè)UPR分支的應(yīng)變能因子指標(biāo)的分布。μiR、μiB和μiU分別表示第i分支的R鉸、桿件和U鉸的應(yīng)變能因子指標(biāo)，由圖6、7可以看出，總應(yīng)變能U和局部應(yīng)變能因子指標(biāo)μ均關(guān)于γ=0對(duì)稱，這與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分布吻合，并且當(dāng)給機(jī)構(gòu)施加一個(gè)豎向力時(shí)，應(yīng)變能最小即剛度性能最優(yōu)的位置在初始位置。值得注意的是，UPR分支桿件的μij最大值為0.45，RPU分支桿件的μ最大值為0.5；UPR分支和RPU分支R鉸的μij最大值分別為0.08和0.02；UPR分支和RPU分支U鉸的μij最大值分別為0.25和0.07。相同的R鉸在不同的分支中其μij分布不盡相同。由圖6、7可以看出，在豎向力的作用下，2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)各元件所存儲(chǔ)的應(yīng)變能從大到小依次為桿件、UPR分支中的U鉸和R鉸，即合理地提高桿件的剛度性能，如增大桿件的橫截面積或選擇剛度性能更好的材料，可以更有效地提高機(jī)構(gòu)的剛度性能；UPR分支U鉸的μ最大值達(dá)到0.25，說明此處U鉸設(shè)計(jì)不合理，合理地改善U鉸的設(shè)計(jì)提高其剛度性能也是改善機(jī)構(gòu)剛度性能的一個(gè)有效途徑。圖8給出了μij在平面z=-600 mm的分布，由圖8可以看出，μij與機(jī)構(gòu)的姿態(tài)密切相關(guān)。以上分析可知，機(jī)構(gòu)的剛度性能不僅與鉸鏈本身的剛度性能有關(guān)，還與鉸鏈位置以及機(jī)構(gòu)姿態(tài)有關(guān)。

為了研究外部載荷對(duì)全局應(yīng)變能因子指標(biāo)的影響，表 2給出了在不同外部載荷作用下應(yīng)變能因子指標(biāo)在規(guī)則工作空間中的平均值。如果P=P1，則應(yīng)變能主要存儲(chǔ)在UPR分支的U鉸鏈和桿件中，其占總應(yīng)變能的80%。RPU分支桿件的全局應(yīng)變能因子指標(biāo)僅為0.08，表明當(dāng)沿著Z軸的力作用在移動(dòng)平臺(tái)上時(shí)，第3個(gè)桿存儲(chǔ)較小的應(yīng)變能。也就是說第3個(gè)桿件對(duì)機(jī)構(gòu)的剛度性能影響較小。當(dāng)P=P2=(0.8 N，0.3 N，0.52 N，0，0，0)時(shí)，應(yīng)變能主要儲(chǔ)存在第3桿中，占總應(yīng)變能的82.5%。在這種情況下，增加第3桿的截面面積可以更有效地提高機(jī)構(gòu)的剛度性能。與其他彈性元件相比，UPR分支中R鉸和U鉸中存儲(chǔ)的應(yīng)變能可以忽略。第3分支鉸鏈儲(chǔ)存的應(yīng)變能僅占1.51%。并且由于外部載荷的不對(duì)稱，兩個(gè)UPR分支中存儲(chǔ)的應(yīng)變能也不再相同。圖9給出了指定工作空間中3根桿件的全局應(yīng)變能指標(biāo)的分布圖。當(dāng)P=P3=(0.52 N，0.3 N，0.8 N，0.5 N·m，0.7 N·m，0.51 N·m)時(shí)，第3桿儲(chǔ)存的應(yīng)變能占55.0%，第1桿和第2桿儲(chǔ)存的應(yīng)變能占41.0%。因?yàn)榈?桿件此時(shí)具有較大的應(yīng)變能量，給其設(shè)計(jì)較大的橫截面面積是合理的。由于篇幅的限制，圖10僅給出了3根桿的應(yīng)變能因子指標(biāo)分布。以上分析結(jié)果可知，關(guān)節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響也與外部載荷的方向有關(guān)。

表2 彈性元件在不同載荷作用下的全局應(yīng)變能因子指標(biāo)

圖9 P=P2時(shí)3個(gè)桿件的應(yīng)變能指標(biāo)分布圖

圖10 P=P3時(shí)3個(gè)桿件的應(yīng)變能指標(biāo)分布圖

5 結(jié)論

(1)以2UPR-RPU過約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，基于螺旋理論得出分支施加給動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力和約束反力，基于材料力學(xué)和空間力系平移定理得到桿件和關(guān)節(jié)存儲(chǔ)的應(yīng)變能，利用應(yīng)變能方法和卡氏第二定理得到形式緊湊的分支剛度矩陣，結(jié)合虛功原理和動(dòng)平臺(tái)平衡方程得到整體剛度矩陣的解析表達(dá)式，并同時(shí)得到驅(qū)動(dòng)力和約束反力的解析表達(dá)式。與有限元模型計(jì)算結(jié)果的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，誤差不超過7.8%，驗(yàn)證了本文理論模型的正確性。

(2)為了研究2UPR-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)各彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的貢獻(xiàn)，定義了應(yīng)變能因子指標(biāo)，給出了其在規(guī)則工作空間的四維切片分布圖像，結(jié)果表明，彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的貢獻(xiàn)不僅與彈性元件本身有關(guān)，而且與彈性元件的排列、機(jī)構(gòu)的姿態(tài)以及外部載荷的方向有關(guān)；在機(jī)構(gòu)的剛度性能評(píng)估中，關(guān)節(jié)的柔度不可忽略。應(yīng)變能因子指標(biāo)從應(yīng)變能的角度定量評(píng)價(jià)了各彈性元件對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響程度，具有明確的物理意義。