具有解析式位置正解的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

沈惠平 曾博雄 尤晶晶 李 菊 許正驍 楊廷力

(1.常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016; 2.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 南京 210037)

0 引言

三自由度的三平移(3T)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)元件少、結(jié)構(gòu)緊湊、設(shè)計(jì)制造及控制成本較低，在工程應(yīng)用中得到了廣泛應(yīng)用。CLAVEL[1]于1988年發(fā)明Delta 3-DOF平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，之后一些學(xué)者對Delta的衍生操作手進(jìn)行了研究[2-4]；TSAI等[5-6]提出一種移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)、支鏈含4R平行四邊形機(jī)構(gòu)的三自由度移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[7-8]對3-RRC型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間分析；KONG等[9]提出了一種三自由度3-CRR機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能，且沒有明顯的奇異位置；LI等[10-11]提出了3-UPU型三平移機(jī)構(gòu)，并對該機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行了分析；于靖軍等[12]基于螺旋理論對三維平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行了綜合分析；陸晶等[13]提出了一種3-RRRP(4R)三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間的分析；楊廷力等[14-16]基于單開鏈單元理論對3T0R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合，綜合出多種新機(jī)型，并對它們進(jìn)行了分類；ZHAO[17]考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)的各向異性，對一種三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度綜合及其運(yùn)動(dòng)學(xué)研究；ZENG等[18-20]設(shè)計(jì)了一種三平移Tri-pyramid并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對其位置方程的正反解、雅可比矩陣、各向同性等運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行了分析；PRAUSE等[21]對多種三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)分別進(jìn)行了維數(shù)綜合、邊界狀況、工作空間等特征的比較，并選出了性能較好的機(jī)構(gòu)；MAHMOOD等[22]提出了一種三自由度3-[P2(US)]機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和靈巧度分析。

上述三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般存在兩大問題：① 機(jī)構(gòu)耦合度不為零，即κ≥1時(shí)，一般得不到解析式位置正解，而只能得到數(shù)值解，這對誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動(dòng)力學(xué)研究帶來較大的不便。② 不具有輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦特性[23-24]，這使運(yùn)動(dòng)控制及軌跡規(guī)劃等較為復(fù)雜。這兩者給應(yīng)用帶來了困難。

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有解析式位置正解時(shí)，后續(xù)的研究內(nèi)容易于進(jìn)行：用輸入量表示全局奇異位形方程，進(jìn)行操作度的性能評估及結(jié)構(gòu)參數(shù)的全域優(yōu)化；建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，并進(jìn)行影響因素的敏感度分析；推導(dǎo)靈活工作空間的解析表達(dá)式；動(dòng)力學(xué)方程的正解求解精度、效率與穩(wěn)定性評估。具有解析式位置正解的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)與分析一直是機(jī)構(gòu)學(xué)工作者不斷研究的方向之一，但目前設(shè)計(jì)的具有解析式位置正解的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)漕愋洼^少。

本文根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristics，POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論與方法[15-16]，設(shè)計(jì)一種僅由移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副組成且具有解析位置正解、部分運(yùn)動(dòng)解耦的新型三平移(3T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對其位置正逆解、機(jī)構(gòu)奇異性位形、工作空間以及速度與加速度等進(jìn)行分析。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)

本文提出的三平移機(jī)構(gòu)，由動(dòng)平臺1、靜平臺0以及2條混合支鏈(HSOC)組成,如圖1所示，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如下：

圖1 3T并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

(1)右側(cè)混合支鏈Ⅰ由一個(gè)平面兩滑塊四轉(zhuǎn)動(dòng)副6桿機(jī)構(gòu)(簡稱2P4R平面機(jī)構(gòu))回路的中間構(gòu)件11上，串聯(lián)兩個(gè)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副R3與R4，且R4副與動(dòng)平臺1相連。顯然，混合支鏈Ⅰ上2P4R平面機(jī)構(gòu)的中間桿11的輸出運(yùn)動(dòng)為兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)。混合支鏈Ⅰ的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等效地記為：

(2)左側(cè)混合支鏈Ⅱ由移動(dòng)副P3與2個(gè)4R平行四邊形機(jī)構(gòu)串聯(lián)而成，從P3副到動(dòng)平臺1相連的平行四邊形RaiRbiRciRdi(i=1,2)，分別記為①、②；其中，P3副與平行四邊形①在同一平面內(nèi)剛性連接后，與平行四邊形②在其垂直平面內(nèi)連接?；旌现ф湤蛏掀叫兴倪呅微俚妮敵鰲US點(diǎn)的輸出運(yùn)動(dòng)為兩平移(2T)，而平行四邊形②的輸出桿T點(diǎn)的輸出運(yùn)動(dòng)為三平移(3T)?；旌现ф湤虻耐?fù)浣Y(jié)構(gòu)等效地記為：HSOC2{-P3-P(4R)-P(4R)-}。

(3)移動(dòng)副P1、P2、P3與靜平臺0相連，P1與P2副為共軸線布置，且P1‖P3；機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，2P4R平面機(jī)構(gòu)與平行四邊形①的運(yùn)動(dòng)平面始終平行。

當(dāng)靜平臺上的3個(gè)移動(dòng)副以相同的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)大范圍的操作移動(dòng)；而當(dāng)其取不同的速度時(shí)，可實(shí)現(xiàn)小范圍內(nèi)的精確作業(yè)。因此，該機(jī)構(gòu)適合于長度方向大尺寸工件的機(jī)加工、噴涂、鉚接等操作工藝。

1.2 機(jī)構(gòu)拓?fù)涮匦苑治?/h3>

1.2.1機(jī)構(gòu)POC計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)POC方程[15]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集

m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)量

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

n——支鏈條數(shù)

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的POC集

取動(dòng)平臺1上的任一點(diǎn)為基點(diǎn)O′，則由式(1)可得

由式(2)可確定動(dòng)平臺POC集為

由此表明：動(dòng)平臺1上任一點(diǎn)的POC集為三平移零轉(zhuǎn)動(dòng)；即機(jī)構(gòu)中的混合支鏈Ⅱ本身已實(shí)現(xiàn)三平移的設(shè)計(jì)要求，是它約束了混合支鏈Ⅰ末端構(gòu)件的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輸出，從而使得動(dòng)平臺僅產(chǎn)生三平移輸出。

1.2.2機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全周DOF公式[15-16]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

v——獨(dú)立回路數(shù)

ξLj——第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——第j+1條支鏈末端構(gòu)件POC集

該機(jī)構(gòu)包含兩個(gè)獨(dú)立回路，具體為：

顯然，其獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1=3。

②(R3‖R4和混合支鏈Ⅱ)與上述2P4R平面機(jī)構(gòu)組成第2個(gè)獨(dú)立回路，即

LOOP2{-R3‖R4-P(4R)-P(4R)-P3-}

由式(4)可得

由式(3)可得機(jī)構(gòu)的自由度F為

因此，該機(jī)構(gòu)自由度為3，當(dāng)取靜平臺0上的移動(dòng)副P1、P2、P3為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺1可實(shí)現(xiàn)3個(gè)平移的運(yùn)動(dòng)輸出。

1.2.3機(jī)構(gòu)耦合度κ計(jì)算

由基于序單開鏈(SOC)單元的機(jī)構(gòu)組成原理[15-16]知，一個(gè)機(jī)構(gòu)可以分解為若干個(gè)最小子運(yùn)動(dòng)鏈(Sub- kinematic chain, SKC)，每個(gè)SKC僅包含一個(gè)基本運(yùn)動(dòng)鏈BKC，所謂BKC是指DOF為零且其任意一個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈DOF大于零的最小運(yùn)動(dòng)鏈；而一個(gè)SKC又可分解為若干個(gè)單開鏈,第j個(gè)單開鏈SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)量

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

Ij——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)量

對一個(gè)SKC而言,需滿足

因此,其耦合度

(6)

κ揭示了機(jī)構(gòu)回路運(yùn)動(dòng)變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度；κ越大,機(jī)構(gòu)的耦合性越強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析復(fù)雜度越高。

1.2.2節(jié)已計(jì)算出上述兩個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)，分別為ξL1=3，ξL2=5；因此，兩個(gè)回路的約束度由式(5)分別計(jì)算得

于是，由式(6)得

這樣，該機(jī)構(gòu)只包含一個(gè)SKC,且該SKC的κ=1；一般情況下，求解這類機(jī)構(gòu)位置正解時(shí)，僅需在約束度為正值(Δj>0)的回路上設(shè)定一個(gè)虛擬變量；然后，在約束度為負(fù)值(Δj<0)的回路上建立一個(gè)含這個(gè)虛擬變量的位置約束方程，再通過一維搜索法可求出該虛擬變量的真實(shí)值，從而求得該機(jī)構(gòu)的位置正解。

但由于此機(jī)構(gòu)特殊的三平移方位特征約束，可直接通過約束度為負(fù)值(Δj<0)的回路作用于約束度為正值(Δj>0)的回路的幾何約束(即：桿11的運(yùn)動(dòng)始終平行于靜平臺)，求出該虛擬變量，從而直接求得機(jī)構(gòu)的解析式位置正解。

2 機(jī)構(gòu)位置分析

2.1 基于SKC-SOC的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理

由式(5)可知，每個(gè)SKC可分解為一系列約束度為正值、零、負(fù)值的回路，因此，機(jī)構(gòu)位置正解的求解，可轉(zhuǎn)換為該SKC內(nèi)回路的位置求解，而3種回路的約束特性及其建模方法分別為：

2.2 坐標(biāo)系的建立及參數(shù)標(biāo)注

該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模如圖2所示,設(shè)靜平臺0為長、寬分別為2a、2b的矩形，以靜平臺0的幾何中心為原點(diǎn)，建立笛卡爾靜坐標(biāo)系OXYZ，X、Y軸分別垂直、平行于A1A2連線，Z軸由右手法則確定；動(dòng)坐標(biāo)系O′X′Y′Z′原點(diǎn)位于動(dòng)平臺1的中心，X′、Y′軸分別重合、垂直于D2F3連線，Z′軸由右手法則確定。

設(shè)3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿2的長度為l1，混合支鏈Ⅰ上連桿9、10的長度為l2，中間桿11、12的長度分別為l3、l4。

混合支鏈Ⅱ上平行四邊形短桿3、6的長度為l5，長桿4、7的長度為l6；平行四邊形之間的連接桿5的長度為l7，連接桿8的長度為l8；動(dòng)平臺1上D2F3連線的長度為2d。

圖2 3T機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

設(shè)B1C1與Y軸正向的夾角γ為虛擬變量；D1D2、D3E3與X軸正向的夾角分別為α、β。

2.3 位置正解分析

該機(jī)構(gòu)的位置正解求解歸結(jié)為：已知靜平臺0上3個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,3)移動(dòng)位置yA1、yA2、yA3，求動(dòng)平臺1上O′點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)。

(1)約束度為正的第1回路(LOOP1)的求解

LOOP1：A1-B1-C1-C2-B2-A2

在靜坐標(biāo)系OXYZ中，易知點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,3)的坐標(biāo)分別為A1=(-b,yA1,0)、A2=(-b,yA2,0)、A3=(b,yA3,0)；B1=(-b,yA1,l1)、B2=(-b,yA2,l1)、B3=(b,yA3,l1)。

由1.2.1節(jié)可知，由于動(dòng)平臺1三平移的特殊方位約束，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中,2P4R平面機(jī)構(gòu)的中間構(gòu)件11始終平行于靜平臺0,即C1C2‖A1A2,則有

zC1=zC2

(7)

因此，點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)分別為

C1=(-b,yA1+l2cosγ,l1+l2sinγ)
C2=(-b,yA1+l2cosγ-l3,l1+l2sinγ)

由幾何約束B2C2=l2，并整理、簡化有

ABcosγ+B2=0

當(dāng)B=0時(shí)，無法求出虛擬變量γ的值，此時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中應(yīng)當(dāng)避免這種情況發(fā)生。

當(dāng)B≠0時(shí)，可求出虛擬變量γ的值，此時(shí)有

(8)

其中A=2l2B=yA1-l3-yA2

這樣，約束度為負(fù)的第2回路作用于約束度為正的第1回路上的特殊幾何約束方程式(7)，是直接求出虛擬變量γ解析解的關(guān)鍵，這是本機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有的求出位置解析解的一個(gè)特點(diǎn)。γ求出后，機(jī)構(gòu)第2回路上其余運(yùn)動(dòng)副的位置可容易求解。

(2)約束度為負(fù)的第2回路(LOOP2)的求解

LOOP2：D1-D2-F3-E3-D3-C3-B3-A3

由點(diǎn)C1、C2求出點(diǎn)D1、D2的坐標(biāo)分別為

D1=(-b,yA1+l2cosγ-l3/2,l1+l2sinγ)D2=(-b+l4cosα，yA1+l2cosγ-l3/2，l1+l2sinγ+l4sinα)

同時(shí)，可計(jì)算得O′點(diǎn)的坐標(biāo)為

O′=(x,y,z)=(-b+l4cosα+d,yA1+l2cosγ-l3/2,l1+l2sinγ+l4sinα)

(9)

進(jìn)一步,點(diǎn)F3、E3、D3、C3的坐標(biāo)用O′點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示為

(10)

由幾何約束B3C3=l6，并令

l4sinα-l6sinβ=t

(11)

則有

(H1+t)2-H2=0

(12)

由于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)2P4R平面機(jī)構(gòu)與平行四邊形①的運(yùn)動(dòng)平面始終平行，因此，恒有

yD1=yD3

(13)

l4cosα+2d-l6cosβ=2b

(14)

再從式(11)、(14)中消除β,則有

J1sinα+J2cosα+J3=0

令

(15)

其中

J1=2l4tJ2=4l4(b-d)

最后，將式(8)、(15)所求得γ、α代入式(9)，即可得動(dòng)平臺1上O′點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)。

由式(8)知

γ=f1(yA1,yA2)

由式(15)知

α=f2(yA1,yA2,yA3)

因此，由式(9)知

即該機(jī)構(gòu)具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性，這對動(dòng)平臺的軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制是有利的。

為理解方便，上述計(jì)算過程描述如圖3所示。

圖3 機(jī)構(gòu)位置正解流程圖

Fig.3 Flow chart of direct position solutions

由此可知，幾何約束方程式(7)，以及式(13)、(14)分別是求出本機(jī)構(gòu)第1、2回路位置方程解析式的關(guān)鍵。

2.4 位置反解分析

該機(jī)構(gòu)反解求解可歸結(jié)為：已知?jiǎng)悠脚_1上O′點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)，求靜平臺0上3個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,3)移動(dòng)位置yA1、yA2、yA3。

由式(9)可求出α為

(16)

再由式(14)可求出β為

(17)

進(jìn)一步，求出點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)分別為

C1=(-b,y+l3/2,z-l4sinα)
C2=(-b,y-l3/2,z-l4sinα)

另外，點(diǎn)C3的坐標(biāo)已由式(10)給出，因此，由桿長約束條件，建立位置約束方程

(18)

即可求解yAi(i=1,2,3)為

(19)

綜上可知，當(dāng)動(dòng)平臺1上O′點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)已知時(shí),靜平臺0上3個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,3)移動(dòng)位置yA1、yA2、yA3各有兩組解。故逆解數(shù)為2×2×2=8，因此，該機(jī)構(gòu)有8種構(gòu)型。

2.5 位置正反解實(shí)例驗(yàn)算

2.5.1正解算例

設(shè)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：a=350 mm，b=150 mm，d=50 mm，l1=30 mm，l2=280 mm，l3=140 mm，l4=180 mm，l5=90 mm，l6=230 mm。

設(shè)平行四邊形①與②之間連接桿5的長度l7=0，四邊形②與動(dòng)平臺1之間的連接桿8的長度l8=0。此時(shí)，機(jī)構(gòu)的CAD三維模型如圖4所示。

圖4 3T機(jī)構(gòu)三維模型

取靜平臺0上3個(gè)點(diǎn)Ai(i=1,2,3)的位置為yA1=154.677 4 mm，yA2=-193.670 7 mm，yA3=31.061 1 mm。

由Matlab計(jì)算該機(jī)構(gòu)位置正解，如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)的位置正解數(shù)值

2.5.2逆解算例

將表1中第3組正解數(shù)值代入式(19)，可得yAi(i=1,2,3)的8組逆解數(shù)值，如表2所示。

表2 機(jī)構(gòu)的位置逆解數(shù)值

可見，表2中第3組的逆解數(shù)據(jù)和正解求解時(shí)給定的3個(gè)輸入位置yAi(i=1,2,3)一致，從而驗(yàn)證了其正逆解的正確性。

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形分析

3.1 奇異位形分析方法

采用Jacobian法分析該機(jī)構(gòu)的奇異位形。對式(16)、(17)的兩邊同時(shí)對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，得

(20)

(21)

再將式(18)的兩邊對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，并將式(20)、(21)代入求導(dǎo)后的等式，得

(22)

其中

u11=yC1-yB1u22=yC2-yB2
u33=yC3-yB3f11=cotα(zC1-zB1)
f12=yC1-yB1f13=zC1-zB1
f21=cotα(zC2-zB2)f22=yC2-yB2
f23=zC2-zB2f31=cotβ(zC3-zB3)
f32=yC3-yB3f33=zC3-zB3

因此,該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺末端執(zhí)行器的輸出速度v1和Ai(i=1,2,3)輸入移動(dòng)速度v2的關(guān)系為

Jpv1=Jqv2

(23)

其中

依據(jù)Jp、Jq是否奇異，將機(jī)構(gòu)的奇異位形分為如下3類：①當(dāng)det(Jq)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異。②當(dāng)det(Jp)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異。③當(dāng)det(Jq)=det(Jp)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生綜合奇異。

3.2 奇異位形分析

3.2.1輸入奇異

當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅(qū)動(dòng)桿的兩根桿處于折疊在一起或完全展開狀態(tài)。這時(shí)，動(dòng)平臺自由度減少。此時(shí)det(Jq)=0，方程解的集合W為

W={W1∪W2∪W3}

(24)

其中

W1={yC1-yB1=0}(A1、B1、C1三點(diǎn)共線)
W2={yC2-yB2=0}(A2、B2、C2三點(diǎn)共線)
W3={yC3-yB3=0}(A3、B3、C3三點(diǎn)共線)

滿足W3的三維構(gòu)型如圖5所示。

圖5 輸入奇異位形示例

3.2.2輸出奇異

當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動(dòng)平臺的桿處于折疊在一起或完全展開的狀態(tài)，此時(shí)的動(dòng)平臺自由度數(shù)增多，即使鎖住輸入，動(dòng)平臺也可能存在自由度輸出。設(shè)

[fi1fi2fi3]=ei(i=1,2,3)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下兩種情況：

(1)存在兩個(gè)向量線性相關(guān)

若e1=ke2，即滿足(f11,f12,f13)=k(f21,f22,f23),其三維構(gòu)型為向量lB1C1、lB2C2在空間內(nèi)平行，如圖6所示。

圖6 輸出奇異位形示例

若e1=ke3，即滿足(f11,f12,f13)=k(f31,f32,f33),此時(shí)有cotα(zC1-zB1)=kcotβ(zC3-zB3),zC1-zB1=k(zC3-zB3)。則有cotα=cotβ。

因本機(jī)構(gòu)設(shè)定的桿長尺寸在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，恒有α≠β，即cotα≠cotβ；則e1≠ke3，同理可知e2≠ke3。

(2) 3個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)e2=k1e1+k2e3(k1k2≠0)，此時(shí)有

(f21,f22,f23)=k1(f11,f12,f13)+k2(f31,f32,f33)

通過Matlab計(jì)算表明，該種情況下k1、k2的解無法解出，因此，此種情況不存在。

3.2.3綜合奇異

此時(shí)det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時(shí)發(fā)生。在此位形下，機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器都存在著瞬時(shí)互不影響的非零輸入和輸出，對應(yīng)的位姿就是第3類奇異，處于該類奇異時(shí)，機(jī)構(gòu)將失去自由度，在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)階段應(yīng)予以避免。

上述奇異位置的求得，對樣機(jī)調(diào)試時(shí)的軌跡規(guī)劃與運(yùn)動(dòng)控制，具有參考價(jià)值。

4 機(jī)構(gòu)工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，是指在考慮運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角范圍、桿長不干涉的情況下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。本文采用極限邊界搜索法分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，即首先根據(jù)桿長來設(shè)定工作空間的搜索范圍；然后，基于位置反解，搜索所有滿足約束條件的點(diǎn)，由這些點(diǎn)組成的三維圖即為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。

確定空間三維搜索范圍為：-135 mm≤x≤85 mm，-300 mm≤y≤300 mm，180 mm≤z≤480 mm,通過Matlab編程，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維工作空間，根據(jù)第①類奇異判別式det(Jq)=0可得到輸入奇異軌跡，由第②類奇異判別式det(Jp)=0可得到輸出奇異軌跡，如圖7所示，其中，綠色部分為無奇異的工作空間，藍(lán)色部分為輸入奇異區(qū)域，紅色部分為輸出奇異區(qū)域，表明該工作空間內(nèi)部存在較大的無奇異工作空間。

圖7 工作空間及其奇異情況

本文所設(shè)定的桿長參數(shù)之一是：2a=2l2+l3，在這個(gè)設(shè)定條件下，若考慮3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的移動(dòng)范圍，即隨著3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的同速度移動(dòng)，則圖7所示的機(jī)構(gòu)工作空間相應(yīng)地可沿Y方向延伸，具有與2PPPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)所述的倒置型長方形柱的工作空間[25]，適合于長度方向較大尺寸工件的機(jī)加工、噴涂、鉚接等操作工藝。

圖8為工作空間在XOY、XOZ和YOZ平面上的投影圖。

圖9為工作空間內(nèi)Z方向上的4個(gè)X-Y截面圖，表明：z≥300 mm時(shí)，隨著z的增大，X軸方向上的移動(dòng)距離逐漸減少，Y軸方向上的移動(dòng)距離逐漸增加。

圖8 工作空間在XOY、XOZ和YOZ平面上的投影

圖9 工作空間內(nèi)不同的X-Y截面圖

5 速度與加速度分析

5.1 速度公式

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于非奇異位置時(shí)，矩陣Jp可逆，由式(23)可得

(25)

式(25)即為動(dòng)平臺O′點(diǎn)的輸出速度。

5.2 加速度公式

對式(23)的兩邊同時(shí)對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，得

(26)

其中

K=[K1K2K3]T

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于非奇異位置時(shí)，矩陣Jp可逆，由式(26)可得

(27)

式(27)即為動(dòng)平臺O′點(diǎn)的輸出加速度。

5.3 速度、加速度算例驗(yàn)算

取3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的輸入移動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別為：yA1=154.677 4-50sint，yA2=-193.670 7-50sint，yA3=31.061 1+50sint。則其輸入移動(dòng)速度、加速度的變化規(guī)律分別為

將式(25)、(27)導(dǎo)入Matlab軟件編程計(jì)算動(dòng)平臺O′點(diǎn)的速度與加速度，分別得到速度、加速度曲線；同時(shí)，將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，通過SolidWords導(dǎo)入ADAMS軟件中進(jìn)行仿真，設(shè)置仿真時(shí)間為10 s，仿真步長為0.1 s，得到101個(gè)時(shí)間點(diǎn)3個(gè)方向的速度與加速度后，將其導(dǎo)入Matlab軟件得速度與加速度如圖10、11所示。

圖10 動(dòng)平臺速度曲線

圖11 動(dòng)平臺加速度曲線

對比圖10和圖11可以發(fā)現(xiàn)：① 運(yùn)用Matlab對式(25)、(27)進(jìn)行編程得到的速度與加速度曲線與運(yùn)用ADAMS仿真得到的曲線完全吻合，從而驗(yàn)證了所推導(dǎo)的速度與加速度公式的正確性。② 在給定本文所設(shè)定的驅(qū)動(dòng)副的輸入運(yùn)動(dòng)規(guī)律情況下，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的速度、加速度曲線變化連續(xù)平穩(wěn)、無突變峰值，表明該機(jī)構(gòu)具有較好的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

6 結(jié)論

(1)設(shè)計(jì)的三平移(3T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)優(yōu)點(diǎn)：僅由移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副組成，制造簡單、安裝方便；具有解析式位置正解，這對誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動(dòng)力學(xué)研究帶來較大的方便；具有部分輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性，這對機(jī)構(gòu)的軌跡規(guī)劃及運(yùn)動(dòng)控制十分有利；具有大的操作工作空間，適合于長度方向較大尺寸工件的機(jī)加工、噴涂、鉚接等操作工藝。

(2)該機(jī)構(gòu)通過第1回路輸出構(gòu)件始終保持水平位置這一特殊的幾何約束條件(該條件由約束度為負(fù)的第2回路提供)，直接求得整個(gè)機(jī)構(gòu)位置正解解析解，這是本機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同于其他機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)所在。

(3)基于位置反解，得到了該機(jī)構(gòu)三類奇異位形發(fā)生的條件及其位置，給出了機(jī)構(gòu)的工作空間大小及其奇異區(qū)域。

(4)機(jī)構(gòu)速度與加速度仿真曲線變化較平穩(wěn)、連續(xù)，具有較好的動(dòng)態(tài)特性。