基于非線性規(guī)劃的差速器輕量化設(shè)計

劉建剛，杜風嬌

(1.武夷學院機電工程學院，福建 南平 354300；2.浙江理工大學機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018)

弧齒錐齒輪可分為：等頂隙收縮齒和雙重收縮齒的零度弧齒錐齒輪(格里森齒制)，等頂隙收縮齒的弧齒錐齒輪(格里森齒制、埃尼姆斯齒制)，等齒高弧齒錐齒輪(洛-卡氏齒制)?；↓X錐齒輪被廣泛應(yīng)用于機械傳動。劉志鋒等[1]從弧齒錐齒輪的熱處理對非公路重載機車差速器弧齒錐齒輪進行了失效分析，提出了改進的弧齒熱處理工藝，采用冷處理對淬火后齒輪進行二次處理，可減少磨削裂紋的產(chǎn)生，延長差速器的使用壽命。呂剛磊等[2]建立了機床的數(shù)學模型及運動位置的求解，對弧齒錐齒輪四軸展成加工進行了切齒仿真，并對其進行了切齒加工實驗。牟彥銘等[3]為避免表面研磨弧齒錐齒輪在重載情況下發(fā)生邊緣接觸，改善齒面應(yīng)力分布，用弧線刃刀具替換展成齒輪齒面的直線刃刀具。李承恩等[4]構(gòu)建了拖拉機后橋重要零件弧齒錐齒輪的網(wǎng)格實體，建立了基于虛擬碰撞體的弧齒錐齒輪網(wǎng)格實體搭建拖拉機后橋仿真模型，還對后橋工況和裝配流程進行人機交互式的虛擬仿真試驗，利用虛擬現(xiàn)實軟件Unity3D和三維模型完成了虛擬環(huán)境下后橋的重合試驗。廖平等[5]改進了弧齒錐齒輪時變嚙合剛度計算方法，在傳統(tǒng)計算方法上引入單個節(jié)點嚙合剛度，將工作齒面各個節(jié)點嚙合剛度疊加，得到單齒嚙合剛度，計算精度更高。祁燔等[6]對NGW行星齒輪減速器進行了動力學仿真，以及對減速器的行星架進行了輕量化設(shè)計。肖望強等[7-8]提出在工作齒面采用大壓力角，在非工作齒面采用標準壓力角的非對稱弧齒錐齒輪，并利用雙壓力角非對稱弧齒錐齒輪對弧齒錐齒輪減速器進行了輕量化設(shè)計，輕量化效果明顯，輕量化后的非對稱弧齒錐齒輪能夠替代原減速器對稱齒輪。蘇進展等[9]從齒面結(jié)構(gòu)上提出了通過優(yōu)化差曲面全曲率來改善弧齒錐齒輪的安裝誤差敏感性問題的方法，優(yōu)化后的齒輪副在嚙合過程中的敏感性系數(shù)控制在較小范圍之內(nèi)，傳動誤差的幅值和對稱性均滿足設(shè)計要求，改善了齒輪副的嚙合質(zhì)量。

綜上所述，已有不少學者已經(jīng)對弧齒錐齒輪展開了一些研究，大多數(shù)都是從事弧齒錐齒輪的加工工藝的研究及熱處理工藝的研究。牟彥銘等[3]以承載傳動誤差波動幅值最小進行了相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計，目前還未發(fā)現(xiàn)有學者對洛-卡氏制弧齒錐齒輪的差速器進行輕量化設(shè)計?；诖?，本文基于非線性規(guī)劃法對洛-卡氏齒制對弧齒差速器進行輕量化設(shè)計。

1 洛-卡氏制弧齒差速器方案設(shè)計及其校核

某差速器設(shè)計要求如下：齒輪的傳動比i=373，小齒輪的額定轉(zhuǎn)矩T1=205.3 N·m，本文基于洛-卡氏制的弧齒錐齒輪幾何系數(shù)[10]對差速器進行設(shè)計，優(yōu)化前的設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 優(yōu)化前后錐齒輪副參數(shù)對比Tab.1 Comparison of bevel gear pair parameters before and after optimization

1.1 錐齒輪的強度校核

分別基于理論計算和Kisssoft軟件對弧齒錐齒輪進行校核[11]，對齒面接觸強度σH、許用接觸應(yīng)力σHP、齒根彎曲應(yīng)力σF、許用齒根應(yīng)力σFP的計算結(jié)果如表2所示。

表2 齒輪強度校核Tab.2 Gear strength check

由表2可知，錐齒輪的接觸疲勞強度安全系數(shù)滿足設(shè)計要求；弧齒錐齒輪的齒根彎曲疲勞強度滿足設(shè)計要求，通過對比分析可知：理論強度計算校核與Kisssoft軟件仿真的強度校核誤差率為5%。產(chǎn)生誤差的原因為理論計算過程中存在對所選參數(shù)小數(shù)點后兩位的舍入誤差，而Kisssoft軟件計算精度更高。

2 弧齒錐齒輪副的優(yōu)化

非線性規(guī)劃是一種求解目標函數(shù)或約束條件中有一個或幾個非線性函數(shù)的最優(yōu)化問題的方法，其模型如式(1)所示。

minf(x)
s.t.gi(x)≥0i=1，…，m
hj(x)=0j=1，…，p

(1)

式中:f(x) 為優(yōu)化目標；gi(x)與hj(x)分別為不等式約束和等式約束，x=(x1，…，xn)屬于定義域D。

2.1 設(shè)計變量

優(yōu)化設(shè)計變量：

X=[z1，βm，b，mt]T=[x1，x2，x3，x4]

(2)

式中：x1為小弧齒錐齒輪的齒數(shù)z1；x2為齒寬中點螺旋角βm；x3為齒寬b；x4為大端的端面模數(shù)mt。

2.2 目標函數(shù)

以錐齒輪體積最小為目標函數(shù)，錐齒輪的體積公式[11]為：

(3)

由式(3)計算可得體積目標函數(shù)：

(4)

2.3 約束條件

弧齒錐齒輪的設(shè)計約束條件分別為齒面接觸強度、齒根疲勞強度、齒數(shù)、螺旋角、齒寬及模數(shù)、小弧齒錐齒輪的齒數(shù)z1(取值范圍為8～25)、齒寬中點螺旋角βm(取值范圍為20°～35°)、齒寬b(約束范圍與齒數(shù)和模數(shù)相聯(lián)系)、大端面模數(shù)m(約束范圍為3～15)，約束條件[12]如式(5)～式(15)。

弧齒接觸強度要求：

(5)

輪齒齒根疲勞強度要求：

(6)

小齒輪齒數(shù)設(shè)計范圍約束為8≤x1≤25：

G(3)=8-x1≤0

(7)

G(4)=x1-25≤0

(8)

齒寬中點螺旋角螺旋角要求20≤x2≤35：

G(5)=20-x2≤0

(9)

G(6)=x2-35≤0

(10)

齒寬的約束要求20≤x3≤35：

G(7)=0.26x4x1-x3≤0

(11)

G(8)=x3-0.52x4x1≤0

(12)

弧齒大端面模數(shù)要求3≤x4≤15：

G(9)=3-x4≤0

(13)

G(10)=x4-15≤0

(14)

等式約束處理的裝配條件為：

G(11)=x4(1+μ)-T1=0

(15)

2.4 優(yōu)化結(jié)果及分析

優(yōu)化前后齒輪參數(shù)如表1所示，可知優(yōu)化后體積為245.25 mm3。比優(yōu)化前體積減少16.52 mm3。差速器的體積比優(yōu)化前減小6.3%。

2.5 優(yōu)化前強度校核的對比

根據(jù)表1所示優(yōu)化前后弧齒錐齒輪的參數(shù)，可得優(yōu)化前后錐齒輪強度校核如表3所示?？芍?，優(yōu)化后錐齒輪強度校核參數(shù)滿足材料使用要求。

表3 優(yōu)化前后弧齒錐齒輪強度對比Tab.3 Strength comparison of spiral bevel gears before and after optimization

3 差速器外殼和弧齒錐齒輪的有限元分析

3.1 弧齒錐齒輪的靜態(tài)分析

弧齒錐齒輪材料采用20MnCr5，其物性參數(shù)[13]如下：密度為7 850 kg·m-3，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3；屈服強度為1 232 MPa。由理論計算，在齒輪嚙合，大齒輪添加固定約束，小齒輪添加扭矩425 N·m，齒輪嚙合面添加接觸副，仿真計算后可得錐齒輪副有限元仿真的應(yīng)力云圖、應(yīng)變云圖、變形云圖如圖1～圖3所示?？芍?，弧齒錐齒輪的總變形量最大為0.18 mm，齒輪受到的最大的應(yīng)力為298 MPa，而齒輪材料的屈服強度為1 232 MPa，齒輪應(yīng)變最大值0.000 7，滿足材料使用要求。

3.2 差速器外殼的靜態(tài)分析

差速器外殼采用45#鋼，內(nèi)部受到軸承扭矩的力，殼的內(nèi)表面添加扭矩分別為425.6、1 596 N·m，并將端蓋和2個孔用固定約束，如圖4所示。

由圖4～圖7可知，差速器外殼的總變形量最大為0.099 8 mm，最大應(yīng)力為138.01 MPa，而外殼材料的屈服強度為355 MPa，外殼的應(yīng)變最大值為0.000 66，滿足材料使用要求。

3.3 弧齒錐齒輪進行疲勞分析

大小齒輪的孔內(nèi)添加固定約束，分別對相互嚙合的一對齒面添加11 581 N的圓周力，疲勞分析結(jié)果如圖8～圖11所示。

由圖8可知，大小齒輪的齒根安全系數(shù)最低，但都大于1.25；由圖9可知，錐齒輪副的最低壽命循環(huán)次數(shù)大于1.48×105；由圖10可知，由于小齒輪的所承受扭矩更大，錐齒輪破壞最大處為小齒輪齒根處；由圖11可知，小齒輪局部的應(yīng)力集中在齒根位置，大齒輪局部應(yīng)力也基本集中在齒根位置，少部分集中在齒面上。

4 結(jié)論

本文根據(jù)某機車工況要求，基于洛-卡氏制的弧齒錐齒輪對后橋差速器進行了設(shè)計，并基于理論計算和Kisssoft軟件對差速器的弧齒錐齒輪副強度校核進行了對比分析，發(fā)現(xiàn)二者誤差在5%以內(nèi)。再以弧齒錐齒輪的參數(shù)為變量，以錐齒輪的體積最小為目標，基于非線性規(guī)劃優(yōu)化方法對弧齒錐齒輪副進行了輕量化設(shè)計，優(yōu)化后錐齒輪的體積減少6.3%。根據(jù)優(yōu)化后的錐齒輪副的參數(shù)，對弧齒錐齒輪副嚙合及差速器殼體進行有限元分析、疲勞分析，得出錐齒輪副及差速器殼體的應(yīng)力云圖、變形云圖、應(yīng)變云圖，及錐齒輪副的安全因子、壽命云圖、破壞云圖、雙軸指示云圖，根據(jù)有限元及疲勞分析仿真結(jié)果驗證了優(yōu)化設(shè)計后的差速器滿足要求。