基于反步控制和神經(jīng)動力學(xué)模型的帶纜水下潛器航跡跟蹤

魏斯行，劉 晗，馬 寧，李霄霄

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；3. 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；4. 中電科海洋信息技術(shù)研究院有限公司，北京 100041)

0 引 言

在下潛、作業(yè)和回收過程中，由于海洋環(huán)境本身的復(fù)雜性和時變性，水下潛器要受到海流、臍帶纜等因素的作用，這些因素都會使水下潛器的原本運(yùn)動軌跡由于擾動而產(chǎn)生偏差，因此，研究復(fù)雜海洋環(huán)境下的帶纜水下潛器航跡跟蹤控制就變得尤為重要。

帶纜水下潛器的臍帶纜與潛器本體的耦合作用不可忽視，目前，對于臍帶纜運(yùn)動的研究方法主要包括有限差分法、集中質(zhì)量法、直接積分法等[1-3]。其中，有限差分法能夠在較小計算量的情況下對大時間尺度的運(yùn)動進(jìn)行模擬，因此實(shí)際應(yīng)用最為廣泛。

目前國內(nèi)外在水下潛器的軌跡跟蹤控制研究中，常采用的方法有PID控制、滑?？刂?、反步控制等。PID控制[4-5]在工業(yè)生產(chǎn)中廣泛應(yīng)用,它是一種簡單的、易于實(shí)現(xiàn)的線性控制。但水下潛器工作環(huán)境的復(fù)雜性以及水動力參數(shù)的非線性使得該方法很多情況下無法滿足航跡跟蹤的要求。滑?？刂芠6-8]廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外水下機(jī)器人的控制研究中，具有良好的魯棒性，但是該方法會不可避免地導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。反步控制法是目前處理非線性系統(tǒng)最常用的控制方法之一，由于不需要對系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行處理，可以有效保留系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。該方法在移動機(jī)器人的路徑跟蹤中取得了較好的效果[9-10]。但當(dāng)跟蹤軌跡出現(xiàn)拐點(diǎn)或跟蹤誤差過大時，會造成控制器輸出速度大幅跳變的問題。

本文根據(jù)水下潛器的運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程分別設(shè)計了運(yùn)動學(xué)反步控制器和動力學(xué)滑?？刂破?。傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中的抖振現(xiàn)象，可以在設(shè)計滑模動力學(xué)控制器時通過將切換項(xiàng)替換為自適應(yīng)項(xiàng)得到解決。同時，在設(shè)計反步運(yùn)動學(xué)控制器時，通過引入生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)模型平滑傳統(tǒng)反步控制器由于跟蹤誤差較大而出現(xiàn)的速度跳變。在航跡跟蹤仿真階段，對水下潛器的折線路徑進(jìn)行了仿真，并對有纜和無纜時的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較分析。

1 臍帶纜-潛器多體系統(tǒng)運(yùn)動模型

結(jié)合臍帶纜應(yīng)用的工程背景[11-12]，建立如圖1所示的臍帶纜-潛器多體系統(tǒng)，整個潛器系統(tǒng)由水面母船、水下潛器以及臍帶纜3部分構(gòu)成。針對該系統(tǒng)建立3個坐標(biāo)系：船體固定的大地坐標(biāo)系i-j-k、臍帶纜局部坐標(biāo)系t-n-b和水下潛器局部坐標(biāo)系iv-jv-kv。臍帶纜和水下潛器的質(zhì)量相較于水面母船可以忽略不計，因此整個系統(tǒng)中水面母船靜止，臍帶纜和水下潛器的運(yùn)動不會對母船的位置產(chǎn)生影響。

圖1 多體系統(tǒng)與坐標(biāo)系示意圖Fig. 1 Multi-body system and coordinate system

1.1 臍帶纜的動力平衡方程式

將臍帶纜簡化為細(xì)長柔性圓柱體。對水中的臍帶纜作受力分析，它將受到重力、浮力、阻力、慣性力以及水面母船和水下潛器的拉力作用，進(jìn)一步對單位微元臍帶纜進(jìn)行分析，可以得到臍帶纜的動力平衡方程式：

式中：S為臍帶纜拉伸狀態(tài)時的弧長；T為臍帶纜的張力；W為重力與浮力之差；DN為法向流體阻尼力；DT為切向流體阻尼力；I為慣性力。

為求解上述偏微分方程，需要添加邊界條件。在整個系統(tǒng)中，臍帶纜連接著水面母船和水下潛器，因此臍帶纜運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)邊界條件由臍帶纜首端邊界條件和尾端邊界條件2部分組成。

1.2 水下潛器的運(yùn)動和動力學(xué)模型

根據(jù)剛體動力學(xué)進(jìn)行受力分析，作用于水下潛器的力包括重力、浮力、流體阻力、慣性力、臍帶纜作用力和推進(jìn)器推力。為了便于求解，采用將臍帶纜作用力作為外力并單獨(dú)求解的弱耦合形式建立水下運(yùn)載器的力平衡方程，在對平衡方程化簡后得到如下矩陣形式的動力學(xué)方程[13]：

式中：M為慣性力系數(shù)，包括剛體慣性力系數(shù)MR和附加質(zhì)量慣性力系數(shù)MA；C（ν）為柯氏力與向心力系數(shù)，包括剛體柯氏力與向心力系數(shù)CR和附加質(zhì)量柯氏力和向心力系數(shù)CA；g為潛器受到的浮力和重力之和；FT為推進(jìn)器推力；FC為臍帶纜作用力。

對于式（2）的常微分方程組，可以采用4階龍格庫塔方法進(jìn)行求解。首先將加速度水動力系數(shù)、速度水動力系數(shù)和水下潛器基本參數(shù)代入計算合并項(xiàng)中的-C(v)v-D(v)v-g部分；然后設(shè)定推進(jìn)器轉(zhuǎn)速計算推進(jìn)器推力FT；提供纜繩參數(shù)，代入到臍帶纜運(yùn)動有限差分法改進(jìn)模型計算程序中計算臍帶纜作用力FC，最后采用4階龍格庫塔法，即可實(shí)現(xiàn)帶纜水下運(yùn)載器六自由度運(yùn)動的求解。求解流程如圖2所示。

圖2 多體系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)值仿真流程圖Fig. 2 Flow chart of numerical simulation of multi-body system motion

2 基于神經(jīng)動力學(xué)模型的反步滑?？刂破髟O(shè)計

2.1 控制器設(shè)計問題簡述

本文選取的水下潛器模型為Deep Ocean Engineering公司生產(chǎn)的Triggerfish系列，該款ROV為開架式結(jié)構(gòu)，采用2個水平推進(jìn)器T1，T2和2個斜向45°的推進(jìn)器T3，T4為動力裝置。圖3給出了該潛器的外觀圖。圖4給出了該潛器的簡略俯視圖。水平推進(jìn)器T1和T2通過協(xié)同作用可使水下潛器產(chǎn)生縱向運(yùn)動和轉(zhuǎn)向運(yùn)動，斜向推進(jìn)器T3和T4通過協(xié)同作用可以使?jié)撈鳟a(chǎn)生垂向運(yùn)動和側(cè)向運(yùn)動。

根據(jù)上述水下潛器模型的驅(qū)動力實(shí)際情況，潛器只能作縱向、橫向、垂向和首搖運(yùn)動。因此，這里設(shè)定橫搖角和橫搖角速度為Φ=0，p=0；縱搖角和縱搖角速度為θ=0，q=0。慣性坐標(biāo)系下，水下潛器期望的位

圖3 Triggerfish ROV結(jié)構(gòu)圖Fig. 3 Structure of Triggerfish ROV

圖4 TRiggerfish ROV俯視圖Fig. 4 Vertical view of Triggerfish ROV

帶纜水下潛器航跡跟蹤的目標(biāo)就是要在一定的時間內(nèi)，使?jié)撈鞯膶?shí)際運(yùn)動軌跡與期望的軌跡相吻合。換言之，就是通過控制器輸出適當(dāng)?shù)目刂屏?，使得誤差eμ在一定時間內(nèi)趨于0。

2.2 反步運(yùn)動學(xué)控制器的設(shè)計

對縱向、橫向、垂向和首搖4個自由度運(yùn)動，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和反步設(shè)計策略，設(shè)計運(yùn)動學(xué)控制律[14]，得到如下的中間虛擬速度vi：

可以看出，在跟蹤路徑的拐點(diǎn)處，跟蹤誤差eμ變大，這樣會導(dǎo)致反步法給出的中間虛擬速度出現(xiàn)大幅的跳變。為了解決速度跳變問題，引入生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)模型來使中間虛擬速度平滑過渡。

生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)模型是在Hodgkin和Huxley[15]利用電路原理提出的生物膜模型基礎(chǔ)上，由Grossberg[16]首次提出的該模型的生物啟發(fā)形式。生物膜電壓可用下面的狀態(tài)方程表示：

式中：Cm為膜電容；Vm為膜電壓；Ep，ENa，EK分別為生物膜中無源漏極電流，鈉離子和鉀離子的能斯特電勢；gp，gNa和gk分別為無源漏極，鈉離子和鉀離子的電導(dǎo)率。

令Cm=1，V=Ep+Em，A=gp，VU=ENa+Ep，VL=EK+Ep，S+=gNa，S-=gk，式（5）可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

式中：V為神經(jīng)元活動（膜電位），在水下潛器航跡跟蹤控制中表示虛擬中間速度，參數(shù)A、VU和VL分別表示為神經(jīng)活動的負(fù)衰減率、上限和下限。變量S+（t）和S-（t）分別表示興奮性和抑制性輸入，反應(yīng)外界環(huán)境對神經(jīng)元的刺激作用，在水下潛器航跡跟蹤控制中，它代表了跟蹤誤差eμ的大小和方向。

當(dāng)存在興奮性輸入S+（t）（S+＞0）時，神經(jīng)元活動V增大并自動獲得控制項(xiàng)(VU-V)，若(VU-V)S+(t)使V正向變大，當(dāng)V超過VU時，VU-V＜0，此時(VU-V)S+(t)為負(fù)，并使V趨于VU，可見，V始終小于VU；同樣，對于抑制性輸入會迫使神經(jīng)元活動大于-VL，因此神經(jīng)活動V被限定在[-VL，VU]內(nèi)。除此之外，由于式（6）是連續(xù)的微分方程，因此對于任意的興奮性和抑制性輸入，系統(tǒng)都能給出在區(qū)間[-VL，VU]內(nèi)平滑連續(xù)的輸出。

式（6）的輸出特性并結(jié)合運(yùn)動學(xué)控制器的設(shè)計，將其改造如下：。在根據(jù)跟

式中：蹤效果設(shè)定好參數(shù)A、VU和VL值的情況下，求解上述方程并將解代入式（4），即可得生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)模型反步運(yùn)動學(xué)控制器的中間虛擬速度輸出vc：

2.3 滑模動力學(xué)控制器的設(shè)計

對于一個實(shí)際的航跡跟蹤控制過程來說，動力學(xué)控制器的目標(biāo)就是在考慮動力學(xué)模型式（2），計算出推進(jìn)器推力和力矩使?jié)撈鞯膶?shí)際速度v→vc。在臍帶纜等干擾因素存在的情況下，為了實(shí)現(xiàn)對潛器速度的穩(wěn)定跟蹤控制，本文設(shè)計一個具有較強(qiáng)魯棒性的滑模變結(jié)構(gòu)控制器對速度進(jìn)行跟蹤控制，推進(jìn)器推力由速度誤差產(chǎn)生并作用于潛器本體上，實(shí)現(xiàn)潛器的縱向、橫向、垂向和首搖運(yùn)動。

定義虛擬速度跟蹤誤差為：

滑模變結(jié)構(gòu)控制[9-16]的2個基本問題：1）切換面或者滑模面的設(shè)計；2）控制函數(shù)的求解或控制律的設(shè)計。這里將滑模面設(shè)計如下：

將式（10）對時間求導(dǎo)得：

當(dāng)系統(tǒng)在切換面（滑模面）上運(yùn)行的時候，有

將式（2）代入式（12），得

考慮到水下潛器系統(tǒng)的動力學(xué)不是完全已知的，將推進(jìn)器所提供的推力FT分為2個部分，一部分是等效估計項(xiàng)，另一部分是未知干擾項(xiàng)，即

傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制可設(shè)計為：

為了消除式（17）中不連續(xù)切換項(xiàng)ksgn s產(chǎn)生的抖振問題，將傳統(tǒng)控制中的切換項(xiàng)替換掉，由自適應(yīng)項(xiàng)代替來改善控制律：

完整控制律下的推進(jìn)器推力為：

3 航跡跟蹤控制仿真

本文選取的臍帶纜與水下潛器連接點(diǎn)處的位置坐標(biāo)為rc=[-0.6,0,0]，假設(shè)臍帶纜在水中受到的浮力與其重力相平衡；臍帶纜與母船相連接的卷筒半徑為0.01 m，其轉(zhuǎn)動慣性矩為0.01 m2，臍帶纜與卷筒之間的摩擦力很小，因此可以忽略卷筒處的阻尼力矩Гf。

3.1 折線路徑仿真結(jié)果與分析

為實(shí)現(xiàn)水下潛器縱向、橫向、垂向和首搖運(yùn)動的仿真模擬，在慣性坐標(biāo)系下，設(shè)計如下仿真期望路徑和期望速度：0-15 s時間段內(nèi)，期望路徑為μd=[2,0.2t,0,0,0,π/2]T，期望速度為=[0,0.2,0,0,0,0]T；15-35 s內(nèi)，期望路徑為μd=[2+0.2(t-15),3,0.2(t-15),0,0,π/2]T，期望速度為=[0.2,0,0.2,0,0,0]T；35-50 s內(nèi)，路徑為μd=[6,3+0.2(t-35),4,0,0,π/2]T，速度為=[0,0.2,0,0,0,0]T。初始時刻，潛器的實(shí)際狀態(tài)為μ=[1,0,0,0,0,0]，v=[0,0,0,0,0,0]。仿真總時間為50 s，時間步長為0.1 s。在正式仿真計算開始前，根據(jù)試算結(jié)果將基于神經(jīng)動力學(xué)的反步運(yùn)動學(xué)控制器中所涉及到的參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 基于生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)的反步運(yùn)動學(xué)控制器參數(shù)Tab. 1 Parameters of backstepping sliding mode controller based on bio-inspired neurdynamics

對無纜狀態(tài)下的水下潛器進(jìn)行簡單折線路徑跟蹤，通過對簡單反步控制器以及基于神經(jīng)動力學(xué)模型反步控制器仿真結(jié)果的對比，驗(yàn)證所設(shè)計控制器的有效性。2種方法的路徑跟蹤結(jié)果見圖5，路徑跟蹤速度曲線見圖6。

圖5 折線路徑航跡跟蹤Fig. 5 Trajectory tracking of fold line

圖6 折線路徑跟蹤速度（u，v）和折線路徑跟蹤速度（w， r）Fig. 6 Tracking velocity （u, v） of fold line and Tracking velocity （w, r） of fold line

從圖5可以看出，對于空間折線路徑，普通反步控制器與基于神經(jīng)動力學(xué)模型的反步滑膜控制器在跟蹤性能上，兩者均能實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤效果，兩者的跟蹤路徑均能緊緊貼合設(shè)計路徑。但是從圖6的跟蹤速度來看，普通反步控制器在初始位置和路徑拐點(diǎn)處均出現(xiàn)了速度跳變的情況，而引入神經(jīng)動力學(xué)模型的反步控制器的輸出速度更加平滑與穩(wěn)定。以圖6（b）速度r為例，當(dāng)t=0 s，t=15 s和t=35 s時，通過對比兩者的跟蹤速度可以發(fā)現(xiàn)，普通反步控制器輸出速度最大跳變值的絕對值均超過1 rad/s，而引入了神經(jīng)動力學(xué)模型后控制輸出速度小于0.5 rad/s。這是因?yàn)樵趖=0 s時潛器的首向角從0°轉(zhuǎn)為90°，t=15 s從90°轉(zhuǎn)為0°，t=35 s時從0°轉(zhuǎn)為90°，首向角的突變引起了首向角跟蹤誤差突變，而普通反步控制器是直接以位置誤差構(gòu)造設(shè)計的，因此會產(chǎn)生很大的速度跳變。這種速度跳變在實(shí)際潛器的路徑跟蹤意味著潛器需要提供很大的加速度，這要求推進(jìn)器提供巨大的推力，有時候甚至超出了推進(jìn)器的推力范圍。這種現(xiàn)象既影響了路徑跟蹤效果，同時也會影響推進(jìn)器的使用壽命，而在引入神經(jīng)動力學(xué)模型之后，控制器能夠較好地平滑由于位置或者狀態(tài)突變引起的速度跳變現(xiàn)象。

3.2 臍帶纜折線路徑跟蹤效果的影響

水下潛器在無流情況下，有無臍帶纜的水下潛器在0-50 s內(nèi)的空間折線路徑跟蹤結(jié)果如圖7所示。有無臍帶纜的水下潛器跟蹤速度曲線如圖8所示，無纜水下潛器跟蹤誤差與帶纜水下潛器跟蹤誤差如圖9所示。

由圖7可以看出，對于有纜和無纜的水下潛器，所設(shè)計的控制器均能夠?qū)φ劬€運(yùn)動路徑實(shí)現(xiàn)較好的跟蹤。由圖8比較有纜和無纜時的跟蹤速度，可以看出2種情況下基本無差別，但無纜情況下的速度u，v能夠更快的穩(wěn)定下來。從圖9比較有纜和無纜時的跟蹤誤差可以看出，在無纜的情況下，控制器在仿真初始階段和離散路徑拐點(diǎn)處的X，Y方向的跟蹤誤差更小，同時能夠更快地穩(wěn)定下來，實(shí)現(xiàn)更好地航跡跟蹤，這可以從圖7中無纜潛器跟蹤路徑較有纜潛器跟蹤路徑更快地貼合設(shè)計路徑反映出來。由此，可以看出臍帶纜會使帶纜水下潛器的航跡跟蹤效果變差，在實(shí)際工程應(yīng)用中需要重點(diǎn)考慮。

圖7 折線路徑航跡跟蹤Fig. 7 Trajectory tracking of fold line

圖8 折線路徑跟蹤速度（u,v）和折線路徑跟蹤速度（w,r）Fig. 8 Tracking velocity （u,v） of fold line and Tracking velocity （w,r） of fold line

圖9 無纜水下潛器折線路徑跟蹤誤差和帶纜水下潛器折線路徑跟蹤誤差Fig. 9 Underwater vehicle’s tracking error of broken line and tethered underwater vehicle′s tracking error of broken line

4 結(jié) 語

本文主要對帶臍帶纜水下潛器的航跡跟蹤控制進(jìn)行研究。在控制器設(shè)計階段，通過引入生物啟發(fā)神經(jīng)動力學(xué)模型平滑反步運(yùn)動學(xué)控制器輸出速度出現(xiàn)跳變的問題，同時以自適應(yīng)項(xiàng)代替切換項(xiàng)設(shè)計滑模動力學(xué)控制器，解決傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制中的抖振問題。在航跡跟蹤仿真階段，先根據(jù)試算結(jié)果，確定控制器參數(shù)，然后對水下潛器的折線路徑進(jìn)行了仿真，并對有纜和無纜時的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較分析。

1）引入神經(jīng)動力學(xué)模型的反步滑?？刂破髂軌蜉^好地實(shí)現(xiàn)帶纜水下潛器的航跡跟蹤，平滑反步控制器產(chǎn)生的速度跳變；

2）相比計入了變纜長臍帶纜非線性實(shí)時作用力的影響的帶纜水下潛器，無纜水下潛器的跟蹤速度能更快達(dá)到穩(wěn)定。臍帶纜的作用使得水下潛器航跡跟蹤的初始階段和跟蹤路徑拐點(diǎn)處出現(xiàn)較大的跟蹤誤差。