基于局部安全系數(shù)的邊坡滑面搜索

王東英，楊光華，姜 燕，靳曉兵

(1. 廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東 廣州 510635；2. 廣東省巖土工程技術(shù)研究中心，廣東 廣州 510635；3. 廣東省樂(lè)昌峽水利樞紐管理處，廣東 韶關(guān) 512200)

邊坡穩(wěn)定性分析主要包括兩方面工作：一是確定潛在的最危險(xiǎn)滑面，二是通過(guò)邊坡局部或整體安全系數(shù)，分析指定位置處的穩(wěn)定狀態(tài)。極限平衡法和強(qiáng)度折減法是當(dāng)前邊坡穩(wěn)定性分析中最常用的兩種方法。極限平衡法基于力或力矩平衡求解安全系數(shù)，一般需事先假定滑面形狀，并通過(guò)遍歷計(jì)算各滑面安全系數(shù)，遴選出安全系數(shù)最小的滑面。該方法原理簡(jiǎn)單易懂，但計(jì)算耗時(shí)大，且在假定滑面形狀時(shí)需要豐富的工程經(jīng)驗(yàn)[1-4]。強(qiáng)度折減法是在有限元分析的基礎(chǔ)上，按假定的衰減規(guī)律，折減邊坡體的強(qiáng)度參數(shù)直至計(jì)算不收斂的方法。當(dāng)前基于強(qiáng)度折減法確定臨界滑面的方法繁多且互不關(guān)聯(lián)：①基于塑性區(qū)或剪應(yīng)變?cè)隽吭茍D[5-7]；②基于應(yīng)力或位移等值線[8-9]；③基于位移變化率或等效應(yīng)變最大值[10-11]。由于各個(gè)方法立論依據(jù)不一，很難區(qū)分哪種方式最適合強(qiáng)度折減法。不僅如此，強(qiáng)度折減法相應(yīng)的參數(shù)折減規(guī)律一直是爭(zhēng)議較大的問(wèn)題，其對(duì)應(yīng)的虛擬應(yīng)力狀態(tài)是否合理也被質(zhì)疑。楊光華等認(rèn)為應(yīng)更全面的從應(yīng)力位移場(chǎng)角度來(lái)認(rèn)識(shí)邊坡穩(wěn)定問(wèn)題，可以獲得更全面的認(rèn)識(shí)[12-13]。

事實(shí)上，巖土工程的破壞多是由局部破壞逐漸擴(kuò)展為整體破壞。邊坡的失穩(wěn)也是因個(gè)別點(diǎn)超出容許應(yīng)力首先破壞，而后由點(diǎn)及面逐步演化、擴(kuò)展，最終導(dǎo)致邊坡整體滑動(dòng)的漸進(jìn)破壞過(guò)程。邊坡的整體穩(wěn)定性受各局部位置穩(wěn)定性的影響，且當(dāng)各處安全系數(shù)均達(dá)到最小值時(shí)，邊坡的整體安全系數(shù)也達(dá)到最小值。因此，通過(guò)局部點(diǎn)的安全性評(píng)估邊坡的臨界滑面及其安全性理論依據(jù)充分，合理可行。

基于上述認(rèn)識(shí)，探究了一種基于局部點(diǎn)的安全性由點(diǎn)及面確定邊坡滑面的方法，并基于各局部安全系數(shù)推導(dǎo)了整體安全系數(shù)表達(dá)式。其中，由點(diǎn)及面的搜索過(guò)程應(yīng)與邊坡的破壞類(lèi)型相符合。牽引式破壞應(yīng)自坡腳至坡頂逐步搜索；推動(dòng)式破壞則相反。以牽引式破壞為例，通過(guò)算例分析驗(yàn)證了滑面搜索和安全系數(shù)求解的可靠性，并給定布點(diǎn)間距的合理范圍。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 邊坡中的Cauchy問(wèn)題

以二維邊坡為例，若定義曲線為滑面方程，并給定邊坡滑面的起始點(diǎn)(x0，y0)以及邊坡滑面擴(kuò)展的控制方程，則可唯一的獲取滑面曲線方程[14]。

邊坡滑面的起始點(diǎn)應(yīng)與邊坡坡面局部安全系數(shù)最小的位置相對(duì)應(yīng)，滑面擴(kuò)展控制方程的選取應(yīng)以最優(yōu)性原理為原則。控制論中的最優(yōu)性原理表明，最危險(xiǎn)滑面應(yīng)為滑面上各處安全系數(shù)均達(dá)到最小時(shí)對(duì)應(yīng)的滑面。因此，控制方程應(yīng)以局部安全系數(shù)取最小值的方向?yàn)闇?zhǔn)則。

假定邊坡滑面起點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，以局部安全系數(shù)取最小值的方向作為控制準(zhǔn)則，則邊坡滑面擴(kuò)展的控制方程應(yīng)為：

(1)

式中ψ為局部安全系數(shù)最小值方向與x方向的夾角。

由于ψ的數(shù)值與該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(σ1，σ3)有關(guān)，因此式(1)實(shí)質(zhì)為一階擬線性偏微分方程[15]。只要準(zhǔn)確給出滑面起點(diǎn)坐標(biāo)及合適的布點(diǎn)間距，在應(yīng)力場(chǎng)精度滿(mǎn)足要求的前提下，可以唯一的確定臨界滑面位置。

1.2 局部安全系數(shù)及其方向

假設(shè)二維邊坡中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為(σ1，σ3)(如圖1所示)，則該點(diǎn)在任意方向的應(yīng)力狀態(tài)可表示為：

(2)

假設(shè)巖土體服從摩爾庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則，并假定以壓為正，邊坡局部安全系數(shù)應(yīng)為：

(3)

將式(2)代入式(3)有：

(4)

對(duì)(4)式中θ求導(dǎo)，即：

(5)

所求θ值即為使式(4)中安全系數(shù)K取最小的方向角。分析圖1，自摩爾圓A點(diǎn)到B點(diǎn)，τf與τn均在增大，自B點(diǎn)到C點(diǎn)，τf仍在增大而τn則在減小，因此，使安全系數(shù)取最小時(shí)對(duì)應(yīng)的方向點(diǎn)應(yīng)介于A、B之間，2θ的取值為90 °～180°之間，也即安全系數(shù)取最小的方向與最大主應(yīng)力σ1的方向夾角在0～90°間。由于上述表達(dá)式求導(dǎo)復(fù)雜，采用MATHEMATICA推導(dǎo)其計(jì)算結(jié)果為：

(6)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)并計(jì)算對(duì)應(yīng)安全系數(shù)，結(jié)果為：

(7)

上式中為最小安全系數(shù)方向與最大主應(yīng)力的夾角，順時(shí)針轉(zhuǎn)至σ1時(shí)取正值，逆時(shí)針轉(zhuǎn)至σ1時(shí)取負(fù)值。

邊坡滑面搜索時(shí)需要確定最小安全系數(shù)方向與x軸正向的夾角，也即式(1)中的ψ。因而需要探究與式(7)中的關(guān)系。

根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)理論，最大主應(yīng)力與x軸或y軸的夾角公式為：

(8)

假定順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，則根據(jù)不同點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，φ的大小可根據(jù)以下幾種情況確定。

①當(dāng)σx>σy且τxy>0，其對(duì)應(yīng)的摩爾應(yīng)力圓如圖2(a)所示，x軸正向與σ1的夾角為α0(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取正)，則對(duì)應(yīng)極值角表達(dá)式為：

(9)

②當(dāng)σx<σy且τxy>0，其對(duì)應(yīng)的摩爾應(yīng)力圓如圖2(b)所示，y軸正向與σ1的夾角為α0(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取負(fù))，x軸正向與σ1的夾角為π/2-α0，則對(duì)應(yīng)極值角表達(dá)式為：

(10)

③當(dāng)σx>σy且τxy<0，其對(duì)應(yīng)的摩爾應(yīng)力圓如圖2(c)所示，x軸正向與σ1的夾角為α0(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取負(fù))則對(duì)應(yīng)極值角表達(dá)式為：

(11)

④當(dāng)σx<σy且τxy<0，其對(duì)應(yīng)的摩爾應(yīng)力圓如圖2(d)所示，y軸正向與σ1的夾角為α0(順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取正)，則x軸正向與σ1的夾角為α0-π/2，其對(duì)應(yīng)極值角表達(dá)式為：

(12)

其中β1、β2分別為x軸正向與上、下半應(yīng)力圓安全系數(shù)取最小的方向的夾角。

1.3 基于局部安全系數(shù)的邊坡滑面搜索方法

眾多數(shù)值分析算例表明[15-16]，對(duì)于均質(zhì)邊坡，多數(shù)情況下是坡腳附近區(qū)域最先破壞，而后引起鄰近區(qū)域的相繼失穩(wěn)，也即前述的牽引式破壞。以牽引式破壞為例，基于局部安全系數(shù)搜索邊坡滑面的步驟闡述如下：

1) 建立數(shù)值分析模型，通過(guò)有限元或有限差分方法求解自然狀態(tài)下邊坡的應(yīng)力場(chǎng)；

2) 設(shè)置搜索間距：在邊坡模型內(nèi)布置n條等間距的垂直線段，垂直線段要求覆蓋整個(gè)邊坡(如圖3所示)。各垂直線段間距為ΔL=L/n，其中L為邊坡總長(zhǎng)度；

3) 確定初始離散點(diǎn)位置：通過(guò)式(7)計(jì)算坡腳附近邊界各局部安全系數(shù)值及其極值角ψ，并將安全系數(shù)最小者對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)設(shè)為起點(diǎn)A(x0，y0)，其對(duì)應(yīng)的極值角正切值記為tanψA；

4) 確定滑面其他離散點(diǎn)位置：根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)及其最小安全系數(shù)方向，通過(guò)式(13)求解B點(diǎn)坐標(biāo)(xB，yB)。并應(yīng)用插值手段獲取B點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，代入(7)求解B點(diǎn)的安全系數(shù)及極值角正切值tanψB，繼而求得下一搜索點(diǎn)C的坐標(biāo)，重復(fù)應(yīng)力插值及安全系數(shù)求解，獲取C點(diǎn)的安全系數(shù)及極值角大小。依次類(lèi)推，直至求解的第m個(gè)點(diǎn)不在邊坡內(nèi)為止；

(13)

5) 形成滑面：連接各個(gè)搜索點(diǎn)得到邊坡的臨界滑面。搜索流程如圖4所示。

對(duì)于推動(dòng)式破壞，初始點(diǎn)應(yīng)為坡頂邊界局部安全系數(shù)取最小值處。相鄰點(diǎn)坐標(biāo)求解應(yīng)相應(yīng)調(diào)整。

2 邊坡整體安全系數(shù)求解

如前所述，邊坡滑面為由點(diǎn)及面逐漸演化、擴(kuò)展而成。局部區(qū)域的安全性勢(shì)必影響邊坡整體的穩(wěn)定性。A Kourdey等[15-16]均指出，推導(dǎo)基于局部安全系數(shù)的邊坡整體安全系數(shù)意義重大。

若將整個(gè)滑面按布點(diǎn)間距劃分為若干微段，根據(jù)極限平衡條件，對(duì)于每一微段應(yīng)有下式成立：

(14)

式中ΔLi為第i微段的長(zhǎng)度，τfi為微段抗剪強(qiáng)度，τi為微段剪切力，F(xiàn)i為微段局部安全系數(shù)。

則整個(gè)滑面上的下滑力應(yīng)為各微段下滑力之和。若考慮力的方向，該和為各下滑力在投影方向的代數(shù)和；若不考慮力的方向，則該和為各微段下滑力的簡(jiǎn)單代數(shù)疊加，此時(shí)整個(gè)滑面上的下滑力可表示為：

(15)

根據(jù)安全系數(shù)的定義，邊坡整體安全系數(shù)應(yīng)為：

(16)

若考慮力的方向性，按矢量和法求得的整體安全系數(shù)公式為：

(17)

相較于文獻(xiàn)[17-18]有關(guān)局部安全系數(shù)與整體安全系數(shù)的假定，本文公式推導(dǎo)從安全系數(shù)定義出發(fā)，物理意義相對(duì)明確。

3 算例分析

3.1 方法可靠性驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提方法的合理性，分別選用文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]提及的均質(zhì)邊坡算例分析邊坡滑面，并將結(jié)果與經(jīng)典的的Bishop法及參考文獻(xiàn)的結(jié)果作對(duì)比。其中文獻(xiàn)[11]中的滑面位置通過(guò)最大位移變化率的方法確定；文獻(xiàn)[10]則是基于等效塑性應(yīng)變方法獲得的滑面位置。兩種方法均基于強(qiáng)度參數(shù)同比例折減后的虛擬應(yīng)力場(chǎng)，且對(duì)滑面點(diǎn)進(jìn)行擬合時(shí)對(duì)擬合基函數(shù)的要求較高。

算例1為一均質(zhì)土坡，取自澳大利亞(ACADS)邊坡考題，其材料特性為：容重20 kN/m3，粘聚力3.0 kPa，內(nèi)摩擦角19.6°邊坡模型尺寸如圖5所示，其中H=5 m，a:b=1:2。

采用有限元軟件ABAQUS求解應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，邊界條件為底邊固定約束，兩側(cè)邊法向約束；而本構(gòu)條件及屈服準(zhǔn)則分別為彈塑性本構(gòu)、Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則。

求得自然狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)后，按照1.3節(jié)所述步驟開(kāi)展滑面搜索工作，滑面搜索結(jié)果如圖6所示。

圖6展示了推薦方法、基于最大位移變化率方法及Bishop法得到的滑面結(jié)果。對(duì)比發(fā)現(xiàn)：3種方法所得滑面位置相近，但形狀有一定差別。本文方法在剪出口較為平緩，且剪入口處相對(duì)靠后，與Bishop法的圓弧滑面有交叉。

在邊坡的安全性方面，文獻(xiàn)[11]的計(jì)算結(jié)果基于強(qiáng)度折減法，對(duì)應(yīng)的安全系數(shù)為0.989；極限平衡的Bishop法相應(yīng)的結(jié)果為0.986；本文推薦方法所得邊坡整體安全系數(shù)為0.963(基于式(16))，小于上述兩方法的結(jié)果，結(jié)果相對(duì)合理。

算例2為一均質(zhì)黏土邊坡。黏土容重為20 kN/m3，彈性模量為200 MPa，泊松比為0.4，粘聚力為10 kPa，內(nèi)摩擦角為20°。邊坡模型尺寸如圖7(a)所示，推薦方法、基于等效塑性應(yīng)變最大值法及Bishop法所得滑面位置如圖7(b)所示。

圖7(b)結(jié)果表明，推薦方法、極限平衡法及基于等效塑性應(yīng)變確定的滑面位置基本一致，且推薦方法相應(yīng)滑面介于其他兩方法之間，在坡腳位置推薦方法滑面相對(duì)較深，符合黏土滑面的基本規(guī)律。各方法對(duì)應(yīng)的邊坡穩(wěn)定性系數(shù)分別為：強(qiáng)度折減法1.380，極限平衡法(Bishop)1.361，推薦方法1.348，其數(shù)值也小于前兩方法，結(jié)果相對(duì)合理。

推薦方法所得滑面及邊坡安全性與當(dāng)前已有方法結(jié)果的一致性表明，應(yīng)用推薦方法分析邊坡穩(wěn)定性是合理的。因其原理的合理性和操作的簡(jiǎn)便性，有推廣應(yīng)用的價(jià)值。

3.2 方法應(yīng)用探討

本文推薦的滑面搜索方法基于邊坡真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)，只要能夠準(zhǔn)確計(jì)算出邊坡的應(yīng)力場(chǎng)，就可獲取較為理想的滑動(dòng)面位置。但潛在滑動(dòng)面的精確定位顯然依賴(lài)于搜索點(diǎn)間距的取值，因此，有必要對(duì)搜索點(diǎn)間距的合理取值進(jìn)行探究?，F(xiàn)以算例1為例，分別取用0.2 m、0.8 m、2 m 3個(gè)間距對(duì)搜索點(diǎn)間距的取值范圍開(kāi)展研究。

不同搜索點(diǎn)間距對(duì)應(yīng)滑面位置如圖8所示。由圖8可知，間距為0.2 m、0.8 m時(shí)搜索得到的滑面位置較為接近，間距為2 m時(shí)得到的滑面位置稍深，但相應(yīng)滑動(dòng)面位置仍很靠近小間距滑面。筆者也嘗試3 m、4 m兩個(gè)間距，但相應(yīng)的滑面位置偏差較大，在此未列出。

由于間距2 m約等于邊坡長(zhǎng)度(即坡面長(zhǎng)度的水平投影)的0.1倍，且所得滑面位置與小間距相比偏差不大，推薦搜索點(diǎn)間距的合理取值不大于0.1倍坡長(zhǎng)。

4 結(jié)論及展望

本文依據(jù)控制論中的最優(yōu)性原理和邊坡中的Cauchy問(wèn)題，探究了一種基于局部安全系數(shù)由點(diǎn)及面確定邊坡滑面的方法。并從安全系數(shù)的定義出發(fā)推導(dǎo)了基于局部安全系數(shù)的邊坡整體安全系數(shù)表達(dá)式。通過(guò)對(duì)比分析推薦方法、極限平衡法、基于最大位移變化率或基于等效塑性應(yīng)變的強(qiáng)度折減法獲得的滑面位置及安全系數(shù)結(jié)果，驗(yàn)證了推薦方法的合理性，所得結(jié)論主要有：

1) 對(duì)于規(guī)則的均質(zhì)邊坡，推薦方法能夠高效獲取臨界滑面位置，并求得可靠的整體穩(wěn)定性系數(shù)；

2) 推薦方法的布點(diǎn)間距控制在0.04倍邊坡總長(zhǎng)度內(nèi)所得滑面結(jié)果較為可靠；

3) 與極限平衡法相比，滑面的確定無(wú)需遍歷搜索；與強(qiáng)度折減法相比，滑面搜索及安全系數(shù)求解建立在真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)基礎(chǔ)上，且滑面搜索方法依據(jù)充分，規(guī)則統(tǒng)一；

4) 本文所提方法是基于邊坡應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算的，適用于均質(zhì)巖土邊坡。對(duì)于多層介質(zhì)邊坡，尤其是含軟弱夾層邊坡，由于應(yīng)力場(chǎng)在介質(zhì)交界處存在不連續(xù)現(xiàn)象，安全系數(shù)及極值角在交界處也存在不連續(xù)現(xiàn)象，需要通過(guò)加入連續(xù)性條件控制滑面搜索結(jié)果。在這方面，尚需進(jìn)一步研究。